数学8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系优秀导学案

这是一份数学8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系优秀导学案，共21页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

空间中的平行关系
直线与直线平行

重点
基本事实4：空间平行线的传递性
难点
空间平行线的传递性定理与等角定理的应用
考试要求
考试
Ø 题型 选择、填空、证明
Ø 难度 简单





核心知识点一：平行公理
基本事实4
空间中平行于同一条直线的两条直线平行。
通过基本事实表明了，平面中平行于同一条直线的所有直线都平行，给出了判断直线平行的依据，叫平行线的传递性。

核心知识点二：等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。通过定理可以证明角的相等或互补。


类型一：基本事实4
例题1 如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC//AD，BE//FA，G，H分别为FA，FD的中点。

（1）证明：四边形BCHG是平行四边形。
（2）C，D，F，E四点是否共面？为什么？
（1）证明：由已知FG=GA，FH=HD，可得GH//AD，
又BC//AD，所以BC//HG，BC=HG，
所以四边形BCHG是平行四边形。
（2）解：C，D，F，E四点共面，理由如下：
由BE//FA，G是FA中点知，BE//FG，BE=FG，
所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF//BG。
由（1）知BG//CH，所以EF//CH，
所以EF与CH共面。
又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面。

总结提升：
基本事实4主要用于证明直线平行，只要找到一条直线与两条直线都平行，就可以证明这两条直线互相平行，除了基本事实4，利用平面几何知识也可以证明线线平行。

类型二：等角定理
例题2 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E。

证明：因为F为BB1的中点，所以BF＝BB1，
因为G为DD1的中点，所以D1G＝DD1。
又BB1DD1，所以BFD1G。
所以四边形D1GBF为平行四边形。
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC。
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E。
总结提升：
本题考查空间图形的公理，记忆“在空间中一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补”这一结论，是解题的关键。


1. 基本事实4（平行公理）：中位线。
2. 等角定理：角的两边方向相同时这两个角相等；方向相反时，这两个角互补。


（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 已知a，b，c是两两不同的三条直线，下列说法正确的是（ ）
A. 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B. 若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交
C. 若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D. 若a⊥b，b⊥c，则a∥c
2. 已知，则等于（ ）
A. B. 或
C. D. 以上答案都不对
3. 若，且，与的方向相同，则下列说法中，正确的是（ ）
A. ，且方向相同 B. ，且方向不同
C. 与不平行 D. 与不一定平行

二、填空题
4. 给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________。
①在空间，若两条直线不相交，则它们一定平行；
②平行于同一条直线的两条直线平行；
③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；
④空间四条直线 a，b，c，d，如果 a∥b，c∥d，且 a∥d，那么 b∥c。

二、解答题
5. 如图所示，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E、F、E′、F′分别是AB、BC、A′B′、B′C′的中点。
求证：EE′∥FF′。





1. 答案：C
解析：对A，若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；错误
对B，若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；错误
对C，若a∥b，则a，b与c所成的角相等；正确；
对D，若a⊥b，b⊥c，则a∥c或异面或相交，错误
2. 答案：B
解析：∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同。
∴∠PQR＝30°或150°，故选B。
3. 答案：D
解析：如图，

当∠AOB=∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，OB与O1B1是不一定平行。
4. 答案：②④
解析：①错，可以异面；②正确，公理4；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平行直线的传递性可知。
5. 证明：因为E、E′分别是AB、A′B′的中点，
所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′。
所以四边形EBB′E′是平行四边形。
所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′。
所以EE′∥FF′。


直线与平面平行

重点
直线与平面平行的判定定理的应用，理解性质定理的含义并能证明。
难点
能够综合应用直线与平面平行的判定定理和性质定理进行线面平行的相互转化。
考试要求
考试
Ø 题型 选择 填空 解答
Ø 难度 中等





核心知识点一：直线与平面平行的判定定理
1. 门扇的实例
教室门扇转动的一边与固定的一边所在平面的关系，从中体会对定理的初步认识，从直观上加强对定理的认知。
2. 判定定理的内容
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
l∥a，a⊂α，l⊄α⇒l∥α

由此定理可以看出由线线平行可以得到线面平行。

核心知识点二：直线与平面平行的性质定理
1. 性质定理的内容
一条直线与一个平面平行，过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行。
a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b

2. 性质定理的作用
（1）线面平行⇒线线平行；
（2）画一条直线与已知直线平行。


类型一：直线与平面平行的判定
例题1 如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，连接AD,DC1,A1B,AC1.
求证：A1B//平面ADC1.

证明：如图，连接A1C，设
由题意知四边形A1ACC1是平行四边形，
所以O是A1C的中点.
又D是BC的中点，所以OD是的中位线，即OD//A1B.
又
所以

总结提升：
“要证线面平行，先证线线平行”，三角形的中位线，梯形的中位线是证明线线平行的主要工具。当条件中出现“中点”字样的条件时，要想到中位线，如中点不够，往往需要再“找”或“作”中点，即“由中点想中位线，取中点连中位线”。

例题2 如图，S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝。求证：MN∥平面SBC。

证明：连接AN延长交BC于P，连接SP，
因为AD∥BC，所以＝，
又因为＝，
所以＝，所以MN∥SP。
又MN⊄平面SBC，SP⊂平面SBC，
所以MN∥平面SBC。

总结提升：
根据直线与平面平行的判定定理，进行证明题目时，关键是找到已知直线与已知平面内的一条直线平行，常用的证明方法如下：
（1）利用三角形、梯形中位线的性质；
（2）利用平行四边形的性质；
（3）利用平行线分线段成比例定理。

类型二：直线与平面平行的性质
例题3 如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PD的中点。若M是CD上异于C，D的点，连接PM交CE于点G，连接BM交AC于点H。

求证：GH//PB。
证明：如图所示，连接BD交AC于点O，连接EO，AE，则O是BD的中点。
又E是PD的中点，∴PB//EO。
∵
∴PB//平面EAC。
又∵
∴GH//PB.

总结提升：
利用线面平行性质定理解题的步骤：



1. 直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化。
2. 在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。
3. 要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化，在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化，转化思想是解决这类问题的最有效的方法。


（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 如图，在三棱锥S­ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则（　　）

A. EF与BC相交 B. EF∥BC
C. EF与BC异面 D. 以上均有可能
2. 在三棱台ABC­A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是（　　）
A. 相交 B. 平行　 　
C. 在平面内　 　 D. 不确定
3. 直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有（　　）
A. 0条 B. 1条　 　
C. 0条或1条 　　 D. 无数条

二、填空题
4. 梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________。
5. 过正方体ABCD­A1B1C1D1的三顶点A1， C1， B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________。

三、解答题
6. 如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AB的中点。证明：BC1∥平面A1CD。

7. 如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1延长线的交点，且PB1∥平面BDA1，求证：CD＝C1D。

8. 如图，空间几何体ABCDFE中，四边形ADFE是梯形，且EF∥AD，P，Q分别为棱BE，DF的中点。求证：PQ∥平面ABCD。





1. 答案：B
解析：因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，所以EF∥BC。
2. 答案：B
解析：因为AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1 。
3. 答案：C
解析：过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条。
4. 答案：CD∥α
解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α。
5. 答案：平行
解析：因为A1C1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1C1B，
平面ABCD∩平面A1C1B＝l，由线面平行的性质定理，所以A1C1∥l。
6. 证明：连接AC1交A1C于点F，
则F为AC1的中点。
又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF。
因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD。

7. 证明：如图，连接AB1与BA1交于点O，连接OD，

因为PB1∥平面BDA1，PB1⊂平面AB1P，
平面AB1P∩平面BDA1＝OD，所以OD∥PB1，
又AO＝B1O，所以AD＝PD，
又AC∥C1P，所以CD＝C1D。
8. 证明：法一：如图，取AE的中点G，连接PG，QG。
在△ABE中，PB＝PE，AG＝GE，所以PG∥BA，
又PG⊄平面ABCD，BA⊂平面ABCD，
所以PG∥平面ABCD。
在梯形ADFE中，DQ＝QF，AG＝GE，所以GQ∥AD，
又GQ⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以GQ∥平面ABCD。
因为PG∩GQ＝G，PG⊂平面PQG，GQ⊂平面PQG，
所以平面PQG∥平面ABCD。
又PQ⊂平面PQG，所以PQ∥平面ABCD。

法二：如图，连接EQ并延长，与AD的延长线交于点H，连接BH。
因为EF∥DH，所以∠EFQ＝∠HDQ，
又FQ＝QD，∠EQF＝∠DQH，
所以△EFQ≌△HDQ，所以EQ＝QH。
在△BEH中，BP＝PE，EQ＝QH，所以PQ∥BH。
又PQ⊄平面ABCD，BH⊂平面ABCD，
所以PQ∥平面ABCD。



平面与平面平行

重点
理解平面与平面平行的判定定理，能用文字语言、符号语言和图形语言准确描述平面与平面平行的性质定理，并知道其地位和作用。
难点
能够应用判定定理平面与平面平行，能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些与空间面面平行关系有关的简单问题。
考试要求
考试
Ø 题型 选择 填空 解答
Ø 难度 中等





核心知识点一：平面与平面平行的判定定理
1. 矩形纸板与三角尺实例
利用矩形纸板和三角尺与桌面平行，从中体会对定理的初步认识，从直观上加强对定理的认知。
2. 判定定理的内容
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α⇒α∥β

由此定理可以看出由线面平行可以得到面面平行。

核心知识点二：平面与平面平行的性质定理
1. 性质定理的内容
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么这两条交线平行。.
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

2. 平行的相互证明



类型一：平面与平面平行的判定
例题1 如图所示，在三棱锥S­ABC中，D、E、F分别是棱AC、BC、SC的中点。
求证：平面DEF∥平面SAB。

证明：因为D、E分别是棱AC、BC的中点，
所以DE是△ABC的中位线，DE∥AB。
因为DE⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，
所以DE∥平面SAB，
同理可证：DF∥平面SAB，
又因为DE∩DF＝D，DE⊂平面DEF，DF⊂平面DEF，
所以平面DEF∥平面SAB。
总结提升：
平面与平面平行的判定方法：
（1）定义法：两个平面没有公共点。
（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。
（3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β。
（4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。

例题2 如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是 AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O。
求证：平面AGO∥平面D1EF。

证明：设EF∩BD＝H，连接D1H，在△DD1H中，
因为＝＝，
所以GO∥D1H.
又GO⊄平面D1EF，D1H⊂平面D1EF，
所以GO∥平面D1EF。
在△BAO中，因为BE＝EA，BH＝HO，所以EH∥AO，
又AO⊄平面D1EF，EH⊂平面D1EF，
所以AO∥平面D1EF，
又GO∩AO＝O，所以平面AGO∥平面D1EF。

总结提升：
根据面面平行的判定定理，要证明面面平行要从线面平行入手，这样就归结为证明线面的平行，根据比例找到平行关系。

类型二： 平面与平面平行的性质
例题3 如图所示，已知三棱柱中，D是BC的中点，是的中点，设平面平面=a，平面，判断直线a，b的位置关系，并证明。

解：直线a，b的位置关系是平行。
证明：如图，连接。
∵平面ABC//平面，平面平面=a，平面平面，
∴。同理可证AD//b。
又D是BC的中点，是的中点，∴。
又，
∴四边形为平行四边形，
∴，∴a//b。
总结提升：
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤：



1. 证明面面平行的一般思路：线线平行⇒线面平行⇒面面平行
2. 证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”。这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段。


（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（　　）
A. α∥β B. α与β相交
C. α与β重合 D. α∥β或α与β相交
2. 如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是（　　）

A. 垂直 B. 相交不垂直
C. 平行 D. 重合
3. 若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中（　　）
A. 不一定存在与a平行的直线
B. 只有两条与a平行的直线
C. 存在无数条与a平行的直线
D. 有且只有一条与a平行的直线

二、填空题
4. 如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________。


三、解答题
5. 如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD。
求证：BC＝2EF。

6. 如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：

（1）直线EG∥平面BDD1B1；
（2）平面EFG∥平面BDD1B1。


1. 答案：D
解析：如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，…，an，…，

它们是一组平行线。这时a1，a2，…，an，…与平面β都平行，但此时α∩β＝l。另外也有可能α∥β。
2. 答案：B
解析：如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，

因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR。
3. 答案：D
解析：由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确。
5. 答案：
解析：∵α∥β，∴CD∥AB，则＝，
∴AB＝＝＝。
5. 证明：因为平面EFG∥平面BCD，
平面ABD∩平面EFG＝EG，
平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EG∥BD，
又G为AD的中点，故E为AB的中点，
同理可得，F为AC的中点，
所以BC＝2EF。
6. 证明：（1）如图，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB。

又因为SB⊂平面BDD1B1，
EG⊄平面BDD1B1，
所以直线EG∥平面BDD1B1。
（2）如图，连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD。
又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，
所以FG∥平面BDD1B1。
又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，
所以平面EFG∥平面BDD1B1。