必修 第一册3.3 幂函数学案

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知识点1幂函数的概念
一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数．
重难点一 幂函数的辨析
【例1】在函数，，，中，幂函数的个数为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【答案】B
【详解】函数是幂函数，
函数，都是二次函数，函数是一次函数，它们都不是幂函数，
所以所给函数中幂函数的个数是1.
故选：B
【例2】下列函数中不是幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】对于选项A，，故它是幂函数．故A项正确；
对于选项B，是幂函数，故B项正确；
对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立；
对于选项D，是幂函数，故D项正确.
故选：C.
【变式1-1】下列函数为幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由幂函数的定义可知：是幂函数，，和的系数不为1，故不是幂函数，
故选：D
【变式1-2】下列函数是幂函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】B项可化为，根据幂函数的概念，可知函数是幂函数，即函数是幂函数.ACD均不是幂函数.
故选：B.
【变式1-3】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个
故选：B
重难点二 求幂函数的函数值、解析式
【例3】幂函数y=fx的图像经过点，则的值为 .
【答案】2
【详解】设幂函数，将代入，可得：，
所以，所以.
故答案为：2.
【例4】已知幂函数是定义域上的奇函数，则（ ）
A．或3B．3C．D．
【答案】D
【详解】由函数是幂函数，得，解得或，
当时，是R上的偶函数，不符合题意，
当时，是上的奇函数，符合题意，
所以.
故选：D
【变式2-1】已知幂函数的图象经过点，求 ．
【答案】
【详解】设幂函数为，
因为幂函数的图象经过点，可得，解得，即，
所以.
故答案为：.
【变式2-2】已知幂函数的图象经过点，则 .
【答案】6
【详解】因为为幂函数，
则，可得，即，
又因为的图象经过点，则，可得，
所以.
故答案为：6.
【变式2-3】已知函数是幂函数，若，则 ．
【答案】2
【详解】设，是常数，则，解得
则．
故答案为：2．
知识点2常见幂函数的图象与性质
注意：幂函数在区间上，当时，是增函数；当时，是减函数．
一般幂函数的图象：
①当时，的图象是一条直线.
②当时，的图象是一条不包括点的直线.
③当为其他值时，相应幂函数的图象如下表：
重难点三 幂函数的定义域问题
【例5】函数的定义域为 ．
【答案】
【详解】由函数有意义，则满足，解得，
所以函数的定义域为0,+∞，
故答案为：.
【例6】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】是幂函数，设，将代入解析式，
得，解得，故，则，
故，解得
故选：B
【变式3-1】函数的定义域为 ．
【答案】
【详解】解：由于，
所以，，解得
所以函数的定义域是.
故答案为：
【变式3-2】函数 的定义域是 ．
【答案】
【详解】易知，要使式子有意义则需满足；
解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
【变式3-3】若幂函数（为整数）的定义域为，求的值．
【答案】0或1或2
【详解】若幂函数的定义域为，
则，得，且，
所以.
重难点四 幂函数的值域问题
【例7】若幂函数的图象过点，则的值域为 ．
【答案】
【详解】设，因为幂函数的图象过点，所以
所以，所以
故答案为：
【例8】已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当是正偶数时，显然，即其值域为．
当时，的值域为，但不是正偶数．
故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件．
故选：A
【变式4-1】下列函数中，定义域和值域不相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意；
对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；
对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；
对于D：的定义域为；
当时，；当时，；
所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；
故选：D．
【变式4-2】已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由函数单调递增，
①当时，若，有，
而，此时函数的值域不是；
②当时，若，有，而，
若函数的值域为，必有，可得．
则实数的取值范围为．
故答案为：
【变式4-3】（多选）已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的a的值为（ ）
A．1B．C．3D．2
【答案】AC
【详解】因为的值域为R，所以，
又因为为奇函数，所以.
故选：AC
重难点五 幂函数的图象
【例9】函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，定义域为，排除A，B．
经过定点， ，则第一象限图象是单调递增，且增长率逐步变快.
故选：C.
【例10】若，则这四个数中（ ）
A．最大，最小B．最大，最小
C．最大，最小D．最大，最小
【答案】D
【详解】当，结合幂函数图象，
可得，
所以最大，最小.
故选：.
【变式5-1】已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为幂函数的图象过定点，即有，
所以，
即的图象经过定点.
故选：B.
【变式5-2】在同一坐标系内，函数和的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，由函数的图象可知，
由的图象可知，互相矛盾，错误；
对于B，由函数的图象可知，
由的图象可知，互相矛盾，错误；
对于C，由函数的图象可知，
由的图象可知且，符合题意，正确；
对于D，由函数的图象可知，
由的图象可知且，互相矛盾，错误.
故选：C
【变式5-3】幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图像经过的“卦限”是 ．

【答案】①⑤
【详解】对于函数，当时，，
故其图象在的部分位于直线与之间，即图象经过①卦限；
而当时，，
故其图象在的部分位于直线与之间，即图象经过⑤卦限.
故答案为：①⑤.
重难点六 由幂函数的图象性质求参数
【例11】若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（ ）
A．B．3C．或3D．2或
【答案】A
【详解】由题意可得，
对于,解得或，
当时，满足，但时，不满足，
故，
故选：A
【例12】（多选）若幂函数的定义域为且为奇函数，则可能的值为（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】BD
【详解】根据幂函数定义可知，
对于A，若，则，易知其定义域为，
令，则，则其为偶函数，不符合题意；
对于B，当时，，定义域为，且为奇函数，符合题意；
对于C，当时，则，定义域为，不符合题意；
对于D，当时，则，定义域为，且为奇函数，符合题意；
故选：BD
【变式6-1】若幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【详解】根据幂函数定义和单调性,知道，解得，则.
故选：D
【变式6-2】已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ）
A．2B．C．4D．2或
【答案】A
【详解】由幂函数定义知，解得或，
当时，，则在0,+∞上为常数函数，不符合题意；
当时，，则，在0,+∞上单调递减，符合题意.
故.
故选：A.
【变式6-3】设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数 ．
【答案】
【详解】，
若幂函数的图像关于轴对称，则，
又幂函数在区间上是严格增函数，则.
故答案为：.
重难点七 比较幂值的大小
【例13】已知，，则“”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】C
【详解】因为函数在上单调递增，
所以，
即“”是“”的充要条件.
故选：C.
【例14】比较下列各组数的大小：
(1)和；
(2)和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）幂函数在上是严格减函数，又，则；
（2）幂函数在上是严格增函数，又，则.
【变式7-1】比较下列各题中两个数的大小：
(1)与；
(2)与．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在上单调递减，
因为，所以；
（2）在上单调递增，
因为，所以.
【变式7-2】如图，已知反比例函数的图象经过点.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点，在该函数的图象上，试比较与的大小.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为反比例函数的图象经过点，
将，代入解析式可得，解得，
所以解析式为.
（2）由（1）可得，
所以图象在一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
又，所以，两个点在第一象限，且.
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征.
【变式7-3】已知幂函数的图象过点是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】设幂函数，
因为的图象经过点，则，解得，
所以.
因为函数在定义域内单调递增，
则当时，，
所以，且，
故选项错误；
又因为函数单调递增，
则当时，，且，
故选项D正确，选项错误.
故选：D.
重难点八 利用幂函数的性质解不等式
【例15】若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ．
【答案】
【详解】因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，
又，所以或，
当时，幂函数为，图象关于y轴对称，满足题意；
当时，幂函数为，图象不关于y轴对称，舍去，
所以，不等式为，
因为函数在和上单调递减，
所以或或，
解得或.
故答案为：.
【例16】已知幂函数在上是增函数.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为函数为幂函数，则，
即，即，解得或，
又因为函数在上是增函数，则，解得，
所以，，故.
（2）由（1）可知，，该函数的定义域为，
对任意的，，则函数为上的奇函数，
因为函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由可得，解得，
因此，实数的取值范围是.
【变式8-1】若，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为幂函数在上单调递增，
所以不等式，可化为，
所以，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【变式8-2】已知幂函数的图象与坐标轴无交点.
(1)求的解析式；
(2)解不等式.
【答案】(1)；
(2)且.
【详解】（1）由是幂函数，得，解得或，
由的图象与坐标轴无交点，得，则，
所以的解析式是.
（2）显然函数是偶函数，且在0,+∞上单调递减，
不等式，
因此，解得且，
所以原不等式的解集为且.
【变式8-3】已知函数，且该函数的图象经过点.
(1)确定m的值；
(2)求满足条件的实数a的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）因为该函数的图象过点，
所以，
所以，所以或，
又，故.
（2）由（1）知，故为上的增函数，又由，
得，解得.
所以满足条件的实数a的取值范围为.
一、单选题
1．下列函数中，既是奇函数，又在区间上为增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】对于A，的定义域为，所以函数是非奇非偶函数，故A错误；
对于B，根据幂函数的性质可知，在上为增函数，且，
又，所以是奇函数，故B正确；
对于C，，，且，所以是偶函数，故C错误；
对于D，显然是偶函数，故D错误.
故选：B.
2．已知，则“”是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】,则，且在单调递增.故.
反过来，如果，则,可以为负数.推不出.
故“”是的充分不必要条件.
故选：Ａ．
3．已知幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增，则m等于（ ）
A．1B．2
C．1或3D．3
【答案】C
【详解】因为幂函数（且）在区间上递增，
所以且，所以，
当时，幂函数为奇函数，符合题意；
当时，幂函数为偶函数，不符合题意；
当时，幂函数为奇函数，符合题意，综上m等于1或3.
故选：C
4．已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（ ）
A．B．C．0D．3
【答案】B
【详解】因为函数是偶函数且在上是增函数，
所以函数在0,+∞上单调递减，
所以，即，解得，
又因为，所以或或，
当或时，，此时为奇函数，不满足题意；
当时，，此时为偶函数，满足题意；
所以.
故选：B
5．“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由题意，在中，
当函数在上单调递减时，，
在中，函数是偶函数，
∴，解得：，
∴“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的必要不充分条件，
故选：B.
6．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图象的关系可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：因为二次函数的对称轴为，
当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递增，
对于C，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为直线，故不正确；
当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递减，
对于D，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，满足题意，故正确；
当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递减，
对于B，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，不满足题意，故不正确；
当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递增，
对于A，由题意可得此时，得以，所以幂函数，当x>1时，图象在直线下方，不满足题意，故不正确；
故选：D.
二、多选题
7．已知幂函数的图象经过点，则函数的大致图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】设幂函数，将代入可得：，所以，
，所以是二次函数，故排除B选项，
对称轴为，在轴左侧，故排除D选项，
当时，为开口向上的二次函数，可知A正确，
当时，为开口向下的二次函数，可知C正确.
故选：AC.
8．下列关于幂函数的说法正确的有（ ）
A．函数的定义域为RB．函数的值域为
C．函数为偶函数D．不等式的解集为
【答案】BC
【详解】A选项，的定义域为，A错误；
B选项，，故值域为，B正确；
C选项，定义域为，关于原点对称，又，
故为偶函数，C正确；
D选项，不等式，故，解得或，D错误.
故选：BC
9．已知幂函数在上单调递减，若在上不单调，则实数的可能取值为（ ）
A．B．0C．1D．3
【答案】BC
【详解】由幂函数，可得，即，
解得或，
当时，可得在上单调递减，符合题意；
当时，可得在上单调递增，不符合题意；
又由函数在上不单调，则满足，
即，解得，
结合选项，可得选项BC符合题意.
故选：BC.
三、填空题
10．已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是 ．
【答案】2
【详解】由为幂函数，则，解得，或，
当时，，其图象关于轴对称，
当时，，其图象关于对称，
因此，
故答案为：2.
11．已知函数，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】当时，；
当时，，；
当时，，所以对任意的，
所以函数为奇函数，
又当时，单调递减，
所以函数在上单调递减，
所以不等式，
解得，
由已知对任意的有恒成立，
所以,即，
故答案为：．
12．若，且函数与的图象若有1个交点，则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点，则满足条件的不同集合A有 个．
【答案】 （答案不唯一） 4
【详解】作出五个函数图象，如图：
由图可知：
图像与、、、的图象有1个、1个，2个、2个交点；
图像与、、的图像有1个、1个，1个交点；
图像与、的图像有2个、2个交点；
图像与的图像有3个交点.
综上可得，函数与的图象若有1个交点，
则，，，，；
满足函数与的图像恰有两个交点的集合有4个：
，，，．
故答案为：（答案不唯一）；4.
四、解答题
13．求下列函数的定义域，并作出它们的大致图象：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)定义域为，图象见解析
(2)定义域为，图象见解析
(3)定义域为，图象见解析
【详解】（1）函数的定义域为，
因为，所以函数在第一象限单调递增，且满足，
所以函数是奇函数，关于原点对称，过点，，，
作出函数的大致图象，如下图所示，
（2）函数的定义域为0,+∞，
因为，所以函数在第一象限单调递减，且过点，，，
作出函数的大致图象，如图所示，
（3）的定义域为，
因为，所以函数在第一象限单调递增，且满足，
所以函数是偶函数，关于轴对称，且过点，，，
14．已知幂函数（且）的图象关于y轴对称，且在上递减，求满足的a的取值范围．
【答案】．
【详解】解 ∵函数在上递减，
∴，即．
又∵且，∴或．
∵函数的图象关于y轴对称，
∴是偶数，∴，
则可化为．
∵函数在R上是增函数，
∴由，得，即．
∴所求a的取值范围是．
15．已知幂函数（）在定义域上不单调．
(1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)奇函数，理由见详解
(2)
【详解】（1）因为为幂函数，则，解得或，
若，则在定义域内单调递增，不合题意；
若，则在定义域内单调递减，
但在定义域内不单调，符合题意；
综上所述：，.
函数为奇函数，理由如下：
因为的定义域为，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数.
（2）由及为奇函数，
可得，
即，
而在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，解得或，
所以实数的取值范围.
16．已知幂函数经过点．
(1)当时，求函数的值；
(2)是否存在实数、，使得该函数在区间上的最小值为，最大值为，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，
【详解】（1）设幂函数为，∴，∴，
∴，∴当时，．
（2）存在．
理由：由（1）得，∴，∴．
因为函数在上是严格增函数，
所以函数在上是严格增函数，
所以当时，函数取最小值，当时，函数取最大值，
解得，．
故存在，满足题意．
一、幂函数的辨析
五、幂函数的图象
二、求幂函数的函数值、解析式
六、由幂函数的图象性质求参数
三、幂函数的定义域问题
七、比较幂值的大小
四、幂函数的值域问题
八、利用幂函数的性质解不等式
幂函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上递增
上递增，
上递减
在上递增
在上递增
上递增
上递减
定点
（互质）
都是奇数
是偶数，是奇数
是奇数，是偶数