北师大版（2024）七年级下册（2024）整式的乘法精练

这是一份北师大版（2024）七年级下册（2024）整式的乘法精练，共6页。试卷主要包含了先阅读，再填空解题，回答下列问题，求m的所有可能值，小聪和小明同做一道题，阅读，观察下列等式，已知等内容，欢迎下载使用。
问题解决：
（1）填空：
a−1a+1=a2−1
a−1a2+a+1=________
a−1a3+a2+a+1=________
猜想：
a−1a99+a98+a97+⋅⋅⋅+a2+a+1=________
总结结论：
（2）填空：当n为正整数时，a−1an+an−1+an−2+⋯+a2+a+1=________．利用这个结论，请你解决下面的问题：求22023+22022+22021+⋯+23+22+2+1的值．
2．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构道法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了a+bn（n为正整数）自展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应a+b2=a2+2ab+b2展开式中的系数等等．
（1）根据上面的规律，a+b4的展开式为 ；
（2）①a+b9的展开式中共有 项，所有项的系数之和为 ；
②推测a+b11的展开式中共有 项，所有项的系数之和为 ；
（3）利用上述规律求116的值，并写出求解过程．
3．先阅读，再填空解题：
（x+5）（x+6）=x2+11x+30；
（x－5）（x－6）=x2－11x+30；
（x－5）（x+6）=x2+x－30；
（x+5）（x－6）=x2－x－30．
（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：________
_________________________________________________________________________
（2）根据以上的规律，用公式表示出来：____________________________________
（3）根据规律，直接写出下列各式的结果：（a+99）（a－100）=________；（y－80）（y－81）=________．
4．回答下列问题：
（1）计算：
①x+2x+3=______； ②x+2x−3=______．
③x−2x+3=______； ④x−2x−3=______．
（2）总结公式x+ax+b=x2+______x+ab
（3）已知a，b，m均为整数，且x+ax+b=x2+mx+7．求m的所有可能值．
5．小聪和小明同做一道题：已知x−1x+2=x2+ax+b，求a，b的值．
小聪的思路是：将左边x−1x+2化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，从而求得a，b的值．
小明的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的x取同一个值时，等式成立．他将x=0，x=1分别代入，可以得到关于a，b的一个二元一次方程组，从而求得a，b的值．
（1）请用小聪和小明的思路（两种不同的方法）分别求出a，b的值，你有什么发现？
（2）将代数式x2+2表示成x+12+mx+1+n的形式，请选择其中一种方法求出m，n的值．
6．阅读：在计算(a−b)an−1+an−2b+⋯+abn−2+bn−1的过程中，我们可以先从简单、特殊的情形入手，再到复杂、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】a−ba+b=a2−b2
a−ba2+ab+b2=a3−b3
a−ba3+a2b+ab2+b3=a4−b4
【归纳】若n为大于1的正整数，则(a−b)an−1+an−2b+an−3b2+……+a2bn−3+abn−2+bn−1= ；（请在答题卡相应位置填写答案）
【应用】（1）计算22024+22023+22022+⋯+22+2+1；
（2）计算5n−5n−1+5n−2−……+52−51+1．（n为正偶数）
7．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了a+bn（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在“三角形”中，第三行的三个数1，2，1，恰好对应a+b2=a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数．
（1）根据上面的规律，a+b2024展开式共有______项；
（2）利用上面的规律计算：
26+6×25+15×24+20×23+15×22+6×2+1；
（3）直接写出a+bn展开式的系数和为______．
8．观察下列等式：
x−1x+1=x2−1
x−1x2+x+1=x3−1
x−1x3+x2+x+1=x4−1
……
（1）根据以上规律，则x−1x6+x5+x4+x3+x2+x+1=______；
（2）你能否由此归纳出一般性规律：x−1xn+xn−1+⋯+x+1=______；
（3）根据（2）的规律计算：32023+32022+⋯+33+32+3+1（结果保留幂的形式即可）
9．已知：x−1x+1=x2−1；
x−1x2+x+1=x3−1；
x−1x3+x2+x+1=x4−1；
x−1x4+x3+x2+x+1=x5−1；
…
（1）当x=4时，4−1×43+42+4+1=44−1=_________；
（2）试求35+34+33+32+3+1的值；
（3）22024+22023+22022+⋯+22+2+1的值的个位数是_________．
10．好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：12x+42x+53x−6的结果是一个多项式，并且最高次项为：12x⋅2x⋅3x=3x3，常数项为：4×5×−6=−120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结她发现：一次项系数就是：12×5×−6+2×4×−6+3×4×5=−3，即一次项为−3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算x+23x+15x−3所得多项式的一次项系数为______．
（2）若x+12021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+⋯+a2020x+a2021，则a2020=______．
11．观察下列各式：
x−1x+1=x2−1
x−1x2+x+1=x3−1
x−1x3+x2+x+1=x4−1⋯
（1）根据以上规律，由此归纳出一般性规律：x−1xn+xn−1+⋯+x2+x+1= ；
（2）根据上述规律，求1+2+22+⋅⋅⋅+234+235的值；
（3）根据上述规律，求310+311+…+349+350的值．
12．先观察下列各式，再解答后面问题：
x+5x+6=x2+11x+30；
x−5x−6=x2−11x+30；
x−5x+6=x2+x−30；
x+5x−6=x2−x−30；
（1）乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？
（2）根据以上各式呈现的规律，用一个公式表示出来.
（3）试用你写的公式，直接写出下列两式的结果.
①a+99a−100=________；②y−500y−81=_______
答案解析部分
1．【答案】（1）a3−1；a4−1；a100−1；（2）an+1−1；22024−1
2．【答案】（1）(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（2）①十，29；②十二，211
（3）1771561
3．【答案】（1）一次项系数是两因式中的常数项的和，常数项是两因式中的常数项的积；常数项是两因式中的常数项的积；（2）（a+b）（a+c）=a2+（b+c）a+bc； （3）a2-a-9900；y2-161y+6480．
4．【答案】（1）①x2+5x+6；②x2−x−6；③x2+x−6；④x2−5x+6
（2）a+b
（3）8或−8
5．【答案】（1）a=1，b=−2；发现：用两种思路求得的a，b的值一样，即小聪和小明的思路都是正确的；
（2）x2+2=x+12+mx+1+n；m=−2，n=3．
6．【答案】[归纳]an−bn；[应用]（1）22025−1；（2）5n+1+16
7．【答案】（1）2023
（2）729
（3）2n
8．【答案】（1）x7−1
（2）xn+1−1
（3）32024−72
9．【答案】（1）255
（2）35+34+33+32+3+1=36−12；
（3）1
10．【答案】（1）−11
（2）2021
11．【答案】（1）xn+1−1；
（2）236−1；
（3）351−3102．
12．【答案】（1）解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为：
两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项；
（2）解：公式为：x+ax+b=x2+a+bx+ab​​​​​​​
（3）①a2−a−9900；②y2−581y+40500