人教A版 (2019)选择性必修 第二册导数的概念及其意义巩固练习

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1、平均速度
设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为
2、瞬时速度
（1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度；
（2）一般地，当无限趋近于0时，无限趋近于某一个常数，我们就说当趋近于0时，的极限就是，这时就是物体在时的瞬时速度，
即瞬时速度
二、导数的平均变化率
函数从到的平均变化率
1、定义式：
2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
3、意义：刻画函数值在区间上变化的快慢．
4、平均变化率的几何意义：
设，是曲线上任意不同的两点，
函数的平均变化率为割线AB的斜率，如图．
【注意】Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．
5、求平均变化率的步骤：
第一步：先计算函数值的改变量；
第二步：再计算自变量的改变量；
第三步：求平均变化率；
三、函数在x＝x0处的瞬时变化率
1、瞬时变化率的定义
【注意】
（1）“无限趋近于0”的含义趋于0的距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数，且始终.
（2）“函数在的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系
“函数在处的导数”是一个数值，是针对而言的，与给定的函数及的位置有关，而与无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与，无关．
2、瞬时变化率的变形形式
lim∆x→0fx0+∆x−f(x0)∆x=lim∆x→0fx0−∆x−fx0−∆x=lim∆x→0fx0+n∆x−f(x0)n∆x=lim∆x→0fx0+∆x−f(x0−∆x)2∆x=f'(x0)
四、导数的几何意义
1、切线的定义：当趋于零时，点B将沿着曲线趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线在点A处“相切”，称直线l为曲线在点A处的切线．
2、导数的几何意义
函数在处的导数，是曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．
与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
五、求曲线“在”与“过”某点的切线
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为；
第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．
题型一 物体的平均速度与瞬时速度
【例1】某质点沿曲线运动的方程为（x表示时间，表示位移），则该质点从x＝2到x＝3的平均速度为（ ）
A．－5 B．5 C．－6 D．6
【变式1-1】一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【变式1-2】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（ ）
A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s
【变式1-3】已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（ ）
A．经过4s后物体向前走了10m
B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m
D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s
【变式1-4】如图所示为物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的序号是______．
①在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度；
③在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度．
题型二 函数的平均变化率与瞬时变化率
【例2】已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】已知函数，则在上的平均变化率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式2-2】若函数在区间上的平均变化率为5，则t等于（ ）
A． B．2 C．3 D．1
【变式2-3】设，则（ ）
A． B． C．4 D．8
题型三 导数定义的理解与应用
【例3】若函数在处可导，则的结果（ ）．
A．与，h均无关 B．仅与有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与无关 D．与，h均有关
【变式3-1】已知函数在处的导数为，则等于（ ）
A．－2 B．－1 C．2 D．1
【变式3-2】已知函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】设在处可导，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式3-4】（多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四 求函数在某点处的导数
【例4】函数在处的导数为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式4-1】已知函数在处的导数为3，则函数的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】设函数，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式4-3】定义，已知函数在内的导函数为，的值为（ ）
A． B． C． D．
题型五 求曲线“在”与“过”某点的切线
【例5】曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．9 B．6 C． D．
【变式5-1】曲线过点的切线方程是____________．
【变式5-2】求函数的图象上过原点的切线方程．
【变式5-3】曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为______．
题型六 导数几何意义的应用
【例6】已知函数的图象如图所示，函数的导数为，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】已知函数的图象如下所示，为的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A． B． C． D．
5.1 导数的概念及其意义
【题组1 物体的平均速度与瞬时速度】
1、物体运动的位移与时间的关系为，则物体在这段时间内的平均速度为（ ）
A． B． C． D．
2、某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是（距离单位：米，时间单位：秒），则他在0.25秒时的瞬时速度为（ ）
A．6.75米/秒 B．6.55米/秒 C．5.75米/秒 D．5.55米/秒
3、已知一物体的运动方程是的单位为的单位为），则该物体在时间段内的平均速度与时刻的瞬时速度相等，则___________.
4、一物体做直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则该物体在时的瞬时速度为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．16
5、（多选）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（ ）
A．前内球滚下的垂直距离的增量
B．在时间内球滚下的垂直距离的增量
C．前内球在垂直方向上的平均速度为
D．在时间内球在垂直方向上的平均速度为
【题组2 函数的平均变化率与瞬时变化率】
1、函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A． B．1 C．2 D．
2、已知函数，则在以和为端点闭区间上的平均变化率为（ ）
A． B． C． D．
3、已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为，则实数m的值为__________．
4、在下列函数中，从到的平均变化率为定值的是（ ）
A． B． C． D．
5、已知函数，则___________．
【题组3 导数的定义及应用】
1、已知函数在处的导数为2，则（ ）
A．－2 B．2 C．－1 D．1
2、设函数，则（ ）
A．1 B．5 C． D．0
3、已知，则在处的导数（ ）
A． B．1 C． D．3
4、若函数在处的导数为1，则（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
5、已知，则________.
【题组4 求函数在某点处的导数】
1、对于函数y＝f(x)＝，其导数值等于函数值的点是________．
2、已知函数f(x)＝求的值．
3、已知，则满足的正数的值为______．
4、已知函数在处的瞬时变化率为，则______．
5、已知函数，则______．
【题组5 求曲线“在”与“过”某点处的切线】
1、，在处切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2、曲线在点处的切线方程为______．
3、试求过点且与曲线相切的直线的斜率．
4、计算抛物线上任一点处的切线的斜率，并求过点的切线方程.
5、过点且与曲线相切的直线的条数为______．直线方程是______．
【题组6 导数几何意义的应用】
1、已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则（ ）
A． B．
C． D．
2、如图所示，函数的图象在点P处的切线方程为，则_____．
3、向一个半球形的水池注水时，向池子注水速度不变（即单位时间内注入水量相同），若池子中水的高度是关于时间的函数，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4、近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间[0，T]内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的是（ ）
A． B． C． D．
定义式
实质
瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值
作用
刻画函数在某一点处变化的快慢