人教A版 (2019)选择性必修 第二册导数的概念及其意义学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册导数的概念及其意义学案，共9页。学案主要包含了学习目标，学习过程，反思感悟，跟踪训练，多维探究等内容，欢迎下载使用。
1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
2.会求函数在某一点附近的平均变化率．
3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P59～63，思考并完成以下问题
(1) 平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？
(2) 瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？
(3) 如何用定义求函数在某一点处的导数？
二、课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) Δx趋近于零时表示Δx＝0． ( )
(2) 平均变化率与瞬时变化率可能相等． ( )
(3) 瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况．( )
(4)函数y＝f (x)在某x＝x0的切线斜率可写成k＝．( )
2．函数y＝f (x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( )
A．f (x0＋Δx) B．f (x0)＋Δx
C．f (x0)·ΔxD．f (x0＋Δx)－f (x0)
3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是( )
A．4B．4.1
C．0.41D．－1.1
4．一辆汽车运动的速度为v(t)＝t2－2，则该汽车在t＝3时的加速度为________．
5．火箭发射t s后，其高度(单位：m)为h(t)＝0.9t2.那么t＝________ s时火箭的瞬时速度为3.6 m/s.
三、新知探究
1．平均变化率
对于函数y＝f (x)，从x1到x2的平均变化率：
(1)自变量的改变量：Δx＝x2－x1.
(2)函数值的改变量：Δy＝f (x2)－f (x1)．
(3)平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＝fx1+Δx-fx1Δx.
思考：Δx，Δy以及平均变化率一定为正值吗？
[提示] Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零，平均变化率eq \f(Δy,Δx)可正可负可为零．
2．瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝limΔx→0fx0+△x-fx0Δx.
3．曲线的切线斜率
(1)设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率eq \f(fx－fx0,x－x0)＝eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx)为割线P0P的斜率．
(2)当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率limΔx→0fx0+△x-fx0Δx 就是y＝f (x)在x0处的切线的斜率，即k＝limΔx→0fx0+△x-fx0Δx.
思考：曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？
[提示] 不是．二次曲线与其切线有且只有一个公共点，与其他曲线可能会有其他交点，只是在x＝x0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线．
四、题型突破
题型一 求平均变化率
【例1】 (1)如图，函数y＝f (x)在[1，5]上的平均变化率为( )
A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．2 D．－2
(2)函数y＝－2x2＋1在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率为________．
【反思感悟】
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的改变量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的改变量Δy＝f (x2)－f (x1)；
第三步，求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝fx2-fx1x2-x1.
2．求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用fx0+Δx-fx0Δx的形式．
【跟踪训练】
1．函数y＝x2从x0到x0＋Δx(Δx＞0)的平均变化率为k1，从x0－Δx到x0的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是( )
A．k1＞k2 B．k1＜k2
C．k1＝k2D．k1与k2的大小关系不确定
题型二 求瞬时速度
[探究问题]
1．物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，如何计算物体在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度？
[提示] Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，eq \x\t(v)＝eq \f(Δs,Δt)＝10＋5Δt.
2．当Δt趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？
[提示] 当Δt趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．
【例2】 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
【多维探究】
1．在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．
2．在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
【反思感悟】
求运动物体瞬时速度的三个步骤
设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝st，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：
1写出时间改变量Δt，位移改变量ΔsΔs＝st0＋Δt－st0.
2求平均速度：eq \x\t(v)＝eq \f(Δs,Δt).
3求瞬时速度v：当Δt→0时，eq \f(Δs,Δt)→v常数.
题型三 求函数在某点的切线斜率及方程
【例3】 (1)已知函数y＝x－eq \f(1,x)，则该函数在点x＝1处的切线斜率为________．
(2)求曲线f (x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线的斜率，并求出切线方程．
[思路探究] (1)x＝1处的瞬时变化率即为斜率．
(2)eq \x(求x＝1时瞬时变化率)―→eq \x(切线斜率)―→eq \x(切线的方程)
【反思感悟】
求函数y＝f (x)在点x0处的导数的三个步骤
【跟踪训练】
2．求函数y＝eq \f(4,x2)在x＝2处的切线方程．
五、达标检测
1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( )
A．0.4B．2
C．0.3D．0.2
2．物体自由落体的运动方程为s(t)＝eq \f(1,2)gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝eq \(lim,\s\d14(Δt→0)) eq \f(s1＋Δt－s1,Δt)＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是( )
A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率
B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率
C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率
D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率
3．已知函数f (x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及其附近一点(1＋Δx，f (1＋Δx))，则eq \f(Δy,Δx)等于________．
4．设函数f (x)在x＝1处切线斜率为2，则eq \(lim,\s\d6(Δx→0))f1+△x-f13△x＝________.
5．已知函数f (x)＝3x2＋5，求f (x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
六、本课小结
1．函数y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：k＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))fx0+△x-fx0Δx＝eq \(lim,\s\d6(x→x0))fx-fx0x-x0.
2．瞬时速度与平均速度的区别和联系
区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．
联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值．
参考答案
课前小测
1．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．答案：D
解析：Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)，故选D.
3．答案：B
解析：eq \x\t(v)＝eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(s2.1－s2,2.1－2)＝eq \f(2.12－22,0.1)＝4.1，故选B.
4．答案：6
解析：eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(3＋Δt2－2－32－2,Δt)＝eq \f(Δt2＋6Δt,Δt)＝6＋Δt，当Δt→0时，eq \f(Δv,Δt)→6，即汽车在t＝3时加速度为6.
5．答案：2
解析：eq \f(Δh,Δt)＝eq \f(0.9t0＋Δt2－0.9t\\al(\s\up5(2),\s\d5(0)),Δt)＝eq \f(1.8Δtt0＋0.9Δt2,Δt)＝0.9Δt＋1.8t0.
当Δt→0时eq \f(Δh,Δt)→1.8 t0.即t＝t0时的瞬时速度为1.8t0，由1.8t0＝3.6得t0＝2.
题型突破
【例1】答案：(1)B (2)－4－2Δx
解析：(1)eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f5－f1,5－1)＝eq \f(1－3,5－1)＝－eq \f(1,2).故选B.
(2)Δy＝－2(1＋Δx)2＋1－(－2×12＋1)＝－2Δx(2＋Δx)，
所以平均变化率为eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(－2Δx2＋Δx,Δx)＝－4－2Δx.
【跟踪训练】
1．答案：A
解析：∵函数y＝f (x)＝x2从x0到x0＋Δx的改变量为Δy1＝f (x0＋Δx)－f (x0)＝(x0＋Δx)2－xeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0))＝Δx(2x0＋Δx)，
∴k1＝eq \f(Δy1,Δx)＝2x0＋Δx.
∵函数y＝f (x)＝x2从x0－Δx到x0的改变量为Δy2＝f (x0)－f (x0－Δx)＝xeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0))－(x0－Δx)2＝Δx(2x0－Δx)，
∴k2＝eq \f(Δy2,Δx)＝2x0－Δx.
∵k1－k2＝2Δx，而Δx＞0，∴k1＞k2.
【例2】解：∵eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(s1＋Δt－s1,Δt)
＝eq \f(1＋Δt2＋1＋Δt＋1－12＋1＋1,Δt)＝3＋Δt，
∴eq \(lim,\s\d14(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d14(Δt→0)) (3＋Δt)＝3.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
【多维探究】
1．解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(s0＋Δt－s0,Δt)＝eq \f(0＋Δt2＋0＋Δt＋1－1,Δt)＝1＋Δt，
∴eq \(lim,\s\d14(Δt→0)) (1＋Δt)＝1.
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.
2．解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(st0＋Δt－st0,Δt)＝(2t0＋1)＋Δt.
eq \(lim,\s\d14(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d14(Δt→0)) (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，
∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
【例3】(1) 答案：2
解析：∵Δy＝(1＋Δx)－eq \f(1,1＋Δx)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,1)))＝Δx＋1－eq \f(1,1＋Δx)＝Δx＋eq \f(Δx,1＋Δx)，
∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq \f(1,1＋Δx)，
∴斜率k＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝1＋1＝2.
∵Δy＝(1＋Δx)－eq \f(1,1＋Δx)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,1)))＝Δx＋1－eq \f(1,1＋Δx)＝Δx＋eq \f(Δx,1＋Δx)，
∴eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq \f(1,1＋Δx)，
∴斜率k＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝1＋1＝2.
(2) 解：显然点P(1，2)在曲线上，根据导数的几何意义，可知切线的斜率为
k＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)
＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(1＋Δx2＋1－12＋1,Δx)
＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(Δx2＋2Δx,Δx)
＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) (Δx＋2)
＝2.
故切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
【跟踪训练】
2．解：∵Δy＝eq \f(4,Δx＋22)－eq \f(4,22)＝eq \f(4,Δx＋22)－1＝－eq \f(Δx2＋4Δx,Δx＋22)，
∴eq \f(Δy,Δx)＝－eq \f(Δx＋4,Δx＋22)，
∴k＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(－Δx－4,Δx＋22)＝eq \f(－4,4)＝－1.
又x＝2时y＝eq \f(4,22)＝1.
∴切线方程为y－1＝－1×(x－2)，即x＋y－3＝0.
达标检测
1．答案：B
解析：eq \x\t(v)＝eq \f(s2.1－s2,2.1－2)＝eq \f(4.2－4,0.1)＝2.
2．答案：C
解析：结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．
3．答案：4＋2Δx
解析：Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，
∴eq \f(Δy,Δx)＝2Δx＋4.
4．答案：eq \f(2,3)
解析：根据条件知k＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝2，
∴eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,3Δx)＝eq \f(1,3)eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq \f(2,3).
5．解：(1)因为f (x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为eq \f(3×0.22＋5－3×0.12－5,0.2－0.1)＝0.9.
(2)f (x0＋Δx)－f (x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3xeq \\al(\s\up5(2),\s\d5(0))＋5)
＝3xeq \\al(\s\up5(2),\s\d5(0))＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3xeq \\al(\s\up5(2),\s\d5(0))－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.
函数f (x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为eq \f(6x0Δx＋3Δx2,Δx)＝6x0＋3Δx.