高中人教A版 (2019)第八章 立体几何初步8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系教案及反思

第八章 立体几何初步

8.4.1 平面

教学设计

一、教学目标

1.   了解平面及平面的表示法。
2.   会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面三个典型问题。
3.   熟悉符号语言、文字语言和图形语言之间的转换。

二、教学重难点

1.   教学重点

平面的基本性质。

2.   教学难点

符号语言、文字语言和图形语言之间的转换。

三、教学过程

1. 新课导入

在初中，我们已经对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象得到的。生活中也有一些物体给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等。几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的。类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延伸的。

2. 探索新知

我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面。当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向。

我们常用希腊字母等表示平面，如平面、平面、平面等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称。

下面，我们来研究平面的基本性质。

基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

基本事实1给出了确定一个平面的依据，也就是说，不共线的三点确定一个平面。直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看成是点的集合。点A在直线l上，记作；点B在直线l外，记作；点A在平面内，记作；点P在平面外，记作。

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。

利用基本事实2，可以判断直线是否在这个平面内。平面内有无数条直线，平面可以看成是直线的集合。如果直线l上所有的点都在平面内，就说直线l在平面内，记作；否则，就说直线l不在平面内，记作。基本事实2也可以用符号表示为且。

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线。平面与相交于直线l，记作。基本事实3可以用符号表示为，且，且。

利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

3. 课堂练习

1.下列说法正确的是(　　)

A.镜面是一个平面

B.一个平面长10 m、宽5 m

C.一个平面的面积是另一个平面面积的2倍

D.所有的平面都是无限延展的

答案:D[镜面可以抽象成平面,但不是平面,所以选项A不正确;平面没有大小,所以选项B和选项C都不正确,故选D.]

2.已知A,B是点,a,b,l是直线,α是平面,如果a⊂α,b⊂α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列关系成立的是(　　)

A.l⊂α B.l∈α C.l∩α=A D.l∩α=B

答案:A

[由公理1或画图可知l⊂α. ]

3.圆上任意三点可确定的平面有(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　

A.0个 B.1个

C.2个 D.1个或无数个

答案:B[由于圆上任意三点不共线,则可确定一个平面.]

4.如果空间四点A,B,C,D不共面,那么下列判断正确的是(　　)

A.A,B,C,D四点中必有三点共线

B.A,B,C,D四点中不存在三点共线

C.直线AB与CD相交

D.直线AB与CD平行

答案:B[若A,B,C,D四点中有三点共线,则A,B,C,D四点共面.若AB与CD相交或平行,则AB与CD共面,即得A,B,C,D四点共面.]

5.如图,α∩β=l,A∈β,B∈β,AB∩l=D,C∈α,则平面ABC与平面α的交线是(　　)

A.直线AC B.直线BC

C.直线AB D.直线CD

答案:D[∵l⊂α,D∈l,∴D∈α.∵C∈α,∴CD⊂α.又CD⊂平面ABC,故直线CD为平面ABC与平面α的交线.]

6.两个相交平面把空间分成了　　　　部分. 

答案:4

7.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.

 (1)AC∩BD=　　　　　; 

(2)平面AB1∩平面A1C1=　　　　; 

(3)A1B1∩B1B∩B1C1=　　　　　. 

答案:(1)O　(2)A1B1　(3)B1  

4. 小结作业

小结：本节课学习了平面的概念、平面的基本性质及其推论，掌握了文字语言、图形语言和符号语言的互相转化。

作业：完成本节课课后习题。

四、板书设计

8.4.1平面

基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。