数学选择性必修 第三册离散型随机变量的数字特征第2课时同步练习题

这是一份数学选择性必修 第三册离散型随机变量的数字特征第2课时同步练习题，共9页。试卷主要包含了9和0，765 D．0，3，则，1 D．E＝2等内容，欢迎下载使用。

1．已知随机变量X的分布列为：
设Y＝2X＋1，则Y的均值E(Y)等于( )
A．－eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(2,3) D．－eq \f(2,3)
2．已知随机变量X，Y满足Y＝2X＋3，Y的均值E(Y)＝eq \f(7,3)，X的分布列为
则a，b的值分别为( )
A．a＝eq \f(1,6)，b＝eq \f(1,3) B．a＝eq \f(1,4)，b＝eq \f(1,4)
C．a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(1,6) D．a＝eq \f(3,8)，b＝eq \f(1,8)
3．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E(ξ)的值为( )
A．0.765 B．1.75
C．1.765 D．0.22
4．某商场销售某种品牌的空调，每周初购进一定数量的空调，商场每销售一台空调可获利500元，若供大于求，则每台未售出的空调需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商场调剂供应，调剂的空调每台可获利200元．该商场记录了去年夏天(共10周)空调的周需求量n(单位：台)，整理得表：
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若该商场周初购进20台空调，X表示当周的利润(单位：元)，则当周的平均利润为( )
A．10 000元 B．9 400元
C．8 800元 D．9 860元
5．某车站每天上午发出两班客车，每班客车的发车时刻和发车概率如下：
第一班车：在8：00,8：20,8：40发车的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)；
第二班车：在9：00,9：20,9：40发车的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,2)，eq \f(1,4).
假设这两班客车在什么时刻发车是相互独立的，一位旅客8：10到达车站乘车，则该旅客候车的分钟数的均值为( )
A．30 B．35 C．40 D．25
6．(多选)已知某一随机变量X的分布列如表所示，且E(X)＝6.3，则( )
A.a＝7 B．b＝0.4
C．E(aX)＝44.1 D．E(bX＋a)＝2.62
7．已知E(Y)＝6，Y＝4X－2，则E(X)＝________.
8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
则该公司一年后估计可获收益的均值是________．
9．若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲的得分X的分布列和均值E(X)．
10．某景点电动车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过1 h免费，超过1 h的部分每小时收费10元(不足1 h的部分按1 h计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车游玩(各租一车次)．设甲、乙不超过1 h还车的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,2)，1 h以上且不超过2 h还车的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，两人租车时间都不会超过3 h.
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)．
11．已知实数a，b，c成等差数列，随机变量X的分布列为
当a增大时，则下列说法中正确的是( )
A．E(X)增大
B．E(X)减小
C．E(X)先增大后减小
D．E(X)先减小后增大
12．某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜保鲜分装，以每份10元的价格销售到某生鲜超市，该生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客(根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜全部低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货)．该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天前8小时的销售量(单位：份)，制成如下表格(注：x，y∈N*，且x＋y＝30)．
若以这100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，以该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的均值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的均值大时，x的取值集合为( )
A．{24,25,28,29} B．{26,27,28,29}
C．{20,21,22} D．{25,26,27,28}
13．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为eq \f(2,3)， 乙在每局中获胜的概率为eq \f(1,3)，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的均值E(ξ)为( )
A.eq \f(241,81) B.eq \f(266,81) C.eq \f(274,81) D.eq \f(670,243)
14．某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以a1为首项，以2为公比的等比数列，相应资金是以700元为首项，以－140元为公差的等差数列，则参与该游戏获得资金的均值为____元．
15．将字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，且每一列的字母也互不相同的概率为________；若共有k行字母相同，则得k分，则所得分数ξ的均值为________．
16．图1是一颗拥有完美正八面体晶形的钻石，其示意图如图2.设ξ为随机变量，从棱长为1的正八面体的12条棱中任取2条，当2条棱相交时，ξ＝0；当2条棱平行时，ξ的值为2条棱之间的距离；当2条棱异面时，ξ＝2.
(1)求P(ξ＝0)；
(2)求ξ的分布列及E(ξ)．
参考答案与详细解析
1．C [根据分布列的性质，得eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＋a＝1，解得a＝eq \f(1,3)，
所以随机变量X的均值为E(X)＝－1×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,3)＝－eq \f(1,6).又Y＝2X＋1，
所以随机变量Y的均值为E(Y)＝2E(X)＋1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)))＋1＝eq \f(2,3).]
2．C [因为E(Y)＝2E(X)＋3＝eq \f(7,3)，所以E(X)＝－eq \f(1,3)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1×\f(1,2)＋0×a＋1×b＝－\f(1,3)，,\f(1,2)＋a＋b＝1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,3)，,b＝\f(1,6).))]
3．B [当ξ＝0时，
P(ξ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015；
当ξ＝1时，
P(ξ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.1×0.85＝0.22；
当ξ＝2时，P(ξ＝2)＝0.9×0.85＝0.765.
所以E(ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.]
4．D [当n≥20时，X＝500×20＋200×(n－20)＝200n＋6 000，
当n≤19时，X＝500n－100(20－n)
＝600n－2 000，
则X的可能取值为8 800,9 400,10 000,10 200，10 400，
P(X＝8 800)＝0.1，
P(X＝9 400)＝0.2，
P(X＝10 000)＝0.3，
P(X＝10 200)＝0.3，
P(X＝10 400)＝0.1，
则当周的平均利润
E(X)＝0.1×8 800＋0.2×9 400＋0.3×10 000＋0.3×10 200＋0.1×10 400＝9 860(元)．]
5．A [设该旅客候车的分钟数为ξ，
则ξ的取值范围为{10,30,50,70,90}，
P(ξ＝10)＝eq \f(1,2)，P(ξ＝30)＝eq \f(1,4)，
P(ξ＝50)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)－\f(1,4)))×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16)，
P(ξ＝70)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)－\f(1,4)))×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8)，
P(ξ＝90)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)－\f(1,4)))×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16)，
所以ξ的分布列为
故E(ξ)＝10×eq \f(1,2)＋30×eq \f(1,4)＋50×eq \f(1,16)＋70×eq \f(1,8)＋90×eq \f(1,16)＝30，
即该旅客候车的分钟数的均值为30.]
6．ABC [由题意和分布列的性质得0.5＋0.1＋b＝1，
∴b＝0.4，
又E(X)＝4×0.5＋0.1a＋9b＝6.3，
解得a＝7.
∴E(aX)＝aE(X)＝7×6.3＝44.1，
E(bX＋a)＝bE(X)＋a＝0.4×6.3＋7＝9.52.]
7．2
解析 ∵Y＝4X－2，E(Y)＝4E(X)－2，
∴4E(X)－2＝6，即E(X)＝2.
8．4 760元
解析 由题意知，一年后获利6 000元的概率为0.96，获利－25 000元的概率为0.04，故该公司一年后收益的均值是6 000×0.96＋(－25 000)×0.04＝4 760(元)．
9．解 (1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.
(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为Ceq \\al(3,9)＝84，
X的可能取值为0，－1,1，且
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,8),C\\al(3,9))＝eq \f(2,3)，
P(X＝－1)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(3,9))＝eq \f(1,14)，
P(X＝1)＝1－eq \f(1,14)－eq \f(2,3)＝eq \f(11,42)，
所以X的分布列为
因此E(X)＝0×eq \f(2,3)＋(－1)×eq \f(1,14)＋1×eq \f(11,42)＝eq \f(4,21).
10．解 (1)由题意得甲、乙在2小时以上且不超过3小时还车概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,4)，记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，
则P(A)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,16).
(2)ξ的可能取值为0,10,20,30,40，
则P(ξ＝0)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,8)，
P(ξ＝10)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(5,16)，
P(ξ＝20)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,16)，
P(ξ＝30)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(3,16)，
P(ξ＝40)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16)，
所以甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为
故E(ξ)＝10×eq \f(5,16)＋20×eq \f(5,16)＋30×eq \f(3,16)＋40×eq \f(1,16)＝17.5.
11．B [因为实数a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b.又由分布列的性质可得a＋b＋c＝1，所以a＋c＝eq \f(2,3)，b＝eq \f(1,3)，所以0≤a≤eq \f(2,3)，所以E(X)＝0·a＋1×eq \f(1,3)＋2c＝eq \f(1,3)＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)－a))＝－2a＋eq \f(5,3)，所以当a增大时，E(X)减小．]
12．B [设该生鲜超市购进17份有机蔬菜时利润为ξ，购进18份有机蔬菜时利润为η，则ξ的分布列如下表所示：
所以E(ξ)＝65×eq \f(1,10)＋75×eq \f(x,100)＋85×eq \f(90－x,100)＝83－0.1x.
η的分布列如下表所示：
所以E(η)＝60×eq \f(1,10)＋70×eq \f(x,100)＋80×eq \f(3,20)＋90×eq \f(75－x,100)＝85.5－0.2x.
由题意知，E(ξ)>E(η)，即83－0.1x>85.5－0.2x，解得x>25，
又x＋y＝30且x，y∈N*，则25