数学七年级下册（2024）整式的乘法巩固练习

这是一份数学七年级下册（2024）整式的乘法巩固练习，共7页。试卷主要包含了观察下列各式，观察以下等式，阅读等内容，欢迎下载使用。
根据上述规律，完成下列各题：
（1）将a+b5展开后，各项的系数和为______．
（2）将a+bn展开后，各项的系数和为______．
（3）a+b6=______．
如图是著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：
（4）若m,n表示第m行，从左到右数第n个数，如4,2表示第四行第二个数是112，则6,2表示的数是______，8,3表示的数是______．
2．观察下列各式：a−ba+b=a2−b2
a−ba2+ab+b2=a3−b3
a−ba3+a2b+ab2+b3=a4−b4
……
观察规律，完成以下问题
（1）a−ba2023+a2022b+⋅⋅⋅+ab2022+b2023=______；
（2）x−1xn−1+xn−2+xn−3+⋅⋅⋅+x2+x+1=______；
（3）利用上面的规律进行计算：29−28+27−⋅⋅⋅+23−22+2．
3．观察以下等式：
（x+1）（x2-x+1）=x3+1
（x+3）（x2-3x+9）=x3+27
（x+6）（x2-6x+36）=x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ▲ ）=a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2-xy+y2）-（x+2y）（x2-2xy+4y2）
4．观察下列各式：
x−1x+1=x2−1
x−1x2+x+1=x3−1
x−1x3+x2+x+1=x4−1
……
(1)根据以上规律，x−1x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1=____________________；
(2)你能否由此归纳出一个一般性规律：x−1xn+xn−1+⋯+x+1=______________；
(3)根据（2）的规律请你求出：1+2+22+⋯+22016+22017 的值.
5．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了a+bn（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应a+b2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数．
（1）根据上面的规律，写出a+b5的展开式： ．
（2）利用上面的规律计算：35−5×34+10×33−10×32+5×3−1．
（3）此外，“杨辉三角”还蕴含着很多数字规律，请你找一找，根据规律写出二项式a+bnn>3的展开式中a2bn−2项的系数： ．
6．观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2 +x+1）＝x4﹣1
…
（1）根据以上规律，则x−1x6+x5+x4+x3+x2+x+1＝ ．
（2）你能否由此归纳出一般性规律：x−1xn+xn−1+⋯+x2+x+1＝ ．
（3）根据②求出：1+2+22+⋅⋅⋅+234+235的结果．
二、实践探究题
7．阅读：在计算(x−1)(xn+xn−1+xn−2+⋯+x+1)的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】①(x−1)(x+1)=x2−1；
②(x−1)(x2+x+1)=x3−1；
③(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；
……
（1）【归纳】由此可得：(x−1)(xn+xn−1+xn−2+⋯+x+1)= ；
（2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：22023+22022+22021+⋯+22+2+1= ；
（3）计算：320−319+318−317+⋯−33+32−3+1
（4）若x5+x4+x3+x2+x+1=0，求x2022的值．
8．观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1
（1）根据各式的规律，可推测：
（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）=
（2）根据你的结论计算：
1+2+22+23+…+22013+22014
（3）1+3+32+33+…+32013+32014的个位数字是 ．
9．观察以下等式：(x+1)x2−x+1=x3+1；
(x+3)x2−3x+9=x3+27；
(x+6)x2−6x+36=x3+216
（1） 按以上等式的规律， 填空： (a+b)( )=a3+b3．
（2）利用多项式的乘法法则， 说明 (1) 中的等式成立．
（3） 利用 (1) 中的公式化简： (x+y)x2− xy+y2−(x+2y)x2−2xy+4y2．
10．
（1）你能求出（a-1）（a99+a98+a97+⋅⋅⋅+a2+a+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值．
（a-1）（a+1）＝ ；
（a-1）（a2+a+1）＝ ；
（a-1）（a3+a2+a+1）＝ ；
由此我们可以得到：（a-1）（a99+a98+…+a+1）＝ ．
（2）利用（1）的结论，完成下面的计算：
2199+2198+2197+⋅⋅⋅+22+2+1．
11．
（1）计算观察下列各式填空：
第1个：(a−b)(a+b)= ；
第2个：(a−b)(a2+ab+b2)= ；
第3个：(a−b)(a3+a2b+ab2+b2)= ；
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋅⋅⋅+a2bn−3+abn−2+bn−1)= ．
（3）利用（2）的猜想结论计算：2n−1+2n−2+2n−3+⋅⋅⋅+23+22+2+1= ．
（4）扩展与应用：3n−1+3n−2+3n−3+⋅⋅⋅+33+32+3+1= ．
12．下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1个多项式都是(a−b)：
第1个等式：(a−b)(a+b)=a2−b2；
第2个等式：(a−b)(a2+ab+b2)=a3−b3；
第3个等式：(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4−b4；
……
（1）请根据规律，写出第4个等式： ；
（2）猜想：(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋅⋅⋅a2bn−3+abn−2+bn−1)= （其中n为正整数，且n≥2）；
（3）利用（2）猜想的结论计算：39−38+37−36+⋅⋅⋅+33−32+3．
答案解析部分
1．【答案】（1）32（2）2n（3）a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6（4）130，1168
2．【答案】（1）a2024−b2024
（2）xn−1
（3）210+23
3．【答案】（1）a2-ab+b2
（2）解：a+b）（a2-ab+b2）=a3-a2b+ab2+ba2-ab2+b3=a3+b3；
（3）解：原式=（x3+y3）-（x3+8y3）=-7y3．
4．【答案】（1）x9−1；(2)xn+1−1 ；(3) 22018−1.
5．【答案】（1）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
（2）32
（3）12n2−n
6．【答案】（1）x7−1
（2）xn+1−1
（3）236−1
7．【答案】（1）xn+1−1
（2）22024−1
（3）解：320−319+318−317+⋯−33+32−3+1
=(−3)20+(−3)19+(−3)18+(−3)17+⋯+(−3)3+(−3)2+(−3)+1
=−14×[(−3)−1][(−3)20+(−3)19+(−3)18+(−3)17+⋯+(−3)3+(−3)2+(−3)+1]
=−14×[(−3)21−1]=321+14；
（4）解：∵(x−1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=x6−1=0，∴x=±1，
∵x5+x4+x3+x2+x+1=0，∴x≠1，x=−1，
∴x2022=(−1)2022=1．
8．【答案】（1）xn﹣1
（2）解：1+2+22+23+…+22013+22014
=（2﹣1）×（1+2+22+23+…+22013+22014）
=22015﹣1；
（3）3
9．【答案】（1）a2−ab+b2
（2）解：(a+b)a2−ab+b2=a3−a2b+ab2+ba2−ab2+b3= a3+b3．
（3）解：原式 =x3+y3−x3+8y3=−7y3．
10．【答案】（1）a2−1；a3−1；a4−1；a100−1
（2）解：2199+2198+2197+⋅⋅⋅+22+2+1
=（2-1）×（2199+2198+2197+⋅⋅⋅+22+2+1）
=2200−1
11．【答案】（1）a2−b2；a3−b3；a4−b4
（2）an−bn
（3）2n−1
（4）3n−12
12．【答案】（1）(a−b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)=a5−b5
（2）an−bn
（3）解：设（2）式中的a=3，b=−1，n=10，则有
[3−(−1)][39+38⋅(−1)+37⋅(−1)2+36⋅(−1)3+⋅⋅⋅+32⋅(−1)7+3⋅(−1)8+(−1)9]=310−(−1)10
即4×(39−36+37−36+⋅⋅⋅+33−32+3−1)=310−1
∴39−38+37−36+⋅⋅⋅+32−32+3−1=310−14，
∴39−38+37−36+⋅⋅⋅+33−32+3=310−14+1=310+34．