北师大版（2024）九年级下册第三章 圆1 圆一课一练

这是一份北师大版（2024）九年级下册第三章 圆1 圆一课一练，共45页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17734" 【题型1 直接法】 PAGEREF _Tc17734 \h 1
\l "_Tc17399" 【题型2 相加法】 PAGEREF _Tc17399 \h 2
\l "_Tc1496" 【题型3 相减法】 PAGEREF _Tc1496 \h 3
\l "_Tc30795" 【题型4 加减法与混合型图形】 PAGEREF _Tc30795 \h 4
\l "_Tc25315" 【题型5 旋转法】 PAGEREF _Tc25315 \h 5
\l "_Tc24246" 【题型6 拼接法】 PAGEREF _Tc24246 \h 6
\l "_Tc29723" 【题型7 割补法】 PAGEREF _Tc29723 \h 8
\l "_Tc9793" 【题型8 重组法】 PAGEREF _Tc9793 \h 9
\l "_Tc20991" 【题型9 等积转化法】 PAGEREF _Tc20991 \h 10
【题型1 直接法】
【例1】（2024·吉林·中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB,OC分别与⊙O交于点A，D．OA=1m，OB=10m，∠AOD=40°，则阴影部分的面积为 m2（结果保留π）．
【变式1-1】（2024·河南驻马店·二模）如图1所示，点C 是半圆AB上一个动点，点 C 从点 A 开始向终点 B 运动的整个过程中， AC的长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C 运动3秒时，扇形OAC的面积为（ ）
A．9π4B．9π2C．83D．4π3
【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在⊙O中，若∠ACB=30°，OA=5，则扇形OAB（阴影部分）的面积是 ．（结果保留π）
【变式1-3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则阴影部分的面积是 ．
【题型2 相加法】
【例2】（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A．43π−3B．43πC．23π−3D．43π−34
【变式2-1】（23-24九年级·浙江台州·期中）如图，矩形ABCD内接于⊙O，AB=63，∠BAC=30°，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式2-2】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，AO=6，点C为AB的中点，连接AB，OC，交点为D，点E为OD的中点，连接BE，AC，BC，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江金华·期末）如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=4，点P为半圆上的一个动点（不与点A，B重合），D在AB延长线上，作∠PAB，∠PBD的平分线，相交于点C，则∠C= °；在点P移动的过程中，线段AC扫过的面积= ．
【题型3 相减法】
【例3】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，在扇形MON中，∠MON=105°，半径OM=6，将扇形MON沿过点P的直线折叠，点O恰好落在MN上的点Q处，折痕交OM于点P，则阴影部分的面积为（ ）
A．92B．9π−2C．92πD．9π2−9
【变式3-1】（2024·云南红河·二模）如图，扇形AOB的半径OA为2，∠AOB=90°，连接AB，则弧AB与线段AB围成的区域（阴影部分）的面积是 ．
【变式3-2】（2024·山西晋中·三模）如图，AC是▱ABCD的对角线，∠CAB=90°，以点A为圆心，AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC边于点F，连接DE．若∠ABC=60°，AD=6，则阴影部分的面积为（ ）
A．π4B．π4+934C．3π4D．3π4+934
【变式3-3】（23-24九年级·河南开封·阶段练习）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）
A．52π−74B．52π−72C．54π−74D．54π−72
【题型4 加减法与混合型图形】
【例4】（2024·宁夏银川·一模）如图，正方形ABCD的边长为4，分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π−8B．2π−4C．π−2D．8π−16
【变式4-1】（2024·辽宁锦州·二模）如图所示，扇形OAB的半径OB长为3，∠AOB=90°，再以点A为圆心，OA长为半径作弧，交弧AB于点C，则阴影部分的面积是（ ）
A．93−3π2B．932−3πC．93−3π4D．934−3π
【变式4-2】（23-24九年级·浙江温州·开学考试）如图，矩形ABCD内接于⊙O，在AB上取一点E，连接AE，DE，过点A作AF⊥AE，交DE于点F，AD=6，AB=8，∠ADE=45°，则阴影部分的面积为 ．
【变式4-3】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=45°，点E是AD中点，在AB上取一点F，以点F为圆心，FB的长为半径作圆，该圆与DC边恰好相切于点D，连接BE，若图中阴影部分面积为4π，则AD= ．
【题型5 旋转法】
【例5】（2024·内蒙古包头·三模）如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为4，过圆心O的两条直线l1、l2的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积和为 ．
【变式5-1】（2024·河南·模拟预测）如图所示，Rt△ABC中，BC=2,∠BAC=30°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△DEC，点A的轨迹是AD，点B的轨迹是BE，BE与DE相交于点F，则图中阴影部分的面积为 ．

【变式5-2】（2024·四川乐山·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，现将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°后得到矩形A′B′CD′，则AD边扫过的面积（阴影部分）为（ ）
A．12πB．13πC．14πD．15π
【变式5-3】（2024·山东潍坊·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，若进行下列操作：①将Rt△ABC 绕点A顺时针旋转90°后得到Rt△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′；②以A为圆心，线段AB为半径得到弧AB，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4π B．4.8π C．8π D．9.6π
【题型6 拼接法】
【例6】（2024九年级·全国·专题练习）求下图中阴影部分的面积．（结果保留π）

【变式6-1】（2024·吉林长春·一模）如图，已知菱形ABCD的边长为2，B、C两点在扇形AEF的弧EF上，∠EAF=120°，则图中阴影部分图形的面积之和为 ．

【变式6-2】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以OB为直径作半圆交AB于点D，连接OD，则阴影部分的面积是（ ）
A．12π−1B．12π−2C．π−2 D．π−1
【变式6-3】（23-24九年级·重庆·期末）如图，AB为⊙O直径，点C是⊙O上的一点，连接AC、BC，以C为圆心，AC长为半径画圆弧，使点B在该圆弧上，再将⊙O分别沿AC、BC向内翻折．若AB=2，则图中阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留π）
【题型7 割补法】
【例7】（2024·重庆江津·模拟预测）如图，矩形ABCD中，以C为圆心，CD为半径作圆弧交AB于点E，CB为半径作圆弧交CD于点F，连接AC，若AC=5，BC=1，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）
【变式7-1】（2024·贵州贵阳·一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠A=30°，BC=4，弦CD⊥AB于F，点E是AB延长线上一点，且AF=EF，连接DE．
(1)填空：∠BCD= °；
(2)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(3)取CB的中点M，连接DM，求图中阴影部分的面积．
【变式7-2】（2024·重庆渝北·模拟预测）如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，线段AB长为半径画弧，交边AD于点E，再以顶点C为圆心，线段CB长为半径画弧，交边AD于点F，若AB=4，AD=8，则BE，BF和EF围成的阴影部分的面积是 ．
【变式7-3】（2024九年级·全国·专题练习）如图，将半径为4，圆心角为90°的扇形ABC绕弧AC的中点P逆时针旋转45°，点A，B,C的对应点分别为点D,E,F，点D落在AB上，点C落在EF上，则图中阴影部分的面积为 ．
【题型8 重组法】
【例8】（23-24九年级·云南红河·期末）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（ ）
A．2π−4B．2π−2C．4π−4D．4π−2
【变式8-1】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以OB为直径作半圆交AB于点D，连接OD，则阴影部分的面积是（ ）
A．12π−1B．12π−2C．π−2 D．π−1
【变式8-2】（2023·福建莆田·模拟预测）如图，以锐角△ABC的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则△ABC的面积为 ．
【变式8-3】（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=12x2的图象，C2是函数y=−12x2的图象，C3是函数y=3x的图象，则阴影部分的面积是（ ）
A．2πB．53πC．113πD．43π
【题型9 等积转化法】
【例9】（22-23九年级·浙江宁波·开学考试）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°， CD=23，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．23πB．2π C．233πD．π
【变式9-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC= 2，则图中阴影部分的面积是
【变式9-2】（2024·河南漯河·二模）如图，AB是半圆O的直径，AB=4，将半圆O绕点A逆时针旋转22.5°，点B的对应点B′，则图中阴影部分的面积是 ．
【变式9-3】（23-24九年级·四川成都·开学考试）（组合图形求面积）如图ABCD是平行四边形，AD=8cm，AB=10cm，∠DAB=30°，高CH=4cm，弧BE、DF分别以AB、CD为半径，弧DM、BN分别以AD、CB为半径，阴影部分的面积为多少？（π取3）
专题3.10 求圆中阴影部分的面积【九大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17734" 【题型1 直接法】 PAGEREF _Tc17734 \h 1
\l "_Tc17399" 【题型2 相加法】 PAGEREF _Tc17399 \h 4
\l "_Tc1496" 【题型3 相减法】 PAGEREF _Tc1496 \h 7
\l "_Tc30795" 【题型4 加减法与混合型图形】 PAGEREF _Tc30795 \h 12
\l "_Tc25315" 【题型5 旋转法】 PAGEREF _Tc25315 \h 15
\l "_Tc24246" 【题型6 拼接法】 PAGEREF _Tc24246 \h 19
\l "_Tc29723" 【题型7 割补法】 PAGEREF _Tc29723 \h 22
\l "_Tc9793" 【题型8 重组法】 PAGEREF _Tc9793 \h 29
\l "_Tc20991" 【题型9 等积转化法】 PAGEREF _Tc20991 \h 32
【题型1 直接法】
【例1】（2024·吉林·中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB,OC分别与⊙O交于点A，D．OA=1m，OB=10m，∠AOD=40°，则阴影部分的面积为 m2（结果保留π）．
【答案】11π
【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解．
【详解】解：由题意得：S阴影=40π102−12360=11π，
故答案为：11π．
【变式1-1】（2024·河南驻马店·二模）如图1所示，点C 是半圆AB上一个动点，点 C 从点 A 开始向终点 B 运动的整个过程中， AC的长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C 运动3秒时，扇形OAC的面积为（ ）
A．9π4B．9π2C．83D．4π3
【答案】B
【分析】本题考查的是动点问题的函数图象，弧长的计算，扇形的面积，先求解点C运动3 秒转过的圆心角以及半径，从而可得答案．
【详解】解：根据图2可知，当点C从点A开始向终点B运动用时12秒，转过的圆心角为180°，
∴点C运动3 秒转过的圆心角为 312×180∘=45∘．
半圆长度=πr=6π，
∴r=6．
∴扇形OAC的面积为 45π×62360=9π2．
故选 B．
【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在⊙O中，若∠ACB=30°，OA=5，则扇形OAB（阴影部分）的面积是 ．（结果保留π）
【答案】256π
【分析】本题考查了扇形面积的计算和圆周角定理．根据圆周角定理由∠ACB=30°，得到∠AOB=60°，OA=5，然后根据扇形面积公式计算扇形OAB的面积．
【详解】解：如图，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∵OA=5，
∴扇形OAB的面积=60π×52360=256π．
故答案为：256π．
【变式1-3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆，则阴影部分的面积是 ．
【答案】21π2
【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算．根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：∵正八边形和正六边形，
∴∠BAG=(8−2)×180°8=135°，∠CAG=(6−2)×180°6=120°，
∴∠BAC=360°−135°−120°=105°，
∴S阴影部分=105π×62360=21π2．
故答案为：21π2．
【题型2 相加法】
【例2】（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A．43π−3B．43πC．23π−3D．43π−34
【答案】A
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键．
如图：连接OA，AO′，作AB⊥OO′于点B，得三角形AOO′是等边三角形，求出AB=3，S弓形AO′=S扇形AOO′−S△AOO′=2π3−3，再根据S阴影=S弓形AO′+S扇形AO′O，即可解答．
【详解】解：如图：连接OA，AO′，作AB⊥OO′于点B，
∵OA=OO′=AO′=2，
∴三角形AOO′是等边三角形，
∴∠AOO′=60°，OB=12OO′=1，
∴AB=22−12=3
∴S弓形AO′=S扇形AOO′−S△AOO′=60π×22360−2×3×12=2π3−3,
∴S阴影=S弓形AO′+S扇形AO′O=2π3−3+2π3=4π3−3．
故选：A．
【变式2-1】（23-24九年级·浙江台州·期中）如图，矩形ABCD内接于⊙O，AB=63，∠BAC=30°，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】12π
【分析】本题考查矩形的性质、扇形的面积公式等知识，解题的关键是学会用转化的扇形解决问题，属于中考常考题型．根据S阴影=S扇形OAD+S扇形OBC求解即可．
【详解】
四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOD=∠BOC=∠OAB+∠OBA=60°，AC=AB÷cs30°=12，
∴OA=OC=6，
∵S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD，
S阴影=S扇形OAD+S扇形OBC=60π×62360×2=12π.
故答案为：12π．
【变式2-2】（23-24九年级·福建福州·期末）如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，AO=6，点C为AB的中点，连接AB，OC，交点为D，点E为OD的中点，连接BE，AC，BC，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】6π−934
【分析】本题考查求不规则图形的面积，用扇形的面积减去三角形的面积得到弓形阴影的面积，再加上两个三角形阴影的面积，求解即可．
【详解】解：∵在扇形AOB中，∠AOB=120°，AO=6，点C为AB的中点，
∴AC=BC，OA=OB=OC=6，
∴AC=BC，
∴OC垂直平分AB，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∴OD=12OA=3，AD=3OD=33，
∴CD=OC−OD=3，BD=AD=33，
∴S△ADC=12AD⋅CD=12×33×3=932，S△BOC=12OC⋅BD=12×6×33=93，
∴S弓形BC=S扇形OCB−S△BOC=60π360×62−93=6π−93，
∵E为OD的中点，
∴DE=12OD=32，
∴S△BDE=12BD⋅DE=12×33×32=934，
∴图中阴影部分的面积为S弓形BC+S△BDE+S△ADC=6π−93+934+932=6π−934；
故答案为：6π−934．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江金华·期末）如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=4，点P为半圆上的一个动点（不与点A，B重合），D在AB延长线上，作∠PAB，∠PBD的平分线，相交于点C，则∠C= °；在点P移动的过程中，线段AC扫过的面积= ．
【答案】 45 2π+4
【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，角平分线的定义，三角形的外角性质，勾股定理，扇形的面积等知识，设∠PAC=∠BAC=x，∠PBC=∠DBC=y，构建方程组求出 ∠C=45°；取AB的中点E，以E为圆心， EA为半径作⊙E，AF是直径，则点C在FB上运动，则AC扫过的面积=扇形FEB的面积+△AEB的面积，利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可求解；解题的关键是找到点C的运动轨迹．
【详解】解：∵∠PAB，∠PBD的平分线相交于点C，
∴可以假设∠PAC=∠BAC=x，∠PBC=∠DBC=y，
则有2y=2x+∠P，y=∠C+x，
∴2∠C+x=2x+∠P，
∴∠C=12∠P，
∵AB是直径，
∴∠P=90°，
∴∠C=45°；
取AB的中点E，以E为圆心，EA为半径作⊙E，AF是直径，则点C在FB上运动，
∵∠AEB=90°，AE=EB，AB=4，
∴EA=EB=22，
则AC扫过的面积=扇形FEB的面积+△AEB的面积，
=90π×222360+12×22×22，
=2π+4；
故答案为：45，2π+4．
【题型3 相减法】
【例3】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，在扇形MON中，∠MON=105°，半径OM=6，将扇形MON沿过点P的直线折叠，点O恰好落在MN上的点Q处，折痕交OM于点P，则阴影部分的面积为（ ）
A．92B．9π−2C．92πD．9π2−9
【答案】D
【分析】连接OQ，根据折叠可知PN⊥OQ，QE=OE=3，∠QNE=∠ONE，ON=NQ=6，进而可得△QON是等边三角形，则∠POQ=45°，进而求得△POQ的面积，根据阴影部分面积=S扇形MOQ−S△POQ求解即可．
【详解】解：连接OQ，交PN于E，
∵沿PN对折O和Q重合，OQ=6，
∴PN⊥OQ，QE=OE=3，∠QNE=∠ONE，ON=NQ=6，
∴∠NEO=90°，△QON是等边三角形，
∴∠QON=∠QNO=60°，
∵∠MON=105°，
∴∠POQ=∠MON−∠QON=45°，
∵∠OEP=90°，
∴PE=OE=3，
∴阴影部分的面积
=S扇形MOQ−S△POQ
=45π×62360−12×6×3
=92π−9．
故选：D．
【点睛】此题主要考查三角形的折叠问题、等边三角形的性质、扇形面积以及特殊角三角函数值的运用，掌握以上知识是解题的关键．
【变式3-1】（2024·云南红河·二模）如图，扇形AOB的半径OA为2，∠AOB=90°，连接AB，则弧AB与线段AB围成的区域（阴影部分）的面积是 ．
【答案】π−2/−2+π
【分析】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算，掌握扇形和三角形的面积计算公式是解题关键．
由图可知阴影部分与三角形AOB组成扇形AOB，代入题目中数据先求出扇形AOB与三角形AOB的面积即可．
【详解】∵扇形AOB的半径OA为2，∠AOB=90°，
∴ S△AOB=12×2×2=2，
∴扇形AOB的面积：90°×π×22360=π，
∴阴影部分面积=扇形AOB的面积−三角形面积= π−2，
故答案为：π−2．
【变式3-2】（2024·山西晋中·三模）如图，AC是▱ABCD的对角线，∠CAB=90°，以点A为圆心，AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC边于点F，连接DE．若∠ABC=60°，AD=6，则阴影部分的面积为（ ）
A．π4B．π4+934C．3π4D．3π4+934
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握分割法是解题的关键．连接AE，根据平行四边形的性质得到△ABE是等边三角形，求得S△ACE=S△ABE=12S△ABC，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，求得AE=3，根据三角形和扇形的面积公式即可求解．
【详解】如图，连接AE．
∵ ∠ABC=60°，AB=AE．
∴ △ABE是等边三角形．
∴ ∠BAE=60°，AE=BE
∵ ∠CAB=90°，
∴ ∠ACB=30°，∠CAE=90°−∠BAE=30°
∴ ∠ACB=∠CAE．
∴ AE=CE．
∴ BE=CE．
∴ S△ACE=S△ABE=12S△ABC
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC=AD=6
∴ BE=12BC=3
∴ AE=3
∴S阴影=S△ACE−S扇形AEF+S扇形ABE−S△ABE
=S扇形ABE−S扇形AEF
=60π×32360−30π×32360
=3π4
故选：C
【变式3-3】（23-24九年级·河南开封·阶段练习）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）
A．52π−74B．52π−72C．54π−74D．54π−72
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形外接圆与外心，扇形面积的计算，添加正确的辅助线是解题的关键．作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA、OB、OC，证明∠AOC=90°，根据阴影部分面积=S扇形AOC−S△AOC−S△ABC的面积即可得到答案．
【详解】解：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA、OB、OC，则点O是△ABC外接圆的圆心，
由题意得：OA2=12+22=5，
OC2=12+22=5，
AC2=12+32=10，
∴OA2+OC2=AC2，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC=90°，
∵AO=OC=5，
∴阴影部分面积=S扇形AOC−S△AOC−S△ABC
=90π×(5)2360−12OA⋅OC−12AB⋅1
=5π4−12×5×5−12×2×1
=5π4−52−1，
=54π−72，
故选D．
【题型4 加减法与混合型图形】
【例4】（2024·宁夏银川·一模）如图，正方形ABCD的边长为4，分别以点A，C为圆心，AB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π−8B．2π−4C．π−2D．8π−16
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积计算，勾股定理，先根据正方形的性质，得出AC⊥BD，∠BAC=∠DCA=45°，AB=BC=CD=AD，根据勾股定理求出AC=BD=42+42=42，得出AO=BO=CO=DO=22，根据S阴影=S扇形ABE−S△AOB+S扇形CDF−S△COD，求出结果即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，∠BAC=∠DCA=45°，AB=BC=CD=AD，
∴AC=BD=42+42=42，
∴AO=BO=CO=DO=22，
∴S阴影=S扇形ABE−S△AOB+S扇形CDF−S△COD
=45×42π360−12×22×22+45×42π360−12×22×22
=2π−4+2π−4
=4π−8，
故选：A．
【变式4-1】（2024·辽宁锦州·二模）如图所示，扇形OAB的半径OB长为3，∠AOB=90°，再以点A为圆心，OA长为半径作弧，交弧AB于点C，则阴影部分的面积是（ ）
A．93−3π2B．932−3πC．93−3π4D．934−3π
【答案】C
【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，等边三角形的性质与判定，连接AC，OC，先证明△AOC是等边三角形，得到∠AOC=∠OAC=60°，再求出S△AOC=34⋅AO2=934，S扇形AOC=32π，S扇形OBC=34π，据此根据图形面积之间的关系求解即可．
【详解】解：连接AC，OC，
在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=3，以A为圆心，OA长为半径画弧，
∴AO=CO=AC=3，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=∠OAC=60°，
∴S△AOC=34⋅AO2=934，S扇形AOC=60π×32360=32π，S扇形OBC=30π×32360=34π．
∴S弓形OC=S扇形AOC−S△AOC=32π−934，
∴S阴影=S扇形OBC−S弓形OC=34π−32π−934=93−3π4，
故选：C．
【变式4-2】（23-24九年级·浙江温州·开学考试）如图，矩形ABCD内接于⊙O，在AB上取一点E，连接AE，DE，过点A作AF⊥AE，交DE于点F，AD=6，AB=8，∠ADE=45°，则阴影部分的面积为 ．
【答案】25π4+254
【分析】根据勾股定理求出圆的半径，依据等腰直角三角形求出AE长，利用△ABE∽△ADF得到AF长，由图示可知S阴影=14S⊙O−S△AOE+S△AEF代入数据计算即可．
【详解】解：连接OA、OE、EB、BD，
∵矩形ABCD内接于⊙O，AD=6，AB=8， ∠BAD=90°
∴BD是直径，BD=AB2+AD2=10，
∴ ⊙O的半径为5，
∵∠ADE=45°，
∴∠AOE=90°，
∴AE=52，
∵∠ABE=∠ADE，∠BAE=∠DAF=90°−∠BAF，
∴△ABE∽△ADF，
∴ABAD=AEAF=86=43，
∴AF=1524，
∴ S阴影=14S⊙O−S△AOE+S△AEF=14π×52−12×5×5+12×52×1524=254π+254，
故答案为：254π+254．
【点睛】本题考查不规则图形的面积，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式4-3】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=45°，点E是AD中点，在AB上取一点F，以点F为圆心，FB的长为半径作圆，该圆与DC边恰好相切于点D，连接BE，若图中阴影部分面积为4π，则AD= ．
【答案】42
【分析】本题考查了切线的性质，扇形的面积，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，连接FD，过E作EG⊥AB于G，先判断△ADF，△AEG都是等腰直角三角形，则可求出AB=2AD，EG=24AD，然后根据S△ADF+S扇形BFD−S△ABE=4π求解即可．
【详解】解：连接FD，过E作EG⊥AB于G，
∵圆与DC边恰好相切于点D，
∴FD⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴DF⊥AB，
∵∠BAD=45°，
∴△ADF，△AEG都是等腰直角三角形，
∴AF=DF=22AD，EG=22AE，
∴BF=DF=22AD，
∴AB=2AD，EG=24AD，
∵阴影部分面积为4π，
∴S△ADF+S扇形BFD−S△ABE=4π，
∴12×22AD×22AD+90π⋅22AD2360−12×2AD×24AD=4π，
即90π⋅22AD2360=4π，
解得AD=42，
故答案为：42．
【题型5 旋转法】
【例5】（2024·内蒙古包头·三模）如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为4，过圆心O的两条直线l1、l2的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积和为 ．
【答案】8π3−43
【分析】本题考查了正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，连接AO，标注直线与圆的交点， 由正六边形的性质可得：A，O，D三点共线，△COD为等边三角形，证明扇形AOQ旋转后与扇形COG重合，可得S阴影=S扇形COD−S△COD，从而可得答案，熟记正六边形的性质是解本题的关键．
【详解】如图，连接AO，标注直线与圆的交点，
由正六边形的性质可得：A，O，D三点共线，△COD为等边三角形，
∴∠AOQ=∠DOH，∠COD=∠GOH=60°，
∴∠COG=∠DOH=∠AOQ，
∴扇形AOQ旋转后与扇形COG重合，，
∴S阴影=S扇形COD−S△COD，
∵△COD为等边三角形，OC=OD=4，
过O作OK⊥CD于K，
∴∠COD=60∘，CK=DK=2，OK=42−22=23，
∴S阴影=S扇形COD−S△COD=60π×42360−12×4×23=8π3−43
故答案为：8π3−43．
【变式5-1】（2024·河南·模拟预测）如图所示，Rt△ABC中，BC=2,∠BAC=30°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△DEC，点A的轨迹是AD，点B的轨迹是BE，BE与DE相交于点F，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】8π3−3
【分析】本题主要考查了求扇形面积，图形的旋转问题，锐角三角函数等．连接CF，过点F作FH⊥CD于点H，根据锐角三角函数可得AC=23，再由旋转的性质可得∠ACD=90°,CD=CA=23,∠CDE=∠BAC=30°，∠DEC=∠ABC=60°，∠BCE=90°,CE=CF=BC=2，从而得到△ECF是等边三角形，进而得到∠BCF=30°，继而得到FH=12CF=1，再由S阴影=S扇形ACD+S△DCF−S扇形BCF−S△ABC，即可求解．
【详解】解：如图，连接CF，过点F作FH⊥CD于点H，

在Rt△ABC中，BC=2,∠BAC=30°，
∴AC=233=23，∠ABC=60°，
由旋转的性质得：∠ACD=90°,CD=CA=23,∠CDE=∠BAC=30°，∠DEC=∠ABC=60°，∠BCE=90°,CE=CF=BC=2，
∴△ECF是等边三角形，
∴∠ECF=60°，
∴∠BCF=30°，
∴FH=12CF=1，
∴S阴影=S扇形ACD+S△DCF−S扇形BCF−S△ABC
=90π×232360+12×1×23−30π×22360−12×2×23
=8π3−3
故答案为：8π3−3
【变式5-2】（2024·四川乐山·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，现将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°后得到矩形A′B′CD′，则AD边扫过的面积（阴影部分）为（ ）
A．12πB．13πC．14πD．15π
【答案】C
【分析】本题主要考查了扇形的面积公式、旋转的性质、勾股定理等知识点，能够把不规则图形的面积转换为规则图形的面积成为解题的关键．
连接AC、AC′，则阴影部分的面积为扇形ACA′的面积减去扇形CDD′的面积，据此计算即可．
【详解】解：连接AC、AC′，
根据勾股定理得：AC=AB2+BC2=2，
∴S扇形CAA′=90π×CA2360=π，S扇形CDD′=90π×CD2360=34π,
∴S阴影=S扇形CAA′−S扇形CDD′=14π．
故选：C．
【变式5-3】（2024·山东潍坊·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，若进行下列操作：①将Rt△ABC 绕点A顺时针旋转90°后得到Rt△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′；②以A为圆心，线段AB为半径得到弧AB，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4π B．4.8π C．8π D．9.6π
【答案】A
【分析】根据题意求出AB=2AC=42，AB′=AB=42，∠BAB′=90°，AC′=AC=BC=B′C=4，∠C′=90°，再根据阴影部分的面积=S△ABC+S扇形ABB′−S扇形CAB−S△AB′C′求解即可．此题考查了扇形面积的计算、等腰直角三角形，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=2AC=42，
根据题意得，AB′=AB=42，∠BAB′=90°，AC′=AC=BC=B′C=4，∠C′=90°，
∴阴影部分的面积=S△ABC+S扇形ABB′−S扇形CAB−S△AB′C′
=12×4×4+90π×(42)2360−90π×42360−12×4×4
=90π×(42)2360−90π×42360
=8π−4π
=4π，
故选：A．
【题型6 拼接法】
【例6】（2024九年级·全国·专题练习）求下图中阴影部分的面积．（结果保留π）

【答案】π2cm2
【分析】本题考查了扇形的面积公式．根据阴影部分的面积等于3个扇形面积之和计算即可．
【详解】解：π×12360×180=π2cm2．
【变式6-1】（2024·吉林长春·一模）如图，已知菱形ABCD的边长为2，B、C两点在扇形AEF的弧EF上，∠EAF=120°，则图中阴影部分图形的面积之和为 ．

【答案】2π3/23π
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质及菱形的性质．先求出∠BAC的度数，进而可得出∠EAB+∠CAF的度数之和，再根据扇形面积的计算公式即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
又∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
又∵∠EAF=120°，
∴∠EAB+∠CAF=120°−60°=60°．
∵菱形ABCD的边长为2，
∴AB=2，
∴ S阴影=60⋅π⋅22360=2π3．
故答案为：2π3．
【变式6-2】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以OB为直径作半圆交AB于点D，连接OD，则阴影部分的面积是（ ）
A．12π−1B．12π−2C．π−2 D．π−1
【答案】C
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知OA=OB=2，∠ABO=∠BAO=45°，从而证明OD=BD，最后根据阴影部分的面积=扇形AOB的面积−△AOB的面积，进行解答即可．
【详解】解：由题意可知：OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵OB为直径，
∴∠ODB=90°，
∴∠DOB=∠DBO=45°，
∴OD=BD，
∴弓形OD的面积=弓形BD的面积，
∴阴影部分的面积
=扇形AOB的面积−△AOB的面积
=90π×22360−12×2×2
=π−2，
故选：C．
【变式6-3】（23-24九年级·重庆·期末）如图，AB为⊙O直径，点C是⊙O上的一点，连接AC、BC，以C为圆心，AC长为半径画圆弧，使点B在该圆弧上，再将⊙O分别沿AC、BC向内翻折．若AB=2，则图中阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留π）
【答案】π2
【分析】本题考查了求不规则图形的面积，根据题意分析得出阴影部分图形的面积和为S⊙O−S扇形CAB是解题的关键．依题意，CA=CB，则△ABC是等腰直角三角形， 然后根据图中阴影部分图形的面积和为S⊙O−S扇形CAB，即可求解．
【详解】解：∵，以C为圆心，AC长为半径画圆弧，使点B在该圆弧上，
∴CA=CB，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AB=2
∴AC=2，
∴图中阴影部分图形的面积和为S⊙O−S扇形CAB=π×12−90360π×22=π2，
故答案为：π2．
【题型7 割补法】
【例7】（2024·重庆江津·模拟预测）如图，矩形ABCD中，以C为圆心，CD为半径作圆弧交AB于点E，CB为半径作圆弧交CD于点F，连接AC，若AC=5，BC=1，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）
【答案】32+112π
【分析】连接CE交BF于点K，过点E作EH⊥CD，垂足为H，利用勾股定理求出AB=AC2−BC2=2，从而得到CD=AB=2，证明四边形EHCB是矩形，得到AD=BC=EH=CK=1，根据题意可得CE=CD=2，即sin∠ECH=EHCE=12，求出∠ECH=30°，进而得到∠BCK=60°,CH=CE2−EH2=3，得到BE=3，利用阴影部分的面积等于S扇形CDE−S扇形CFK+S△BCE−S扇形CBK求解即可．
【详解】解：连接CE交BF于点K，过点E作EH⊥CD，垂足为H，
∵四边形ABCD是矩形，AC=5，BC=1，
∴∠ABC=90°
∴ AB=AC2−BC2=2，
∴ CD=AB=2，
∵EH⊥CD，
∴∠EHC=∠ADC=90°，
∴EH∥AD∥BC，
∴∠HEB=90°，
∴∠EHC=∠EBC=∠BCH=∠HEB=90°
∴四边形EHCB是矩形，
∴ AD=BC=EH=1，
根据题意可得CE=CD=2，EH=CK=1，
∵ sin∠ECH=EHCE=12，
∴ ∠ECH=30°，
∴ ∠BCK=60°，
∵CH=CE2−EH2=3
∴ BE=3，
∴利用阴影部分的面积等于S扇形CDE−S扇形CFK+S△BCE−S扇形CBK
=30π×22360−30π×12360+12BE⋅BC−60π×12360
=13π−112π+12×3×1−16π
=32+112π
故答案为：32+112π．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，不规则图形面积的求法，涉及矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握这些性质和熟记扇形面积求法是解题的关键．
【变式7-1】（2024·贵州贵阳·一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠A=30°，BC=4，弦CD⊥AB于F，点E是AB延长线上一点，且AF=EF，连接DE．
(1)填空：∠BCD= °；
(2)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(3)取CB的中点M，连接DM，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)30
(2)DE与⊙O相切，理由见解析
(3)8π3−23
【分析】（1）根据垂径定理得到BC=BD，根据圆周角定理得到结论；
（2）连接OD，根据垂径定理得到CF=DF，∠AFC=∠EFD=90°，根据全等三角形的性质得到∠E=∠A=30°，根据切线的判定定理得到结论；
（3）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据勾股定理得到AC=AB2−BC2=43，连接OM，根据三角形中位线定理得到OM∥AC，OM=12AC=23，求得∠BOM=∠A=30°，得到∠DOM=90°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵弦CD⊥AB于F，AB是⊙O的直径，
∴ BC=BD，
∴∠BCD=∠A=30°，
故答案为：30；
（2）解：DE与⊙O相切，
理由如下：
连接OD，如图所示：
∵弦CD⊥AB于F，AB是⊙O的直径，
∴CF=DF，∠AFC=∠EFD=90°，
∵AF=EF，
∴△ACF≌△EDF(SAS)，
∴∠E=∠A=30°，
∵∠DOE=2∠A=60°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE与⊙O相切；
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，
∴AC=AB2−BC2=43，
连接OM，如图所示：
∵点M是CB的中点，
∴BM=CM=12BC=2，
∵AO=BO，
∴OM是△ABC的中位线，
∴OM∥AC，OM=12AC=23，
∴∠BOM=∠A=30°，
∵∠BOD=60°，
∴∠DOM=90°，
∴图中阴影部分的面积=△BOM的面积+扇形BOD的面积−△DOM的面积=12×2×23+60π×42360−12×23×4=8π3−23．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，垂径定理，扇形的面积的计算，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
【变式7-2】（2024·重庆渝北·模拟预测）如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，线段AB长为半径画弧，交边AD于点E，再以顶点C为圆心，线段CB长为半径画弧，交边AD于点F，若AB=4，AD=8，则BE，BF和EF围成的阴影部分的面积是 ．
【答案】283π+83−32
【分析】本题考查扇形的面积公式，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法求阴影部分面积．
如图，首先证明△ABE是等腰直角三角形，根据S阴影=S矩形ABCD−S矩形ABCD−S扇形ABE−S矩形ABCD−S扇形CBF−S△CDF求解即可；
【详解】解：如图．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8,CD=AB=AE=4,∠ABC=∠A=∠DCB=∠D=90°，
∴BC=CF=8，
∴DF=FC2−CD2=82−42=43，
∴tan∠DFC=443=33，
∴∠BCF=∠DFC=30°，
∴S阴影=S矩形ABCD−S矩形ABCD−S扇形ABE−S矩形ABCD−S扇形CBF−S△CDF
=S扇形ABE+S扇形CBF+S△CDF−S矩形ABCD
=90π⋅42360+30π⋅82360+12×4×43−4×8
=283π+83−32，
故答案为：283π+83−32．
【变式7-3】（2024九年级·全国·专题练习）如图，将半径为4，圆心角为90°的扇形ABC绕弧AC的中点P逆时针旋转45°，点A，B,C的对应点分别为点D,E,F，点D落在AB上，点C落在EF上，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】4π+82−16
【分析】本题考查旋转的性质，扇形的面积，等腰三角形的判定和性质等，设DE与BC的交点为Q，连接BP、DP、AP，过点P作PG⊥AB于点G，由S弓形AP=S弓形DP可得S阴影=S扇形ABC−S△ADP−S△DBQ，再证△BPG，△DBQ是等腰直角三角形，求出相关线段长度，进而求出S△ADP，S△DBQ，代入计算即可．
【详解】如图，设DE与BC的交点为Q，连接BP、DP、AP，过点P作PG⊥AB于点G，
∵扇形ABC绕点P逆时针旋转45°得到扇形DEF，
∴S弓形AP=S弓形DP，扇形ABC中空白部分的面积=S△ADP+S△DBQ，
∴S阴影=S扇形ABC−S△ADP−S△DBQ．
∵AP=DP，
∴△ADP是等腰三角形，
∴AG=GD，
∵∠ABC=90°，P为弧AC的中点，
∴∠ABP=45°，
∴△BPG是等腰直角三角形，
∵BP=4，
∴GB=GP=22，
∴AG=4−22，
∴AD=8−42，
∴S△ADP=12⋅AD⋅PG=12×(8−42)×22=82−8，
∵∠PDQ=∠PAD，
∴∠QDB=45°，
∴△DBQ为等腰直角三角形，
∴S△DBQ=12BD2=12(4−AD)2=24−162，
∵S扇形ABC=90π×42360=4π，
∴S阴影=4π−82−8−4−162=4π+82−16．
故答案为：4π+82−16．
【题型8 重组法】
【例8】（23-24九年级·云南红河·期末）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（ ）
A．2π−4B．2π−2C．4π−4D．4π−2
【答案】A
【分析】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图．连接AB，则阴影部分面积=2S扇形AOB−S△ABO，依此计算即可求解．
【详解】解：连接AB，
由题意得，阴影部分面积=2S扇形AOB−S△AOB=290π×22360−12×2×2=2π−4．
故选：A．
【变式8-1】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以OB为直径作半圆交AB于点D，连接OD，则阴影部分的面积是（ ）
A．12π−1B．12π−2C．π−2 D．π−1
【答案】C
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知OA=OB=2，∠ABO=∠BAO=45°，从而证明OD=BD，最后根据阴影部分的面积=扇形AOB的面积−△AOB的面积，进行解答即可．
【详解】解：由题意可知：OA=OB=2，∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵OB为直径，
∴∠ODB=90°，
∴∠DOB=∠DBO=45°，
∴OD=BD，
∴弓形OD的面积=弓形BD的面积，
∴阴影部分的面积
=扇形AOB的面积−△AOB的面积
=90π×22360−12×2×2
=π−2，
故选：C．
【变式8-2】（2023·福建莆田·模拟预测）如图，以锐角△ABC的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则△ABC的面积为 ．
【答案】180
【分析】本题考查了扇形的面积的计算，圆的面积的计算，正确的识别图形找出各图形之间的关系是解题的关键． 设△ABC外的6个小弓形的面积和为S弓形
，观察图形得到S弓形=△ABC外的3个半圆的面积和−三角形外的阴影部分总面积=△ABC外的3个半圆的面积和−450，得到△ABC的面积=12(另外3个半圆的面积和S弓形−三角形内部的深色阴影部分面积)，于是得到答案
【详解】解：设△ABC外的6个小弓形的面积和为S弓形，
S弓形=△ABC外的3个半圆的面积和−三角形外的阴影部分总面积=△ABC外的3个半圆的面积和−450，
∴△ABC的面积=12(另外3个半圆的面积和−S弓形−三角形内部的深色阴影部分面积)
=12[另外3个半圆的面积和−(△ABC外的3个半圆的面积和−450)−90]
=12450−90
=180；
故答案为∶180．
【变式8-3】（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=12x2的图象，C2是函数y=−12x2的图象，C3是函数y=3x的图象，则阴影部分的面积是（ ）
A．2πB．53πC．113πD．43π
【答案】B
【分析】本题主要考查了求扇形面积，二次函数与几何综合，解题的关键是对阴影部分的面积进行转换．
根据对称性得到阴影部分面积就是一个圆心角度数为150°，半径为2的扇形面积是解题的关键．
【详解】解：抛物线y=12x2与抛物线y=−12x2的图象关于x轴对称，
直线y=3x中当x=1时，y=3，
直线与x轴的正半轴的夹角正切值为3，故直线与x轴的正半轴的夹角为60°，且抛物线y=12x2和抛物线y=−12x2的图象自身都关于y轴对称，
∴根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分面积就是一个扇形面积，并且扇形的圆心角为90°+60°=150°，半径为2，
∴S阴影=150×π×22360=53π，
故选：B．
【题型9 等积转化法】
【例9】（22-23九年级·浙江宁波·开学考试）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°， CD=23，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．23πB．2π C．233πD．π
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂径定理、扇形面积公式等知识点，解题的关键是将求非规则图形的面积转化为求规则图形的面积．根据AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，由垂径定理得CE=DE，再根据三角函数的定义即可得出OC，可证明Rt△COE≌Rt△DBEAAS，即可得出S阴影=S扇形OBC．
【详解】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=23
∴CE=DE=3．
∵∠CDB=30°，
∴∠COE=60°，∠DBE=90°−30°=60°，
∴∠COE=∠DBE．

又∵∠CEO=∠DEB=90°
∴Rt△COE≌Rt△DBEAAS，
在Rt△OEC中，OC=OEsin60°=2，
∴S阴影=S扇形BOC=60π×OC2360=16π×22=23π．
故选A．
【变式9-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC=BC= 2，则图中阴影部分的面积是
【答案】π4/14π
【分析】本题考查了扇形面积的计算．求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．先利用圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，则可判断△ACB为等腰直角三角形，接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，于是得到S△AOC=S△BOC，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积．
【详解】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC=2，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都是等腰直角三角形，
∴S△AOC=S△BOC，OA=22AC=1，
∴S阴影部分=S扇形AOC=90⋅π·12360=π4．
故答案为：π4．
【变式9-2】（2024·河南漯河·二模）如图，AB是半圆O的直径，AB=4，将半圆O绕点A逆时针旋转22.5°，点B的对应点B′，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】12π+2
【分析】本题考查了求不规则图形的面积及旋转的性质，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题．记AB′与半圆O交于点C，连接OC，作CH⊥AB于点H，先证明△OCH是等腰直角三角形，再求出CH=22OC=22×2=2，根据三角形面积公式算出S△OAC，再根据圆周角定理和扇形面积公式算出S扇形OBC，即可解题．
【详解】解：记AB′与半圆O交于点C，连接OC，作CH⊥AB于点H，
由旋转的性质可知，两个半圆面积相等，∠OAC=22.5°，
∴图中阴影部分的面积=S△OAC+S扇形OBC，
∵ AB=4，
∴OA=OC=2，
∴ ∠OAC=∠OCA=22.5°，
∴∠COH=45°，
∴△OCH是等腰直角三角形，
∴CH=22OC=22×2=2，
∴ S△OAC=12OA⋅CH=12×2×2=2，S扇形OBC=45π×22360=12π，
∴图中阴影部分的面积是12π+2，
故答案为：12π+2．
【变式9-3】（23-24九年级·四川成都·开学考试）（组合图形求面积）如图ABCD是平行四边形，AD=8cm，AB=10cm，∠DAB=30°，高CH=4cm，弧BE、DF分别以AB、CD为半径，弧DM、BN分别以AD、CB为半径，阴影部分的面积为多少？（π取3）
【答案】2cm2
【分析】本题考查了扇形和平行四边形的面积公式，解答此题的关键是利用等面积转化，利用其它图形的面积推出阴影部分的面积．
由题意可知：S阴影=S扇形ABE+S扇形CDF−S平行四边形ABCD−S平行四边形ABCD−S扇形AMD−S扇形CBN，将题目所给数据代入此等量关系式，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：S阴影=S扇形ABE+S扇形CDF−S平行四边形ABCD−S平行四边形ABCD−S扇形AMD−S扇形CBN，
=S扇形ABE+S扇形AMD+S扇形CDF+S扇形CBN−2S平行四边形ABCD，
=2S扇形ABE+S扇形CBN−S平行四边形ABCD，
=2×30×π×102360+30×π×82360−10×4，
=2×25π3+16π3−40，
=2×41π3−40，
=2×41−40，
=2cm2．