初中数学北师大版（2024）九年级下册第三章 圆1 圆随堂练习题

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级下册第三章 圆1 圆随堂练习题，共52页。

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\l "_Tc3222" 【题型1 求正多边形中心角】 PAGEREF _Tc3222 \h 2
\l "_Tc845" 【题型2 由正多边形中心角求边数】 PAGEREF _Tc845 \h 3
\l "_Tc29576" 【题型3 尺规作正多边形】 PAGEREF _Tc29576 \h 3
\l "_Tc27044" 【题型4 正多边形和圆中求线段长度】 PAGEREF _Tc27044 \h 5
\l "_Tc10004" 【题型5 正多边形和圆中求角度】 PAGEREF _Tc10004 \h 6
\l "_Tc29422" 【题型6 正多边形和圆中求周长】 PAGEREF _Tc29422 \h 7
\l "_Tc6290" 【题型7 正多边形和圆中求面积】 PAGEREF _Tc6290 \h 8
\l "_Tc2813" 【题型8 正多边形和圆中求最值】 PAGEREF _Tc2813 \h 9
\l "_Tc19686" 【题型9 正多边形和圆中的证明】 PAGEREF _Tc19686 \h 10
知识点：正多边形和圆
（1）正多边形的有关概念
正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n就是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所的的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就就是这个正多边形的外接圆。
正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。
（2）正多边形的有关计算
（3）正多边形每个内角度数为，每个外角度数为
【题型1 求正多边形中心角】
【例1】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，圆内接正九边形两条对角线AB,CD相交，则∠1的度数是（ ）
A．45°B．54°C．60°D．72°
【变式1-1】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）将一个正八边形绕着其中心旋转后与原图形重合，旋转角的大小不可能是（ ）
A．45°B．60°C．135°D．180°
【变式1-2】（23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）苯（分子式为C6H6）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则∠CBF−∠COD的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【变式1-3】（15-16九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7= °
【题型2 由正多边形中心角求边数】
【例2】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10B．12C．15D．20
【变式2-1】（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）已知一个正多边形的中心角为45°，边长为5，那么这个正多边形的周长等于 ．
【变式2-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的内接正m边形的一边，BC是⊙O的内接正n边形的一边，∠ADC=60°，则mn= ．

【变式2-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【题型3 尺规作正多边形】
【例3】（23-24九年级上·福建福州·期中）尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。
(1)求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法,保留作图痕迹)；
(2)已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。
【变式3-1】（23-24·陕西·一模）如图，已知⊙O，请用尺规作图法求作⊙O的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式3-2】（23-24九年级·河北·专题练习）如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下：
①作出半径OF的中点H．
②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G．
③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E．
已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号）
【变式3-3】（2024·江苏无锡·一模）尺规作图：
(1)请在图①中以矩形ABCD的AD边为边作菱形ADEF，使得点E在BC上；
(2)请在图②中以矩形ABCD的AD边为直径作⊙O，并在⊙O上确定点P，使得△BCP的面积与矩形ABCD的面积相等.
【题型4 正多边形和圆中求线段长度】
【例4】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，半径为2的⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，则边心距OM的长度为（ ）

A．1B．3C．32D．2
【变式4-1】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，分别以点A、D为圆心，AE长为半径作弧，在⊙O外交于点G，连接OG．若⊙O的半径为1，则OG的长度为 ．
【变式4-2】（23-24九年级·全国·假期作业）如图，正方形ABCD和正三角形AEF内接于⊙O，DC、BC交EF于G、H，若正方形ABCD的边长是4，则GH的长度为( )
A．22B．42−433C．436D．832−3
【变式4-3】（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为2cm．

(1)求CD的长度；
(2)若G为CD的中点，连接AG，求AG的长度．
【题型5 正多边形和圆中求角度】
【例5】（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长为2．
(1)求⊙O的直径AD的长；
(2)求∠ADB的度数．
【变式5-1】（2024·宁夏银川·二模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为劣弧AB上的动点，则∠APB的大小为 ．

【变式5-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，P为弧AB上的一点（点P不与点A，B重合），求∠DPF的度数．
【变式5-3】（2024·安徽淮北·二模）如图，⊙O是正五边形ABCDE和正六边形AFGHIJ的外接圆，连接OC和OG，则∠COG的度数为 ．
【题型6 正多边形和圆中求周长】
【例6】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，若⊙O的半径为6，则四边形ACDF的周长是（ ）
A．6+63B．12+63C．12+123D．6+123
【变式6-1】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，记△ACE的周长为C1，正六边形ABCDEF的周长为C2，则C1C2的值为 ．
【变式6-2】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，已知⊙O的半径为1，连接OA,OE，则四边形AOEF的周长为（ ）
A．6B．43C．4D．42
【变式6-3】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的周长为2π，MN=1，则△AMN周长的最小值是 ．

【题型7 正多边形和圆中求面积】
【例7】（2024·江苏南京·三模）如图，S1表示⊙O1中去掉内接正三角形部分的面积，S2表示⊙O2中去掉内接正六边形部分的面积，⊙O1和⊙O2的半径均为6，则S1 2S2．（填“>、、
【分析】本题考查了圆的内接正多边形，分别求出S1、S2，再根据作差法即可求解，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接O1A、O1B、O1C，过O1作O1D⊥BC于D，连接O2E、O2F，过O2作O2M⊥EF于M，
在图1中，∠O1BD=12∠ABC=30°，BC=2BD，O1B=6，∠BDO=90°，
∴O1D=3，BD=33，
∴BC=2BD=63，
∴S△ABC=3S△O1BC=3×12×63×3=273
S1=π×62−S△ABC=36π−273，
在图2中，∠EO2F=60°，O2E=O2F=6，
∴△EO2F为等边三角形，
O2E=O2F=EF=6
∵O2M⊥EF，
∴∠EM=12EF=3，
∴O2M=O2E2−EM2=62−32=33，
∴S△EO2F=12EF·O2M=12×6×33=93，
S2=π×62−6S△EO2F=π×62−6×93=36π−543，
∴2S2=236π−543=72π−1083，
∴S1−2S2=36π−273−72π−1083=813−36π>0，
∴S1>2S2，
故答案为：>．
【变式7-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，⊙O的半径为2，以⊙O的内接正八边形的一边为边在⊙O内作正方形ABCD，则正方形ABCD的面积为 ．
【答案】4−22
【分析】本题考查了正多边形和圆，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理；
连接OA，OD，过A作AE⊥OD于E，求出∠AOD=45°，可得△AOE是等腰直角三角形，然后求出AE=OE=1，进而求出DE，然后利用勾股定理求出AD2即可得到答案．
【详解】解：如图，连接OA，OD，过A作AE⊥OD于E，则∠AEO=∠AED=90°，
∵∠AOD是正八边形的中心角，
∴∠AOD=360°8=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OE=22OA=22×2=1，
∴DE=OD−OE=2−1，
∴AD2=AE2+DE2=12+2−12=4−22，
∴正方形ABCD的面积为：AD2=4−22，
故答案为：4−22．
【变式7-2】（2024·江苏无锡·一模）魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积． 如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．过A作AC⊥OB于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为360°12=30°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，过A作AC⊥OB于C，
∵圆的内接正十二边形的圆心角为360°12=30°，
∵OA=1，
∴AC=12OA=12，
∴SΔOAB=12×1×12=14，
∴这个圆的内接正十二边形的面积为12×14=3，
故选：C
【变式7-3】（23-24九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点DE在⊙O上．四边形BCDE为平行四边形，则平行四边形BCDE的面积是（ ）
A．43B．4C．2D．23
【答案】A
【分析】连接BD、OC，根据平行四边形的性质得∠BCD=90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=120°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD，BC，然后根据矩形的面积公式求解．
【详解】解：连接BD、OC，如图，
∵四边形BCDE为平行四边形，
∴∠E=∠BCD，
∵∠E+∠BCD=180°，
∴∠E=∠BCD=90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴BD=4，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
而OB=OC，
∴∠CBD=30°，
在Rt△BCD中，CD=12BD=2，BC=3CD=23，
∴矩形BCDE的面积=BC⋅CD=43．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
【题型8 正多边形和圆中求最值】
【例8】（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）
A．0.5B．1C．4−22D．2−2
【答案】D
【分析】此题考查了圆与正多边形的性质，勾股定理，设正方形四个顶点分别为A、B、C、D，连接OA并延长，交⊙O于点E，由题意可得，EA的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，求解即可．
【详解】解：设正方形四个顶点分别为A、B、C、D，连接OA并延长，交⊙O于点E，过点O作OF⊥AB，如下图：

则EA的长度为圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值，
由题意可得：OE=AB=2，AF=OF=12AB=1，
由勾股定理可得：OA=OF2+AF2=2，
∴AE=2−2，
故选：D．
【变式8-1】（23-24·陕西西安·一模）如图，点P为⊙O上一点，连接OP，且OP=4，点A为OP上一动点，点B为⊙O上一动点，连接AB，以线段AB为边在⊙O内构造矩形ABCD，且点C在⊙O上，则矩形ABCD面积的最大值为 ．
【答案】32
【分析】根据当圆的半径确定以后，圆内接正方形是圆内接矩形中面积最大的，进而求得圆内接正方形的面积，则矩形ABCD面积的最大值为圆内接正方形面积，据此求解即可．
【详解】如图，四边形BCEF是圆O的内接正方形，当圆的半径确定以后，圆内接正方形是圆内接矩形中面积最大的；
点A，D分别是正方形的对边BF，CE的中点，
此时矩形ABCD的面积恰好是正方形BCEF的面积，
圆O的直径PQ恰好经过点A，D，
连接BE ，
∵四边形BCEF是圆O的内接正方形，OP=4，
∴BE = PQ = 2OP =8，BC = CE，
∵∠C= 90°，
∴BC2 + CE2 = 2BO2 = BE2 = 82，
∴BC2=32，即S正方形BCEF=32，
如图，当P,A重合时，当A,B,C,D四点都在圆上时，四边形ABCD是正方形
矩形ABCD面积的最大值为32．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了圆内接四边形，将问题转化为圆内接四边形是解题的关键．
【变式8-2】（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，点M是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点（不包括边界），且AM⊥BM，P是FC上的一点，N是AF的中点，则PN+PM的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了正多边形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识．取AB中点O，EF中点Q，连接PQ，MO，延长EF、BA相交于点T，利用轴对称的性质可得PN+PM+MO=PQ+PM+MO≥QO，从而得出当Q,P,M,O共线时，PN+PM的最小值为QO−MO=QM，然后利用直角三角形斜边中线的性质求出OM=1，证明△FTA，△QTO为等边三角形，即可求解．
【详解】解：取AB中点O，EF中点Q，连接PQ，MO，延长EF、BA相交于点T，
，
∵正六边形ABCDEF关于直线CF对称，
∴N，Q也关于直线CF对称，
∴PQ=PN，
∵AM⊥BM，O为AB中点，
∴MO=12AB=1，
∴PN+PM+MO=PQ+PM+MO≥QO，
当Q,P,M,O共线时，PN+PM+MO=PQ+PM+MO=QO，
∴PN+PM的最小值为QO−MO=QM，
∵正六边形ABCDEF的边长为2，
∴∠TFA=∠TAF=360°6=60°，AF=EF=AB=2，
∴△TAF是等边三角形，
∴FT=AT，∠T=60°，
∵EF=AB=2，O为AB中点，Q为EF中点，
∴AO=12AB=1，FQ=12EF=1，
∴TQ=3=TO，
∴△TQO是等边三角形，
∴QO=3，
∴QM=2，
∴PN+PM的最小值为2．
故答案为：2．
【变式8-3】（23-24·广东广州·中考真题）如图，⊙O为等边ΔABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB⏜上运动（不与点A,B重合），连接DA，DB，DC．
（1）求证：DC是∠ADB的平分线；
（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；
（3）若点M,N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，ΔDMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．
【答案】(1)详见解析；(2)是， S=34x2(23