高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系精品巩固练习

第八章 立体几何初步

8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系

一、基础巩固

1．若直线平面，直线，则（    ）

A． B．与异面 C．与相交 D．与没有公共点

【答案】D

【详解】

若直线平面，直线，则或与异面，故与没有公共点

2.空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为　(　　)

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】D

【详解】

解：取中点，连接,

由已知得

，

又平面,

所以平面，

因此,

3.已知直线l和平面α，若，，则过点P且平行于l的直线（    ）

A．只有一条，不在平面α内

B．只有一条，且在平面α内

C．有无数条，一定在平面α内

D．有无数条，一定不在平面α内

【答案】B

【详解】

假设过点P且平行于的直线有两条与，∴且，

由平行公理得，这与两条直线与相交与点相矛盾.

4.如图，在直三棱柱中，D为的中点，，，则异面直线BD与AC所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

如图，取的中点，连接，，

则,

所以即为异面直线与所成的角或其补角，

由已知可得，三角形为正三角形，

所以，

所以异面直线与所成的角为.

5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【详解】

选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；

选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；

选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；

选项D正确，由，便得，又，，即.

6．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

取BC的中点D，连接D1F1，F1D,

∴D1B∥DF1,

∴∠DF1A或其补角就是BD1与AF1所成角,

设BC＝CA＝CC1＝2，则AD，AF1，DF1,

在△DF1A中，由余弦定理得cos∠DF1A，

7.已知平面平面，，点，，直线，直线，直线，，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

如图所示：

由于，，，所以，又因为，所以，故A正确，

由于，，所以，故B正确，

由于，，在外，所以，故C正确；

对于D，虽然，当不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，不一定垂直，所以D不正确；

8．已知三条互不相同的直线和三个互不相同的平面，现给出下列三个命题：

①若与为异面直线，，则；

②若，，则；

③若，则.

其中真命题的个数为（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【详解】

①中，两平面也可能相交，故①错误；

②中，与也可能异面，故②错误；

③中，易知，又，所以由线面平行的性质定理知，同理，所以，故③正确.

9.在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

如图，连结交于点，取的中点，连结，

因为点分布是的中点，所以，即异面直线与所成角是或是其补角，

设，则底面边长，，同理，

，中，，，

所以，所以，即异面直线与所成角是.

10.如果直线平面，那么直线与平面内的（      ）

A．一条直线不相交 B．两条直线不相交

C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交

【答案】D

【详解】

根据线面平行的定义，直线平面，则线面无公共点，

对于C，要注意“无数”并不代表所有.

11．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【详解】

解：在A中，连接AC，则AC∥MN，由正方体性质得到平面MNP∥平面ABC，

∴AB∥平面MNP，故A成立；

对于B，若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP＝N，

∴AB与面MNP不平行，故B不成立；

对于C，过M作ME∥AB，则E是中点，

则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交，

∴AB与面MNP不平行，故C不成立；

对于D，连接CE，则AB∥CE，NP∥CD，则AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立.

12．在正方体中，，，分别为，，的中点，则（    ）

A．

B．平面

C．异面直线与所成角的余弦值为

D．点到平面的距离是点到平面的距离的2倍

【答案】BCD

【详解】

由于，而与不垂直，因此异面直线与不能垂直，则A错误；

取的中点，连接，，

由条件可知：，，所以平面，平面，

又，，所以平面平面，

又因为平面，所以平面，则B正确；

异面直线与所成的角为或其补角，

设正方体的棱长为2，则，，

由余弦定理知，则C正确；

对于D，连接，与交于(也是与平面的交点)，

连接，设点与点到平面的距离分别为，，

则，

所以点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，则D正确.

二、拓展提升

13.如图，在正方体中，E，F，，分别为棱AD，AB，，的中点.求证：.

【答案】见解析

【详解】

证明：如图,在正方体中,取的中点M,连接BM,

由题意得

又

∴四边形为平行四边形

∴

又,M分别为,的中点,则

而

∴

∴四边形为平行四边形

∴

又

∴

同理可得

∴与的两边分别平行,且方向都相反

∴.

14.如图所示，是所在平面外的一点，，分别是，的中点.

（1）判断直线与平面的位置关系.

（2）判断直线与直线的位置关系.

（3）若，，求与所成的角.

【答案】（1）相交；（2）异面；（3）45°.

【详解】

解：（1）因为面，所以面，又面，所以直线与平面的位置关系是相交；

（2）由（1）得直线与平面的位置关系是相交，又，所以直线与直线的位置关系是异面；

（3）取的中点，连接，，则，，

所以相交直线与所成的角，即为异面直线与所成的角.

又因为，则.

在中，由，所以，即异面直线与所成的角为45°.

15．在直三棱柱中，∠ABC=90°，AB=BC=1.

（1）求异面直线与AC所成角的大小；

（2）若直线与平面ABC所成角为45°，求三棱锥—ABC的体积.

【答案】（1）；（2）．

【详解】

（1）在直三棱柱中，所以异面直线与AC所成角为（或其补角），

又∠ABC=90°，AB=BC=1，所以，

所以异面直线与AC所成角为；

（2）在直三棱柱中，平面，所以直线与平面ABC所成角为，所以．

，

所以．