人教A版 (2019)必修 第一册1.4.1 充分条件与必要条件学案

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知识点1命题及相关概念
定义：用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句。其中，真命题:判断为真的语句；假命题:判断为假的语句
形式:“若,则”.其中称为命题的条件﹐称为命题的结论
重难点一 命题的概念及真假
【例1】下列命题中正确的个数有（ ）．
①如果，那么；②如果，且那么；
③，则；④若，则．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【例2】判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题．
(1)任何负数都大于零；
(2)与是全等三角形；
(3)；
(4)；
(5)6是方程的解；
(6)方程有实数解．
【变式1-1】（多选）下列命题是真命题的是（ ）
A．所有平行四边形的对角线互相平分
B．若是无理数，则一定是有理数
C．若，则关于的方程有两个负根
D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比
【变式1-2】把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假．
(1)奇数不能被2整除；
(2)当时，；
(3)已知，为正整数，当时，且．
【变式1-3】判断下列命题的真假并说明理由：
(1)如果一元二次方程满足，那么这个方程有实数根；
(2)如果一元二次方程有实数根，那么．
知识点2充分条件与必要条件
1.充分、必要条件
注意：（1）充分、必要条件的判断讨论的是“若，则”形式的命题．若不是，则首先将命题改写成“若，则”的形式．
（2）不能将“若，则”与“”混为一谈，只有“若，则”为真命题时，才有“”．
2.充要条件
如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，记作.此时既是的充分条件，也是的必要条件．我们说是的充分必要条件，简称为充要条件．
如果是的充要条件，那么也是的充要条件，即如果，那么与互为充要条件．
注意：（1）从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
①若，则称是的充分条件，是的必要条件．
②若，则是的充要条件．
③若，且，则称是的充分不必要条件．
④若，且，则称是的必要不充分条件．
⑤若，且，则称是的既不充分也不必要条件．
（2）“”的传递性
若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件．
重难点二 充分、必要、充要条件的判定
【例3】“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【例4】指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答）
(1)p：x为自然数，q：x为整数；
(2)p：，q：；
(3)p：同位角相等，q：两直线平行；
(4)p：四边形的两条对角线相等，q：四边形是平行四边形．
【变式2-1】已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】是的 条件．
【变式2-3】下列命题中，判断条件是条件的什么条件．
(1)，；
(2)是直角三角形，是等腰三角形；
(3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形；
(4)或，；
(5)，：方程有实数根．
重难点三 充要条件的探索
【例5】下面四个条件中，使成立的充要条件为（ ）
A．B．C．D．
【例6】求关于x的方程有一个正根和一个负根的充要条件．
【变式3-1】（多选）设全集为U，在下列选项中，是的充要条件的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】已知，求成立的充要条件．
【变式3-3】设a，b，，求关于x的方程有一个根为的一个充要条件.
重难点四 充分、必要条件的探索
【例7】“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【例8】“”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-1】（多选）“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】“一元二次方程有两个正实数根”的一个充分不必要条件可以为 ；一个必要不充分条件可以为 .
【变式4-3】请写出“”的一个必要不充分条件： ．
重难点五 根据充分、必要条件求参数
【例9】已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（ ）
A． B．C．D．
【例10】已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为 ．
【变式5-1】已知，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 .
【变式5-2】已知集合，或，．
(1)求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【变式5-3】设全集，集合，非空集合
(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若是的必要条件，求实数的取值范围.
重难点六 充要条件的证明
【例11】已知，求证：成立的充要条件是.
【例12】证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件．
【变式6-1】求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）.
【变式6-2】已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数.请判断：p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?“若p，则q”的命题满足上面条件，你能用数学语言概括出来吗?
【变式6-3】求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”．
一、单选题
1．下列命题是真命题的是（ ）
A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等
B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形
C．存在一个实数，使得
D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0
2．有限集合中元素的个数记作，若都为有限集合,则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
4．集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．二次函数的图象与x轴没有交点的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．，
6．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．设，当时；当时.例如，则“，或，”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
二、多选题
8．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．是的必要不充分条件
C．若a，b，，则“”的充要条件是“”
D．若a，，则“”是“”的充要条件
9．已知，，则“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
10．“”是“一元二次方程有实数解”的 条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”）
11．若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为
12．已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.若条件是条件的充分不必要条件，则实数 ；若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是 .
四、解答题
13．判断下列各题中p是q的什么条件．
(1)，中至少有一个不为零；
(2)，；
(3)，．
14．已知：实数满足集合，：实数满足集合或．
(1)若，求；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
15．已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是．
一、命题的概念及真假
四、充分、必要条件的探索
二、充分、必要、充要条件的判定
五、根据充分、必要条件求参数
三、充要条件的探索
六、充要条件的证明
命题真假
“若,则”是真命题
“若,则”是假命题
推出关系及符号表示
由通过推理可得出,记作:
由条件不能推出结论,记作:
条件关系
是的充分条件；
是的必要条件
不是的充分条件；
不是的必要条件