高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系精品学案

8.4.2　空间点、直线、平面之间的位置关系

知识点1　空间中直线与直线的位置关系

1．异面直线

(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．

(2)异面直线的画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图．

①　　　　　　　　②

2．空间两条直线的位置关系

1．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？

[提示]　不一定．可能平行、相交或异面．

1．不平行的两条直线的位置关系是(　　)

A．相交　　　　　　　　 B．异面

C．平行   D．相交或异面

D　[由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面，则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面．]

2．如图，观察正方体ABCD ­A1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：

①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

④直线AB与直线B1C的位置关系是________．

①平行　②异面　③相交　④异面　[直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1内，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”．

直线D1D与直线D1C相交于点D1，所以③应该填“相交”．

点A1，B，B1在平面A1BB1内，而点C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．

同理，直线AB与直线B1C异面，所以②④应该填“异面”．]

知识点2　直线与平面的位置关系

2．“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗？

[提示]　不是．前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．

3．直线a在平面γ外，则(　　)

A．a∥γ   B．a与γ至少有一个公共点

C．a∩γ＝A   D．a与γ至多有一个公共点

D　[直线a在平面γ外，则直线a与平面γ平行或相交，因此直线a与γ至多有一个公共点．]

4．在如图所示的正方体ABCD ­A′B′C′D′中，

(1)与AB所在直线平行的平面有________个；

(2)与A′B所在直线平行的平面有________个；

(3)与A′D′所在直线相交的平面有________个．

(1)2　(2)1　(3)2　[(1)与AB所在直线平行的平面有平面A′B′C′D′和平面DCC′D′；

(2)与A′B所在直线平行的平面只有平面DCC′D′；

(3)与A′D′所在直线相交的平面有平面DCC′D′和平面A′B′BA．]

知识点3　两个平面的位置关系

5．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是(　　)

A　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　D

[答案]　D

6．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是(　　)

A．平行   B．相交

C．异面   D．不确定

B　[∵M∈平面α，M∈平面β，

∴α与β相交于过点M的一条直线．]

7．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．

[答案]　平行

类型1　利用符号语言表示位置关系

【例1】　(对接教材P130例1)根据下列符号表示的语句，说明点、直线、平面之间的位置关系，并画出相应的图形：

(1)A∈α，B∉α；

(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；

(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α．

[解]　(1)点A在平面α内，点B不在平面α内．

(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上．

(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q．

图形分别如图①②③所示．

①　　　　　　②　　　　　　③

解决此类问题要注意符号语言的意义，如点与直线、点与平面之间的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面之间的位置关系只能用“⊂”或“⊄”.用图形语言表示点、直线、平面之间的位置关系时，要注意实线和虚线的区别.

1．如图所示，用符号语言可表述为(　　)

A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A

B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A

C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n

D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n

A　[平面α与平面β相交于m，所以α∩β＝m；直线n在平面α内，所以n⊂α；直线m与直线n相交于A，所以m∩n＝A．]

2．用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．

图①　　　　　　　　图②

[解]　图①中，a⊂α，b∩α＝A．图②中，α∩β＝c，a⊂α，a∥c，b⊂β，b∩c＝P．

类型2　空间中两条直线的位置关系

【例2】　如图所示，点E，F，G，H分别是正方体ABCD ­A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则(　　)

A．GH＝2EF，且直线EF，GH是相交直线

B．GH＝2EF，且直线EF，GH是异面直线

C．GH≠2EF，且直线EF，GH是相交直线

D．GH≠2EF，且直线EF，GH是异面直线

C　[设正方体的棱长为2，则EF＝A1B＝，GH＝＝，所以GH≠2EF．设M，N分别为CC1和A1D1的中点，则六边形EFGMHN是过E，F，G，H四点的平面截正方体的截面(图略)，所以EF与GH是共面直线．因为EF与GH不平行，所以EF与GH是相交直线．故选C．]

如何判断两条直线是平行、相交还是异面？

[提示]　1．判定两条直线平行或相交的方法

判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断．

2．判定两条直线是异面直线的方法

(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．

(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．

3．在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF(　　)

A．平行　　　　　　　　 B．异面

C．相交   D．以上均有可能

B　[假设BE与CF是共面直线，设此平面为α，则E，F，B，C∈α，所以BF，CE⊂α，而A∈CE，D∈BF，所以A，D∈α，即有A，B，C，D∈α，与ABCD为空间四边形矛盾，所以BE与CF是异面直线．]

4．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有(　　)

A．8条　　　B．6条　　　C．4条　　　D．2条

C　[正方体共有12条棱，其中与AA1平行的有BB1，CC1，DD1，共3条，与AA1相交的有AD，AB，A1D1，A1B1，共4条，因此与棱AA1异面的棱有11－3－4＝4(条)，故选C．]

类型3　空间中直线与平面的位置关系

【例3】　(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是(　　)

A．直线上所有的点都在平面外

B．直线上有无数多个点都在平面外

C．直线上有无数多个点都在平面内

D．直线上至少有一个点在平面内

(2)下列说法中，正确的个数是(　　)

①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；

②经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；

③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．

A．0    B．1    C．2    D．3

(1)B　(2)C　[(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．

(2)易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C．]

直线与平面位置关系的判断

(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．

(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．

5．已知两平面α，β平行，且a⊂α，下列三个命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β无公共点．其中正确命题的个数是(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．0

B　[①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面直线；②正确；③根据定义a与β无公共点，正确．]

类型4　平面与平面位置关系的判定

【例4】　(1)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(　　)

A．平行   B．相交

C．平行或相交   D．不能确定

(2)完成下列作图：

①在图中画出一个平面与两个平行平面相交．

②在图中分别画出三个两两相交的平面．

1．若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有什么位置关系？

[提示]　因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行．

2．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？

[提示]　不正确．如图，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条直线a1，a2，…，an，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an与平面β都平行，但此时α不平行于β，而是α∩β＝l．

(1)C　[逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．

(2)[解]　①如图所示，

 ②如图所示，

1．平面与平面的位置关系的判断方法

(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点．

(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．

2．常见的平面和平面平行的模型

(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行．

(2)长方体的六个面中，三组相对面平行．

6．三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分．

8　4　[三个平面可将空间分成4,6,7,8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．]

1．直线a与直线b相交，直线c与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是(　　)

A．相交　　　　　　　　 B．平行

C．异面   D．以上都有可能

D　[如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；又AD与AA1相交，AB与AD相交；又A1D1与AA1相交，AB与A1D1异面．故选D．]

2．已知A，B，C，D是空间内四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC与BD不相交，则甲是乙的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A　[若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，当直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙的充分不必要条件．]

3．若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是(　　)

A．平行   B．相交

C．异面   D．平行、相交或异面

D　[若a∥α，则a与α内的直线平行或异面；若a与α相交，则a与α内的直线相交或异面．]

4．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)

②④　[如题干图①中，GH∥MN．

图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面．

图③中，连接GM，GM∥HN，因此GH与MN共面．

图④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．

所以图②④中GH与MN异面．]

5．过平面外两点，可作________个平面与已知平面平行．

0或1　[若过两点的直线与已知平面相交，则作不出平面与已知平面平行；若过两点的直线与已知平面平行，则可作一个平面与已知平面平行．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)空间中两直线的位置关系有哪几种？如何判断它们的位置关系？

(2)空间中直线与平面的位置关系有哪几种？如何判断？

(3)空间中两平面的位置关系有哪几种？如何判断？