2021学年5.1 导数的概念及其意义一等奖教学课件ppt

课题

5.1.1《变化率问题》

教学目标

1. 知识目标

⑴体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系；

⑵掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题；

⑶掌握割线与切线的定义，会求其斜率；

⑷体会极限的思想。

2. 能力目标

能够应用平均速度、瞬时速度、割线的斜率、切线的斜率解决具体的实际问题。

3. 情感目标

培养学生数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养。

教学重点

瞬时速度的概念、割线与切线的定义及斜率求法。

教学难点

瞬时速度与切线的斜率的求解。

教学准备

1.          教师准备：多媒体课件
2.          学生准备：预习学案并完成

教学过程

1. 热身活动

在之前的学习中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道了对数增长是越来越慢的，指数爆炸比直线上升快得多，那么能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？这节课我们就来研究一下这个问题.

2. 新知呈现与操练

知识点一、平均速度

问题1 高台跳水运动员的速度

探究： 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？

问题1：描述一下运动员从起跳到入水这个过程中，速度的变化情况。

问题2：我们可以用哪些量来刻画运动变化情况？

用平均速度近似的描述他的运动状态。

例如，在这段时间里，；

在这段时间里，.

一般地，在这段时间里，.

思考：计算运动员在这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

运动员在这段时间里的平均速度为0. 显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.

问题3：平均速度不能准确的反映运动员在这一时间段内的运动状态，那么还可以用哪个量来描述？

知识点二：瞬时速度

1.瞬时速度的概念：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

问题4：如何求运动员在s时刻的瞬时速度？

设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度.

为了求运动员在时的瞬时速度，在之后或之前，任意取一个时刻，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 当时，在1之后；当时，在1之前. 当时，把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动，计算时间段内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在时的瞬时速度.当时，在时间段内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.

思考：给出更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度的值.当无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？

当无限趋近于0，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于.

事实上，由可以发现，当无限趋近于0时，也无限趋近于0，所以无限趋近于，这与前面得到的结论一致. 数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为.

从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度. 因此，运动员在s时的瞬时速度.

问题5：你认为求某一时刻的瞬时速度，应该分几步？

问题6：按照上述步骤，求运动员在t=2时的瞬时速度？

问题7：如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度？

知识点三：割线与切线的斜率

问题2 抛物线的切线的斜率

⑴割线与切线的定义

为了研究抛物线在点处的切线，我们通常在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况.

当点无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线.

⑵割线与切线的斜率

①割线的斜率

抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率有内在联系.记，则点的坐标是.

于是，割线的斜率.

②切线的斜率

我们可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率，并且可以通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度，得到如下表格.

当无限趋近于0时，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线的斜率都无限趋近于2.

事实上，由可以直接看出，当无限趋近于0时，无限趋近于2. 我们把2叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为.

从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线.这时，割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率.因此，切线的斜率.

问题8：你认为求切线的斜率，应该分为几个步骤？

问题9：割线的斜率与平均速度，切线的斜率与瞬时速度有怎样的内在联系？

3. 巩固拓展

⑴求问题1中高台跳水运动员在t=0.5s时的瞬时速度。

⑵火箭发射ts后，其高度（单位：m）为h(t)=0.9,求：

①在这段时间里，火箭爬高的平均速度；

②发射后第10s时，火箭爬高的瞬时速度。

⑶你认为应该怎样定义在点处的切线？试求抛物线在点处切线的斜率。

⑷求抛物线在点处的切线的方程。

4. 总结

板书设计

5.1.1变化率问题

问题1：高台跳水运动员的速度   问题2：抛物线切线的斜率

        1.平均速度                   3.割线的斜率

2.瞬时速度                   4.切线的斜率

课后作业

教材练习+分层训练