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选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义精品当堂检测题
展开1.瞬时速度
(1)平均速度
设物体的运动规律是s=s(t),则物体在 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 t这段时间内的平均速度为 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
(2)瞬时速度
①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
②一般地,当 SKIPIF 1 < 0 t无限趋近于0时, SKIPIF 1 < 0 无限趋近于某个常数v,我们就说当 SKIPIF 1 < 0 t趋近于0时, SKIPIF 1 < 0 的极限
是v,这时v就是物体在t= SKIPIF 1 < 0 时的瞬时速度,即瞬时速度v= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
2.抛物线切线的斜率
(1)抛物线割线的斜率
设二次函数y=f(x),则抛物线上过点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的割线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
(2)抛物线切线的斜率
一般地,在二次函数y=f(x)中,当 SKIPIF 1 < 0 x无限趋近于0时, SKIPIF 1 < 0 无限趋近于某个常数k,我们就说当 SKIPIF 1 < 0 x趋
近于0时, SKIPIF 1 < 0 的极限是k,这时k就是抛物线在点 SKIPIF 1 < 0 处切线的斜率,即切线的斜率k= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
3.函数的平均变化率
函数平均变化率的定义
对于函数y=f(x),设自变量x从 SKIPIF 1 < 0 变化到 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 x,相应地,函数值y就从f( SKIPIF 1 < 0 )变化到f( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 x).这时,x
的变化量为 SKIPIF 1 < 0 x,y的变化量为 SKIPIF 1 < 0 y=f( SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 x)- f ( SKIPIF 1 < 0 ).我们把比值 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 叫做函数y=f(x)从 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 x的平均变化率.
4.函数在某点处的导数的几何意义
(1)切线的定义
在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ,f( SKIPIF 1 < 0 ))时,割线 SKIPIF 1 < 0 P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线 SKIPIF 1 < 0 T(T是直线 SKIPIF 1 < 0 T上的一点)称为曲线y=f(x)在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线.
(2)函数在某点处的导数的几何意义
函数y=f(x)在x= SKIPIF 1 < 0 处的导数f'( SKIPIF 1 < 0 )就是切线 SKIPIF 1 < 0 T的斜率 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =f'( SKIPIF 1 < 0 ).这就是导数的几何意义.相应地,切线方程为y-f( SKIPIF 1 < 0 )=f'( SKIPIF 1 < 0 )(x- SKIPIF 1 < 0 ).
5.导函数的定义
从求函数y=f(x)在x= SKIPIF 1 < 0 处导数的过程可以看到,当x= SKIPIF 1 < 0 时,f'( SKIPIF 1 < 0 )是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【题型1 瞬时速度、平均速度】
【方法点拨】
根据瞬时速度、平均速度的定义进行求解即可.
【例1】(2022·全国·高二专题练习)已知物体做直线运动对应的函数为,其中S表示路程,t表示时间.则=10表示的意义是( )
A.经过4s后物体向前走了10m
B.物体在前4秒内的平均速度为10 m/s
C.物体在第4秒内向前走了10m
D.物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s
【解题思路】根据导数的物理意义可知,函数的导数即是t时刻的瞬时速度.求解即可.
【解答过程】∵物体做直线运动的方程为,
根据导数的物理意义可知,函数的导数是t时刻的瞬时速度,
∴表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s.
故选:D.
【变式1-1】(2022·全国·高二课时练习)某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数表示,则该物体在s时的瞬时速度为( )
A.0m/sB.1m/sC.2m/sD.3m/s
【解题思路】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解.
【解答过程】该物体在时间段上的平均速度为,当无限趋近于0时,无限趋近于3,即该物体在s时的瞬时速度为3m/s.
故选:D.
【变式1-2】(2022·广东广州·高二期末)在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度(单位:m/s)为( )
A.10.9B.-10.9C.5D.-5
【解题思路】先对函数求导,然后把代入即可求解.
【解答过程】解:因为,
所以,
令,得瞬时速度为.
故选:D.
【变式1-3】(2022·河南·高二阶段练习(理))一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为,设其在内的平均速度为,在时的瞬时速度为,则( )
A.B.C.D.
【解题思路】直接运用导数的运算法则,计算即可
【解答过程】,,
所以,所以.
故选:A.
【题型2 平均变化率】
【方法点拨】
根据题目条件,结合函数的平均变化率的定义,即可得解.
【例2】(2022·江苏省高二阶段练习)已知函数,则该函数在区间上的平均变化率为( )
A.B.C.D.
【解题思路】根据平均变化率的定义直接求解.
【解答过程】因为函数,
所以该函数在区间上的平均变化率为
,
故选:A.
【变式2-1】(2022·辽宁·高二阶段练习)函数在区间上的平均变化率为( )
A.3B.2C.D.
【解题思路】根据平均变化率的定义计算即可
【解答过程】由题,函数在区间上的平均变化率为
故选:D.
【变式2-2】(2022·陕西·高二阶段练习(理))若函数,当时,平均变化率为2,则m等于( )
A.B.2C.3D.1
【解题思路】直接利用平均变化率的公式求解.
【解答过程】由题得,
所以
故选:D.
【变式2-3】(2022·陕西安康·高二期末(文))为了评估某种治疗肺炎药物的疗效,有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为,甲、乙两人服用该药物后,血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示.给出下列四个结论错误的是( )
A.在时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度相同;
B.在时刻,甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同;
C.在这个时间段内,甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同;
D.在,两个时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率相同.
【解题思路】根据图象以及导数的知识对选项进行分析,从而确定正确选项.
【解答过程】A选项,根据图象可知,在时刻,甲、乙两人血管中的药物浓度相同,A选项结论正确.
B选项,根据图象以及导数的知识可知,在时刻,甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同,
B选项结论正确.
C选项,根据图象可知,在这个时间段内,甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同,
C选项结论正确.
D选项,根据图象可知,在这个时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率为大于
在这个时间段内,甲血管中药物浓度的平均变化率
D选项结论错误.
故选:D.
【题型3 利用导数的定义解题】
【方法点拨】
利用导数的定义,转化求解即可.
【例3】(2022·新疆·高二阶段练习(理))已知函数在处的导数为2,则( )
A.0B.C.1D.2
【解题思路】根据极限与导数的关系直接求解.
【解答过程】根据极限与导数的关系可知,
故选:D.
【变式3-1】(2022·上海市高二期末)已知是定义在R上的可导函数,若,则=( )
A.B.C.1D.
【解题思路】根据极限与导数的定义计算.
【解答过程】
故选:A.
【变式3-2】(2022·湖北襄阳·高二期末)若函数在处的导数为1,则( )
A.2B.3C.-2D.-3
【解题思路】利用导数的定义和几何意义即可得出.
【解答过程】解:若函数在处的导数为1,
.
则 .
故选:B.
【变式3-3】(2022·全国·高二专题练习)已知函数的定义域为,若,则( )
A.B.C.D.
【解题思路】利用导数的定义可求得的值.
【解答过程】由导数的定义可得.
故选:D.
【题型4 导数的几何意义】
【方法点拨】
根据导数的几何意义,求解曲线在某点处的斜率或切线方程.
【例4】(2023·上海·高三专题练习),在处切线方程为( )
A.B.
C.D.
【解题思路】根据已知条件,结合导数的几何意义,求出再结合直线的点斜式公式,即可求解.
【解答过程】由已知,,令,
∴=,解,
∴在处切线方程为,即.
故选:B.
【变式4-1】(2022·河南·高三阶段练习(文))已知函数的图像在点处的切线方程是,则的值为( )
A.1B.2C.3D.5
【解题思路】根据切线方程的斜率为切点处的导数值,且切点在以及切线上即可求解.
【解答过程】由点处的切线方程是可得:,
时,,故,
,
故选:B.
【变式4-2】(2022·河南·高三阶段练习(文))设函数在点处的切线方程为,则( )
A.4B.2C.1D.
【解题思路】根据曲线某点处的导数等于切线的斜率,得,再根据可求解.
【解答过程】函数在点处的切线方程为,
则.
故选:C.
【变式4-3】(2022·浙江·高二期中)如图,函数的图象在点处的切线方程是,则( )
A.B.C.D.
【解题思路】依题意可知切点坐标,由切线方程得到,利用导数的概念解出即可.
【解答过程】依题意可知切点,
函数的图象在点处的切线方程是,
,即
又
即
故选:D.
【题型5 函数图象与导函数的关系】
【方法点拨】
结合具体条件,根据函数图象、导函数图象与导函数的关系,进行转化求解即可.
【例5】(2022·全国·高二课时练习)已知是的导函数,的图象如图所示,则的图象只可能是( )
A.B.
C.D.
【解题思路】由导数的几何意义可知,原函数先增长“迅速”,后增长“缓慢”.
【解答过程】由题中的图象可以看出,在内,,
且在内,单调递增,
在内,单调递减,
所以函数在内单调递增,
且其图象在内越来越陡峭,在内越来越平缓.
故选:D.
【变式5-1】若函数的导函数在区间上是增函数,则函数在区间上的图象可能是
A.B.
C.D.
【解题思路】根据函数图象与导函数之间的关系,进行求解即可.
【解答过程】∵函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,
∴对任意的a<x1<x2<b,有 SKIPIF 1 < 0 ,也即在a,x1,x2,b处它们的斜率是依次增大的.∴A满足上述条件,
对于B,存在 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ,
对于C,对任意的a<x1<x2<b,都有 SKIPIF 1 < 0 ,
对于D,对任意的x∈[a,b], SKIPIF 1 < 0 不满足逐渐递增的条件,
故选A.
【变式5-2】(2022·北京高二期末)已知函数,其导函数的图像如图所示,则函数的图像可能是( )
A.B.
C.D.
【解题思路】由导函数的图像分析原函数切线斜率,结合选项依次判断即可.
【解答过程】由导函数图像可知,原函数在区间的切线斜率逐渐减小,在处的切线斜率为1,在区间的切线斜率逐渐增大,
结合选项可知,A、B选项不满足在处的切线斜率为1,排除;C选项在区间的切线斜率先减小再增大,排除;D选项满足要求.
故选:D.
【变式5-3】(2022·河南高二阶段练习(理))已知函数的导函数为,若的图象如图所示,则函数的图象可能是( )
A.B.
C.D.
【解题思路】根据导函数大于,原函数单调递增;导函数小于,原函数单调递减;即可得出正确答案.
【解答过程】由导函数得图象可得:时,,所以在单调递减,
排除选项A、B,
当时,先正后负,所以在先增后减,
因选项C是先减后增再减,故排除选项C,
故选:D.
【题型6 导数的几何意义的应用】
【方法点拨】
曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度,可以判断出曲线
升降的快慢.结合具体条件,利用导数的几何意义,进行转化求解即可.
【例6】(2022·河南·高三开学考试(文))已知函数的图象如图所示,下列数值的排序正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【解题思路】利用导数的几何意义和直线的斜率公式,结合图象得出答案.
【解答过程】和分别表示函数在和处的切线斜率,结合图象可得,而,表示过和两点的直线斜率,则
故选:D.
【变式6-1】(2022·陕西·教学研究室一模)已知函数的部分图象如图所示,其中为图上三个不同的点,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
【解题思路】结合函数图形及导数的几何意义判断即可;
【解答过程】解:由图可知函数在点的切线斜率小于,即,
在点的切线斜率等于,即,
在点的切线斜率大于,即,
所以;
故选:B.
【变式6-2】(2022·广东·高二期中)如图,函数的图象如图所示,下列数值排序正确的是( )
A.B.
C.D.
【解题思路】根据图象的变化趋势以及导数的几何意义,即可得到结果.
【解答过程】由图象可知,函数在区间上为增函数,但增长的越来越慢;
函数在区间上为减函数,但递减的越来越快;
又分别表示在处切线的斜率,
所以.
故选:B.
【变式6-3】(2022·河南·高二阶段练习(理))已知函数,,,,它们在平面直角坐标系中的图象如图所示,则,,,的大小关系是( )
A.
B.
C.
D.
【解题思路】根据导数的几何意义,画出各个函数图象在处的切线,根据切线的斜率来判断即可.
【解答过程】依次作出,,,在的切线,如图所示:
根据图形中切线的斜率可知.
故选:A.
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