数学2.1 等式性质与不等式性质导学案及答案

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知识点1不等关系
在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．
重难点一 用不等式（组）表示不等关系
【例1】持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（ ）．
A．B．
C．D．
【例2】一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 ，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式（组）将题中的不等关系表示出来.
【变式1-1】已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表：
若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元 ，并写出x，y所满足的不等关系 ．
【变式1-2】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的型汽车和型汽车，根据需要，型汽车至少买5辆，型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式（组）.
【变式1-3】用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，要求菜园的面积不小于，靠墙的一边长为.试用不等式表示其中的不等关系．
知识点2两个实数大小的比较
如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对.
这个基本事实可以表示为:.
从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小.
重难点二 作差法比较大小
【例3】设的平均数为与的平均数为与的平均数为.若，则与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．不能确定
【例4】设，比较与的值的大小．
【变式2-1】若，设，，则M，N的大小关系是 ．
【变式2-2】设a、b为实数，比较与的值的大小.
【变式2-3】已知，求证：.
重难点三 作商法比较大小
【例5】已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x＝y
C．x＜yD．x，y的关系随c而定
【例6】若，则、、、中最小的是 .
【变式3-1】设，比较与的大小
【变式3-2】已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 .
【变式3-3】设，，则 （填入“＞”或“＜”）．
知识点3等式及不等式的基本性质
1．等式的基本性质
性质1.如果,那么;性质2.如果,那么;
性质3.如果,那么;性质4.如果,那么;
性质5.如果,那么
2．不等式的性质
重难点四 利用不等式的性质判断不等式
【例7】若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【例8】（多选）设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-1】已知，则下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-2】（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
【变式4-3】若，，则下列不等式中成立的是 （填上正确的序号）．
①；②；③；④．
重难点五 利用不等式的性质证明不等式
【例9】已知，．求证：．
【例10】（1）已知，，求证：；
（2）已知，，求证：．
【变式5-1】设，，.
(1)证明：；
(2)若，证明.
【变式5-2】如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．
(1)证明榶水不等式；
(2)已知是三角形的三边，求证：．
【变式5-3】（1）若，证明：.
（2）已知，，，，试证明a，b，c至少有一个不小于1.
重难点六 利用不等式的性质求取值范围
【例11】已知，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【例12】已知，则的取值范围为 ．
【变式6-1】已知，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-2】（多选）已知，则以下命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-3】已知，，求下列各式的取值范围.
(1)；(2)；(3)；(4).
一、单选题
1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
A．B．C．D．
2．若则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．设a，b，m都是正数，且，记，则（ ）
A．B．
C．D．与的大小与的取值有关
4．已知正实数a，b，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．下列不等式：
①；
②；
③；
④
其中恒成立的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．已知三个不等式：①；②③则以其中两个命题为条件，剩下的一个命题为结论，能得到几个正确的命题（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、多选题
7．已知，则下列结论中正确的有（ ）
A．B．C．D．
8．在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．已知，则
D．为互不相等的正数，且，则
三、填空题
9．比较大小： ．
10．已知a，，则下列选项中能使成立的是 ，能使成立的是 （填上正确的序号）．
① ② ③ ④
11．若已知，，则实数的取值范围为 .
四、解答题
12．已知，，求及的取值范围．
13．（1）已知，求证：；
（2）已知，，，求证：．
14．叶老师和王老师两人一起去粮店打酱油共三次，叶老师每次打100元酱油，而王老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息万变，每次打的酱油价格都不相同，分别为a元、b元、c元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低的是哪位老师？请写出理由的关键不等式．
15．比较下列各组中两数的大小：
(1)已知为正数，且，比较与的大小；
(2)已知，比较与的大小；
(3)已知均为正数，设，，比较和的大小.
一、用不等式（组）表示不等关系
四、利用不等式的性质判断不等式
二、作差法比较大小
五、利用不等式的性质证明不等式
三、作商法比较大小
六、利用不等式的性质求取值范围
甲
乙
丙
维生素A(单位/kg)
600
700
400
维生素B(单位/kg)
800
400
500
成本(元/kg)
11
9
4
性质
性质内容
注意
对称性
传递性
可加性
可乘性
的符号
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
同正