北师大版（2024）九年级下册1 圆课后测评

这是一份北师大版（2024）九年级下册1 圆课后测评，共106页。

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\l "_Tc15815" 【考点1 圆的有关性质】 PAGEREF _Tc15815 \h 1
\l "_Tc8590" 【题型1 垂径定理的应用】 PAGEREF _Tc8590 \h 2
\l "_Tc32063" 【题型2 弧、弦、圆心角的关系】 PAGEREF _Tc32063 \h 4
\l "_Tc12555" 【题型3 圆周角定理及其推论的应用】 PAGEREF _Tc12555 \h 5
\l "_Tc27968" 【题型4 巧用圆内接四边形的性质求解】 PAGEREF _Tc27968 \h 6
\l "_Tc27975" 【考点2 点和圆、直线和圆的位置关系】 PAGEREF _Tc27975 \h 8
\l "_Tc23789" 【题型5 切线的判定】 PAGEREF _Tc23789 \h 9
\l "_Tc21951" 【题型6 切线的性质】 PAGEREF _Tc21951 \h 10
\l "_Tc3881" 【题型7 切线长定理】 PAGEREF _Tc3881 \h 12
\l "_Tc17849" 【题型8 三角形的外接圆与内切圆】 PAGEREF _Tc17849 \h 13
\l "_Tc20047" 【考点3 正多边形和圆】 PAGEREF _Tc20047 \h 15
\l "_Tc29094" 【题型9 正多边形和圆的有关计算】 PAGEREF _Tc29094 \h 15
\l "_Tc19079" 【题型10 正多边形中的规律探究性问题】 PAGEREF _Tc19079 \h 16
\l "_Tc18596" 【考点4 弧长和扇形面积】 PAGEREF _Tc18596 \h 18
\l "_Tc32705" 【题型11 圆锥侧面展开图的有关计算】 PAGEREF _Tc32705 \h 18
\l "_Tc8961" 【题型12 不规则图形面积的计算】 PAGEREF _Tc8961 \h 20
\l "_Tc2214" 【题型13 利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题】 PAGEREF _Tc2214 \h 21
【考点1 圆的有关性质】
知识点一 圆的定义
圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以瞧成就是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知：第一种定义就是圆的形成进行描述的，第二种就是运用集合的观点下的定义，但就是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。
知识点二 圆的相关概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦就是线段，弧就是曲线，判断等弧首要的条件就是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才就是等弧，而不就是长度相等的弧。
知识点三 圆的对称性
圆就是轴对称图形，任何一条直径所在直线都就是它的对称轴。
知识点四 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论：平分弦（不就是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不就是直径，否则结论不成立。
知识点五 弦、弧、圆心角的关系
弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。
注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。
知识点六 圆周角定理
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角就是直角，90°的圆周角所对弦就是直径。
圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”就是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。
知识点七 圆内接四边形及其性质
圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
【题型1 垂径定理的应用】
【例1】（2024·江西吉安·三模）如图，一座石桥的主桥拱是四弧形，某时刻添得水面AB的宽度为8米，拱高CD（AB的中点C到水面的距离）为2米．
(1)求主桥拱所在圆的半径．
(2)在主桥拱所在圆的圆心处有一水位检测仪，若过几天某时刻的水面为EF，检测仪观测点E的仰角为25.6°，求此时水面的宽度．（参考数据：sin25.6°≈0.43，cs25.6°≈0.90，tan25.6°≈0.48）
【变式1-1】（23-24九年级·安徽淮南·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．如图，用锯去锯这木材，锯口深ED=1寸，锯道长AB=1尺（1尺=10寸）．这根圆柱形木材的直径是多少寸？
【变式1-2】（2024·河南周口·二模）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何?”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为2寸，锯道AB=1.2尺（1.2尺=12寸），求该圆材的直径为多少寸?
【变式1-3】（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，装有水的水槽放在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=40cm，GH为桌面截线，水面截线MN∥GH，直径一端点B刚好与点N重合，∠ANM=30°．
(1)计算MN的长度，并比较直径AB与MN长度的大小；
(2)请在图中画出线段CD，用其长度表示水的最大深度，并求水的最大深度．
【题型2 弧、弦、圆心角的关系】
【例2】（2024·江苏南京·二模）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB=CD．
(1)求证：AC=BD；
(2)连接 BC，作直线EO，求证：EO⊥BC．
【变式2-1】（23-24九年级·湖南湘西·期末）如图，AC=CB，D，E分别是半径OA，OB的中点．求证：CD=CE．
【变式2-2】（23-24九年级·甘肃武威·期末）已知，如图，在⊙O中，AB=DE，BC=EF，求证：AC=DF．
【变式2-3】（2024·浙江·模拟预测）已知AB，CD是圆O的内接四边形ACBD的两条对角线，AB，CD相交于点M，且AB=CD．
(1)如图1，求证：BM=DM．
(2)在图1中找出一组全等的三角形，并给出证明．
(3)如图2，圆O的半径为5，弦CD⊥AB于点P，当△CBP的面积为3.5时，求AB的长．
【题型3 圆周角定理及其推论的应用】
【例3】（2024·贵州遵义·三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AC的中点，连接BD，AD，CD．CE平分∠ACB交BD于点E．
(1)写出图中一个与∠ACD相等的角______；
(2)试判断△CDE的形状，并说明理由；
(3)若⊙O的半径为23，∠ABC=60°，求AC的长．
【变式3-1】（2024·安徽合肥·二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知AC⊥BD，垂足为E，弦AB的弦心距为OF．
（1）若AF=OF，则∠ADB的度数为 ；
（2）若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长为 ．
【变式3-2】（2024·江苏南京·二模）千姿百态的桥
问题：景区计划在半径为1km的人工湖⊙O上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计．
“X型”
（1）如图①，若点A，B，C，D在⊙O上，则AC+BD的最大值为 km；
“L型”
（2）如图②，若点A，B，C在⊙O上，且AB⊥BC．求AB+BC的最大值；
“T型”
（3）如图③，若点A，B，C在⊙O上，且AC⊥BD，垂足为D，则AC+BD的最大值为 km．
【变式3-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB的中点，弦CD，CE分别交AB于点F，G，且∠DCE=12∠ACB，连接DE．
(1)设∠ACD=α，用含α的式子表示∠CDE的度数；
(2)求证：FG2=AF2+BG2；
(3)若⊙O的半径为1，记△ACF，△BCG，△CFG的面积分别为S1，S2，S，设AF=a，BG=b，且满足S12+S1S−S22+12S1⋅ab=0，求a，b的值．
【题型4 巧用圆内接四边形的性质求解】
【例4】（2024·福建泉州·模拟预测）已知AB，CD为⊙O的位于圆心两侧的两条弦，且AD=BC．
(1)如图1，连接AC，BD．求证：AB∥CD．
(2)如图2，过点A作CD的垂线交⊙O于点E．若在AC上取一点F，使得AF=CE．求证：D，O，F三点共线．
【变式4-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，A,B,C,D,E均是⊙O上的点，且BE是⊙O的直径，若∠BCD=2∠BAD，则∠DAE的度数是（ ）
A．20°B．30°C．40°D．45°
【变式4-2】（2024·吉林白城·模拟预测）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边AB上，若∠ABC=70°，则∠AEC= °．
【变式4-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．
如图，圆内接四边形ABCDABCD的对角线ACAC，BDBD交于点EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD
(1)求证：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC=AD，BF=2，试求四边形ABCD的面积和此圆半径的长．
【考点2 点和圆、直线和圆的位置关系】
知识点一 点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。
（2）用数量关系表示：若设⊙O的半径就是r，点P到圆的距离OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r；点p在圆上 d=r；点p在圆内 d＜r。
知识点二 过已知点作圆
（1）经过一个点的圆（如点A）
以点A外的任意一点（如点O）为圆心，以OA为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。
·O1
A ·O2
·O3
（2）经过两点的圆（如点A、B）
以线段AB的垂直平分线上的任意一点（如点O）为圆心，以OA（或OB）为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作无数个。
A
B
（3）经过三点的圆
①经过在同一条直线上的三个点不能作圆
②不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，作法：连接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点O，以点O为圆心，以OA（或OB、OC）的长为半径作圆即可，如图，这样的圆只能作一个。
知识点三 三角形的外接圆与外心
（1）经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。
（2）外接圆的圆心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
知识点四 直线与圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。
（2）直线与圆的位置关系可以用数量关系表示
若设⊙O的半径就是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交 d ＜ r； 直线l与⊙O相切 d = r； 直线l与⊙O相离 d ＞ r。
知识点五 切线的判定与性质
（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。
（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
（3）切线的其她性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
知识点六 切线长定理
（1）切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
（3）注意：切线与切线长就是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线就是直线，就是不能度量的；切线长就是一条线段的长，这条线段的两个端点一个就是在圆外一点，另一个就是切点。
知识点七 三角形的内切圆与内心
（1）三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。
（2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。
（3）注意：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点与内心的射线，必平分三角形的内角。
【题型5 切线的判定】
【方法总结】因为切线与圆有且只有一个公共点,所以题中信息是否明确给出公共点可以作为判定切线方法选择的一个标准.
【例5】（2024·广东广州·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，∠CDB=3∠ABC，CD平分∠ACB，与AB相交于点E．
(1)在CA的延长线上找一点F，使CF=CD，连接FD（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：FD是⊙O的切线．
【变式5-1】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C′落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB=90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【变式5-2】（2024·山东青岛·一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D为BC的中点，∠ABE=∠C，E在CA的延长线上．
(1)EB是⊙O的切线吗？为什么？
(2)若DB=12AC，则∠DBC的度数为______°．
【变式5-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，BC的延长线与过点A的直线相交于点E，且∠ABE=∠EAC．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)点F是弧AD的中点，点B在弧DF上，过点F作FG⊥AB于点G，是否存在常数k，使AB+BD=kAG？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【题型6 切线的性质】
【方法总结】已知圆的切线时,常连接圆心和切点,得到半径垂直于切线,通过构造直角三角形解决问题,即“见切线,连半径,得垂线”.
【例6】（2024·湖南·二模）如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，△ABC是等边三角形，AE是⊙O的切线，D是AC的中点，CD的延长线交AE于点E．
(1)求证：AE∥BC；
(2)若DE=2，求△ADE的面积．
【变式6-1】（2024·天津滨海新·模拟预测）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AB=2AC．
(1)如图①，点P是弧BC上一点，求∠APC的大小；
(2)如图②，过点C作⊙O的切线MC，过点B作BD⊥MC于点D，BD与⊙O交于点E，若AB=4，求CE的长．
【变式6-2】（2024·安徽合肥·三模）如图，在四边形ABCD中，AO平分∠BAD．点O在AC上，以点O为圆心，OA为半径，作⊙O与BC相切于点B，BO延长线交⊙O于点E，交AD于点F，连接AE，DE．

(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AE=DE=8，求AF的长．
【变式6-3】（2024·山东·模拟预测）如图，AD是⊙O的直径，B、C都是⊙O上的点，连接AB、BC、OC、AC，E是AC延长线上一点，连接DE，且∠ABC=∠AED．
(1)证明：DE是⊙O的切线；
(2)连接OE，交⊙O于点F．当CD=AO时，若CE=2，求EF的长．
【题型7 切线长定理】
【例7】（23-24九年级·河南商丘·期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，连接OA，且OA=OB．连接CE交OA于点F．
(1)求证：AB=2AC．
(2)若AC=3，求线段OC，CF的长．
【变式7-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若CD∥AB，AB=10，AD=6，则CB长（ ）
A．4B．5C．6D．无法确定
【变式7-2】（2024·山东聊城·二模）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半圆O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长是 ．
【变式7-3】（23-24九年级·江苏扬州·期中）数学兴趣小组的同学在探究等分问题的过程中，得到了很多成果．
成果一：制作了三分角仪．图(1)是示意图，点B在半径OC的延长线上，CD⊥OC，BC=OC，CD足够长．若要将∠GAH三等分，只需要适当放置三分角仪，使点A在CD上，点B落在AG上，当AH与半⊙O相切时，AC、AO就将∠GAH三等分了．
成果二：创造了只用圆规将圆四等分的方法．如图(2)，具体步骤为：①将⊙O六等分，等分点分别是点A、B、C、D、E、F；②分别以点A、D为圆心，AE长为半径作弧，交于点G；③以点A为圆心，OG长为半径作弧，交⊙O于点M、N，则点A、M、D、N将⊙O四等分．
(1)请你说明三分角仪的正确性；
(2)证明点A、M、D、N是⊙O四等分点．
【题型8 三角形的外接圆与内切圆】
【方法总结】三角形内切圆的常用结论：
【例8】（2024·上海·模拟预测）如图，AB是圆O直径，弦CE⊥AB，垂足为D，圆O周长为4π，AC=23
(1)AE，求△AEC内切圆的面积；
(2)BC，OE，求证：BC∥OE．
【变式8-1】（23-24九年级·江苏盐城·期中）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D．
(1)求证：∠BAD=∠CBD；
(2)求证：BD=ID；
(3)连接BI、CI，求证：点D是△BIC的外心．
【变式8-2】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
(1)求证：EB=EI；
(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
【变式8-3】（23-24九年级·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE，
(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数；
(2)求证：DE=DB．
【考点3 正多边形和圆】
知识点一 正多边形的外接圆与圆的内接正多边形
正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n就是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所的的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就就是这个正多边形的外接圆。
正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。
知识点二 正多边形的性质
（1）正n边形的半径与边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。
（2）所有的正多边形都就是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也就是中心对称图形，正n边形的中心就就是对称中心。
正n边形的每一个内角等于，中心角与外角相等，等于。
【题型9 正多边形和圆的有关计算】
【方法总结】利用正多边形和圆的性质,已知正多边形的边长,求解与正多边形有关的量时,通常做法是作出正多边形的边心距,构造由半径、边心距、边长的一半围成的直角三角形,然后利用勾股定理解决.
【例9】（2024·辽宁·模拟预测）在圆内接正六边形ABCDEF中，AC，EC分别交BD于点H，G．

(1)如图①，求证：点H，G三等分BD．
(2)如图②，操作并证明．
①尺规作图：过点O作AC的垂线，垂足为K，以点O为圆心，OK的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法）
②求证：CE是①所作圆的切线．
【变式9-1】（2024·福建厦门·二模）如图，正五边形ABCEF内接于⊙O，点D在⊙O上，则∠D的度数为（ ）

A．45°B．50°C．60°D．72°
【变式9-2】（2024·广东广州·三模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN=1，则（1）⊙O的直径长为 ；（2）△AMN周长的最小值是 ．
【变式9-3】（23-24九年级·浙江金华·期中）如图所示，已知正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AC、BD，相交于点P．若⊙O的半径为1，
(1)求AC的长；
(2)求∠APD的度数．
【题型10 正多边形中的规律探究性问题】
【方法总结】正多边形中规律探究性问题是重要的考点之一,解答这类问题的关键是灵活运用特殊与一般的思想.这类问题需要从简单的情形入手,由浅入深、由简单到复杂、由特殊到一般逐步分析探索,发现变化规律, 再根据变化规律归纳出最后的结果.
【例10】（2024·湖南湘西·中考真题）观察下列结论：
（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB,BC上的点，且AM=BN，则AN=CM，∠NOC=60°；
（2）如图②，在正方形ABCD中，点M，N是AB,BC上的点，且AM=BN，则AN=DM，∠NOD=90°；
（3）如图③，在正五边形ABCDE中，点M，N是AB,BC上的点，且AM=BN，则AN=EM，∠NOE=108°；……
根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4⋯⋯An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2,A2A3上的点，且A1M=A2N，A1N与AnM相交于O．也会有类似的结论．你的结论是 ．
【变式10-1】（2015·山东威海·中考真题）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A10B10C10D10E10F10的边长为（ ）
A．24329B．81329C．8129D．81328
【变式10-2】（23-24九年级·湖南湘西·期中）如图1，图2，图3⋯，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON，图1中∠MON=120°，图2中∠MON=90°，图3中∠MON=72°…，根据这样的规律，图n中∠MON的度数是 ．
【变式10-3】（23-24九年级·浙江台州·期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解π的意义．
(1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”kn．如图，正三角形ABC的边长为1，求得其内切圆的半径为36，因此k3=___________；
(2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”k4、k6；
(3)[总结]随着n的增大，kn具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括．
【考点4 弧长和扇形面积】
知识点一 弧长公式
在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就就是圆的周长C=2πR，所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式l=×2πR=。
知识点二 扇形面积公式
在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就就是圆的面积S=πR2，所以圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=。
比较扇形的弧长公式与面积公式发现：
S扇形=
知识点三 圆锥的侧面积与全面积
圆锥的侧面积就是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易的到圆锥的侧面展开图就是一个扇形。设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积。圆锥的全面积为。
【题型11 圆锥侧面展开图的有关计算】
【例11】（2024·江苏盐城·三模）如图， ∠BPD=120°，点A、C分别在射线PB、PD上， ∠PAC=30°，AC=23．
(1)用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；
(2)将劣弧AC所在的扇形围成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 ．
(3)求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．
【变式11-1】（23-24九年级·江苏泰州·期中）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角∠ACB=90°的扇形CAB．

(1)求阴影部分面积；
(2)用所裁剪的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径．
【变式11-2】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，在半径为4的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接AC，BC，OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别为点D，E．

(1)若扇形AOB是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径；
(2)在△DOE中是否存在长度为定值的边?若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由．
【变式11-3】（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，

(1)现在需要制作一个r=10cm，l=30cm的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．
【题型12 不规则图形面积的计算】
【例12】（23-24九年级·浙江台州·期末）如图，扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=4，点C为OB的中点，将扇形OAB绕点C顺时针旋转90°，得到扇形O′A′B′，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4π3+533−4B．4π3+23−4
C．4π3+733−4D．4π3+833−4
【变式12-1】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=22，∠ACB=90°，D是AB的中点，以点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在EF上（点E，F不与点C重合），半径DE，DF分别与AC，BC相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ．
【变式12-2】（23-24九年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点O是边BC的中点，半圆O与△ABC相切于点D、E，若阴影部分的面积为π4，则AB的长为（ ）
A．32B．22C．2D．322
【变式12-3】（2024·广东惠州·三模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠A=30°，BC=4，弦CD⊥AB于F，点E是AB延长线上一点，且AF=EF，连接DE．
(1)填空：∠BCD= °；
(2)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(3)取CB的中点M，连接DM，求图中阴影部分的面积．
【题型13 利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题】
【例13】（23-24九年级·云南曲靖·阶段练习）如图，在等边△ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1，若把BP绕着点B逆时针旋转60°得到BP′，连接PP′，AP′．
(1)求∠BPC的度数；
(2)求PP′的长．
(3)求点P划过的路径长；
(4)当BC=52时，如果△BP′A是由△BPC旋转所得，求PC扫过的区域的面积．
【变式13-1】（2024·江苏南通·一模）如图，已知正方形ABCD的边长为22cm，将正方形ABCD在直线l上顺时针连续翻转4次，则点A所经过的路径长为 ( )
A．4πcmB．2+22πcmC．22πcmD．4+22πcm
【变式13-2】（16-17九年级·山东济南·期末）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕着点D在桌面上顺时针旋砖至A1B1C1D，使其停靠在矩形EFGH的点E处，若∠EDF=30°，则点B的运动路径长为（ ）

A．5π6B．5π3C．5π2D．25π3
【变式13-3】（2024·山东淄博·二模）如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；
（2）正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是21+1022π？
专题3.13 圆全章专项复习【4大考点13种题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc15815" 【考点1 圆的有关性质】 PAGEREF _Tc15815 \h 2
\l "_Tc8590" 【题型1 垂径定理的应用】 PAGEREF _Tc8590 \h 3
\l "_Tc32063" 【题型2 弧、弦、圆心角的关系】 PAGEREF _Tc32063 \h 7
\l "_Tc12555" 【题型3 圆周角定理及其推论的应用】 PAGEREF _Tc12555 \h 12
\l "_Tc27968" 【题型4 巧用圆内接四边形的性质求解】 PAGEREF _Tc27968 \h 21
\l "_Tc27975" 【考点2 点和圆、直线和圆的位置关系】 PAGEREF _Tc27975 \h 26
\l "_Tc23789" 【题型5 切线的判定】 PAGEREF _Tc23789 \h 27
\l "_Tc21951" 【题型6 切线的性质】 PAGEREF _Tc21951 \h 33
\l "_Tc3881" 【题型7 切线长定理】 PAGEREF _Tc3881 \h 40
\l "_Tc17849" 【题型8 三角形的外接圆与内切圆】 PAGEREF _Tc17849 \h 46
\l "_Tc20047" 【考点3 正多边形和圆】 PAGEREF _Tc20047 \h 52
\l "_Tc29094" 【题型9 正多边形和圆的有关计算】 PAGEREF _Tc29094 \h 52
\l "_Tc19079" 【题型10 正多边形中的规律探究性问题】 PAGEREF _Tc19079 \h 57
\l "_Tc18596" 【考点4 弧长和扇形面积】 PAGEREF _Tc18596 \h 62
\l "_Tc32705" 【题型11 圆锥侧面展开图的有关计算】 PAGEREF _Tc32705 \h 63
\l "_Tc8961" 【题型12 不规则图形面积的计算】 PAGEREF _Tc8961 \h 69
\l "_Tc2214" 【题型13 利用弧长和扇形面积公式解决几何图形的旋转问题】 PAGEREF _Tc2214 \h 76
【考点1 圆的有关性质】
知识点一 圆的定义
圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以瞧成就是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知：第一种定义就是圆的形成进行描述的，第二种就是运用集合的观点下的定义，但就是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。
知识点二 圆的相关概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦就是线段，弧就是曲线，判断等弧首要的条件就是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才就是等弧，而不就是长度相等的弧。
知识点三 圆的对称性
圆就是轴对称图形，任何一条直径所在直线都就是它的对称轴。
知识点四 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论：平分弦（不就是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不就是直径，否则结论不成立。
知识点五 弦、弧、圆心角的关系
弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。
注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。
知识点六 圆周角定理
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角就是直角，90°的圆周角所对弦就是直径。
圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”就是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。
知识点七 圆内接四边形及其性质
圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
【题型1 垂径定理的应用】
【例1】（2024·江西吉安·三模）如图，一座石桥的主桥拱是四弧形，某时刻添得水面AB的宽度为8米，拱高CD（AB的中点C到水面的距离）为2米．
(1)求主桥拱所在圆的半径．
(2)在主桥拱所在圆的圆心处有一水位检测仪，若过几天某时刻的水面为EF，检测仪观测点E的仰角为25.6°，求此时水面的宽度．（参考数据：sin25.6°≈0.43，cs25.6°≈0.90，tan25.6°≈0.48）
【答案】(1)主桥拱所在圆的半径长为5米
(2)此时水面的宽度约为9米
【分析】（1）连接OA，OD，构造△ADO，通过垂径定理得出是直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
（2）设OC与EF相交于点G，根据平行线的性质得出∠OEG=25.6°，△OGE为直角三角形，再利用锐角三角形的余弦值即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接OA，OD．
∵C是AB的中点，CD⊥AB，
∴AD=BD=12AB=4，CD所在的直线经过圆心O．
设半径OA=OC=r，则OD=OC−CD=r−2．
∵在Rt△ADO中，OA2=AD2+OD2，
∴r2=42+r−22，解得r=5．
答：主桥拱所在圆的半径长为5米．
（2）（2）如图，设OC与EF相交于点G．
由题意得∠EOH=25.6°．
∵EF//OH，∴∠OEG=25.6°．
∵EF//AB，OD⊥AB
∴OD⊥EF，∴∠OGE=90°．
∵在Rt△OGE中，OE=5，
∴EG=OE⋅cs∠OEG=OE⋅cs25.6°≈5×0.90=4.5，
∴EF=2EG=9．
答：此时水面的宽度约为9米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形及应用，涉及垂径定理，勾股定理的应用及平行线的性质等知识，解决问题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式1-1】（23-24九年级·安徽淮南·期末）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．如图，用锯去锯这木材，锯口深ED=1寸，锯道长AB=1尺（1尺=10寸）．这根圆柱形木材的直径是多少寸？
【答案】这根圆形木材的直径为26寸
【分析】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．根据题意可得OE⊥AB，由垂径定理可得AD=BD=12AB=12尺=5寸，设半径OA=OE=r，则OD=r−1，在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：r−12+52=r2，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．解决问题的关键是从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解．
【详解】解：由题可知OE⊥AB，
∵OE为⊙O半径，
∴AD=BD=12AB=12尺=5寸，
设OA=OE=r，
∵ED=1，
∴OD=r−1，
在Rt△OAD中，
由勾股定理得r−12+52=r2，
解得r=13，
∴这根圆形木材的直径为26寸．
【变式1-2】（2024·河南周口·二模）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何?”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为2寸，锯道AB=1.2尺（1.2尺=12寸），求该圆材的直径为多少寸?
【答案】该圆材的直径为20寸
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，过点O作OC⊥AB 于点D，交AB于点C，连接OA，设⊙O半径为x，则OD=x−2，由勾股定理建立方程即可求得x，从而求得圆的直径．
【详解】解：设该圆材的半径为x寸．
如图所示，过点O作OC⊥AB 于点D，交AB于点C，连接OA，
则CD=2寸，
设OA=x寸，AB=1.2尺=12寸，
所以 AD=BD=12AB=6寸．
在Rt△AOD中， OA2=OD2+DA2
即 x2=x−22+62
解得x=10，
则2x=2×10=20，即该圆材的直径为20寸．
【变式1-3】（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，装有水的水槽放在水平桌面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=40cm，GH为桌面截线，水面截线MN∥GH，直径一端点B刚好与点N重合，∠ANM=30°．
(1)计算MN的长度，并比较直径AB与MN长度的大小；
(2)请在图中画出线段CD，用其长度表示水的最大深度，并求水的最大深度．
【答案】(1)MN的长度为40π3；直径AB小于MN长度
(2)水的最大深度为10cm
【分析】本题主要考查了圆周角定理的推论，垂径定理，含30度角的直角三角形，弧长公式．
（1）连接OM，由OM=OB，∠ANM=30°，求出∠MOB=120°，根据弧长公式即可求解；
（3）过点O作OD⊥MN交MN于点C，根据含30度角的直角三角形的特征，由OB=12AB，求出OC=12OB=12×20=10cm，再根据CD=OD−OC即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，连接OM．
∵OM=OB，
∴∠OMB=∠ANM=30°，
∴∠MOB=180°−∠OMB−∠ANM=120°，
∴lMN=120π×20180=40π3，
∵40π3>40，
∴直径AB小于MN长度；
（2）解：如图，过点O作OD⊥MN交MN于点C，
在Rt△OCB中，∠ANM=30°，AB=40cm，
∵ OB=12AB=20cm，
∴OC=12OB=12×20=10cm，
∴CD=OD−OC=20−10=10cm，
∴水的最大深度为10cm．
【题型2 弧、弦、圆心角的关系】
【例2】（2024·江苏南京·二模）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB=CD．
(1)求证：AC=BD；
(2)连接 BC，作直线EO，求证：EO⊥BC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出AB⌢+AD⌢=CD⌢+AD⌢，进而可得AC=BD；
（2）因为AB=CD，所以AB=CD，即∠ACB=∠DBC．结合OB=OC，得出E、O都在BC的垂直平分线上，即可作答．
【详解】（1）证明：∵AB=CD，
∴AB=CD
∴AB⌢+AD⌢=CD⌢+AD⌢，
即BD=AC．
∴AC=BD．
（2）证明：连接OB、OC、BC．
∵AB=CD，
∴AB=CD
∴∠ACB=∠DBC．
∴EB=EC
∵OB=OC
∴E、O都在BC的垂直平分线上．
∴EO⊥BC．
【变式2-1】（23-24九年级·湖南湘西·期末）如图，AC=CB，D，E分别是半径OA，OB的中点．求证：CD=CE．
【答案】见解析
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．连接OC，构建全等三角形ΔCOD和ΔCOE；然后利用全等三角形的对应边相等证得CD=CE．
【详解】证明：连接OC．
在⊙O中，∵ AC=CB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OA=OB，D、E分别是半径OA和OB的中点，
∴OD=OE，
∵OC=OC，
∴△COD≌△COE(SAS)，
∴CD=CE．
【变式2-2】（23-24九年级·甘肃武威·期末）已知，如图，在⊙O中，AB=DE，BC=EF，求证：AC=DF．
【答案】证明见解析
【分析】此题考查了弧与弦的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．利用AB=DE，BC=EF，得出AB=DE，BC=EF，即可得AC=DF，即可证．
【详解】证明：∵AB=DE，BC=EF，
∴AB=DE，BC=EF，
∴AC=DF，
∴AC=DF．
【变式2-3】（2024·浙江·模拟预测）已知AB，CD是圆O的内接四边形ACBD的两条对角线，AB，CD相交于点M，且AB=CD．
(1)如图1，求证：BM=DM．
(2)在图1中找出一组全等的三角形，并给出证明．
(3)如图2，圆O的半径为5，弦CD⊥AB于点P，当△CBP的面积为3.5时，求AB的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)△ABD≌△CDB，证明见解析；
(3)8．
【分析】（1）由AB=CD得AB=CD，即得BC=AD，得到∠CDB=∠ABD，进而即可求证；
（2）△ABD≌△CDB．由（1）得，∠ABD=∠CDB，再利用SAS即可求证；
（3）如图2，连接OB、OC，由垂直得∠BPD=∠BPC=90°，同理（1）可得BP=DP，得到△BPD为等腰直角三角形，即得∠PDB=∠PBD=45°，进而得∠BOC=2∠BDC=90°，利用勾股定理得BC=OB2+OC2=52，设BP=DP=x，CP=y，可得x2+y2=522=50，12xy=3.5，利用完全平方公式可得x+y2=x2+y2+2xy=64，得到x+y=8，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB=CD，
∴AB=CD，
∴AB−AC=CD−AC，
即BC=AD，
∴∠CDB=∠ABD，
即∠MDB=∠MBD，
∴BM=DM；
（2）解：△ABD≌△CDB．
证明：由（1）得，∠ABD=∠CDB，
在△ABD和△CDB中，
AB=CD∠ABD=∠CDBBD=DB，
∴△ABD≌△CDBSAS；
（3）解：如图2，连接OB、OC，
∵CD⊥AB，
∴∠BPD=∠BPC=90°，
同理（1）可得BP=DP，
∴△BPD为等腰直角三角形，
∴∠PDB=∠PBD=45°，
∴∠BOC=2∠BDC=2×45°=90°，
∴BC=OB2+OC2=52+52=52，
设BP=DP=x，CP=y，
在Rt△BPC中，由勾股定理得BP2+CP2=BC2，
∴x2+y2=522=50，
又∵△CBP的面积为3.5，
∴12xy=3.5，
∴xy=7，
∴x+y2=x2+y2+2xy=50+14=64，
∴x+y=8，
∴AB=CD=CP+DP=x+y=8．
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，等角对等边，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，完全平方公式，正确作出辅助线是解题的关键．
【题型3 圆周角定理及其推论的应用】
【例3】（2024·贵州遵义·三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AC的中点，连接BD，AD，CD．CE平分∠ACB交BD于点E．
(1)写出图中一个与∠ACD相等的角______；
(2)试判断△CDE的形状，并说明理由；
(3)若⊙O的半径为23，∠ABC=60°，求AC的长．
【答案】(1)∠ABD（或∠CBD或∠DAC）；
(2)△DEC是等腰三角形，理由见解析
(3)6
【分析】（1）根据题意得AD=CD,则∠ACD=∠ABD=∠CBD=∠DAC，
（2）根据题意得AD=CD,则∠ABD=∠CBD，由角平分线的∠ACE=∠BCE，结合∠DEC=∠CBD+∠BCE和∠DCE=∠ACD+∠ACE，则∠DEC=∠DCE，故DE=DC；
（3）连接OD，交AC于点F，连接OA．由题意得∠ABD=30°，∠OFA=90°，则∠AOD=60°，在Rt△OFA中AF=OA⋅sin60°，结合AC=2AF即可。
【详解】（1）解：∵D是弧AC的中点，
∴AD=CD,
∴∠ACD=∠ABD=∠CBD=∠DAC，
故答案为：∠ABD（或∠CBD或∠DAC）；
（2）解：△DEC是等腰三角形，
理由如下：
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
在△DEC中，∠DEC=∠CBD+∠BCE，
∵∠DCE=∠ACD+∠ACE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC，
即△DEC是等腰三角形．
（3）解：连接OD，交AC于点F，连接OA．如图，
∵∠ABC=60°，D是弧AC的中点，
∴∠ABD=30°，∠OFA=90°，
∵AD=AD，
∴∠AOD=60°，
在Rt△OFA中，OA=23，
∴AF=OA⋅sin60°=23×32=3，
又OF⊥AC，
∴AC=2AF=2×3=6。
【点睛】本题主要考查圆的知识，涉及同弧所对圆周角相等、角平分线的定义、等腰三角形的性质、垂径定理、圆周角定理和解直角三角形，解题的关键是熟悉圆的相关知识。
【变式3-1】（2024·安徽合肥·二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知AC⊥BD，垂足为E，弦AB的弦心距为OF．
（1）若AF=OF，则∠ADB的度数为 ；
（2）若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长为 ．
【答案】 45° 6
【分析】（1）连接OA,OB，证明△AOF和△BOF都是等腰直角三角形即可；
（2）延长AO交⊙O于点G，连接BG，则OF是△ABG的中位线，可以求出BG=6，然后根据垂直证明∠CAD=∠BAG，根据圆周角相等则所对的弦相等得到CD=BG=6．
【详解】解：（1）如图，连接OA,OB，
∵OF是弦AB的弦心距，
∴OF⊥AB，
∴AF=BF.
∵AF=OF,
∴△AOF和△BOF都是等腰直角三角形，
∴∠AOF=∠BOF=45°,
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=90°,
∵AB=AB，
∴∠ADB=12∠AOB=45°，
故答案为：45°；
（2）如图，延长AO交⊙O于点G，连接BG，
由AF=BF,OA=OG，得OF是△ABG的中位线，
∴BG=2OF，
在Rt△AOF中，OA=5,AF=12AB=4，
由勾股定理得OF=OA2−AF2=52−42=3,
∴BG=6，
∵AC⊥BD，
∴∠CAD+∠ADB=90°，
∵AG是⊙O的直径，
∴∠ABG=90°，
∠BAG+∠G=90°，
∵AB=AB
∴∠G=∠ADB,
∴∠CAD=∠BAG,
∴DC=BG，
∴CD=BG=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，圆心角与弧、弦的关系，三角形的中位线定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
【变式3-2】（2024·江苏南京·二模）千姿百态的桥
问题：景区计划在半径为1km的人工湖⊙O上修建景观桥，为容纳更多游客赏景休闲，需要景观桥长度最大．现有以下三种设计方案，分别求出每种设计方案中桥长的最大值，景观桥的宽度忽略不计．
“X型”
（1）如图①，若点A，B，C，D在⊙O上，则AC+BD的最大值为 km；
“L型”
（2）如图②，若点A，B，C在⊙O上，且AB⊥BC．求AB+BC的最大值；
“T型”
（3）如图③，若点A，B，C在⊙O上，且AC⊥BD，垂足为D，则AC+BD的最大值为 km．
【答案】（1）4；（2）22km；（3）5+1
【分析】（1）根据题意得出AC≤2，BD≤2，即可得出结论；
（2）连接AC，过点B作BE⊥AC于点E，根据90度的圆周角所对的弦是直径及勾股定理得AB2+BC2=AC2=4，继而得到AB+BC=4+2AB⋅BC，再根据S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅BE≤12×2×1，得到AB⋅BC≤2，即可得出结论；
（3）如图，过点O作OG⊥AC于点G，延长GO交⊙O于点H，连接OC，设GC=x，AC+GO=mm>0，得到DB≤GH，由垂径定理得AG=GC=x，根据勾股定理得GO2+GC2=OC2，即m−2x2+x2=1，由一元二次方程根的判别式得−4m2−4×5m2−1≥0，继而得到00，
∵AC⊥BD，
∴∠OGD=∠GDK=∠DKO=90°，
∴四边形OGDK是矩形，
∴DK=OG，
∴DB=DK+KB≤GO+OB=GO+OH=GH，当点D与点G重合时，取“=”，
∵OG⊥AC，
AG=GC=x，
∴GO=m−AC=m−2x，
∵GO2+GC2=OC2，即m−2x2+x2=1，
整理，得：5x2−4mx+m2−1=0，
∴−4m2−4×5m2−1≥0，
解得：−5≤m≤5，
∴0