人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念导学案

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知识点1元素与集合的概念
1．元素与集合的概念
（1）元素：一般地,把研究对象统称为元素,元素常用小写的拉丁字母表示．
（2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）,集合通常用大写的拉丁字母表示．
（3）集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性
（1）确定性：给定的集合,它的元素必须是确定的．也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说,集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后,没有顺序的．简记为“无序性”．
注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时,首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点,也可以是一些人或一些物．
题型一 集合的概念
【例1】下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（ ）
A．所有很大的实数组成的集合
B．满足不等式的所有整数解组成的集合
C．所有大于的偶数组成的集合
D．所有到轴距离均为1的点组成的集合
【例2】判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由．
(1)所有大于0且小于25的偶数；
(2)不等式的解集；
(3)两条平行直线的交点；
(4)古今中外的所有伟大的人．
【变式1-1】下列集合中有限集的个数是（ ）
①不超过π的正整数构成的集合；
②平方后等于自身的数构成的集合；
③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合；
④所有小于2的整数构成的集合．
A．1B．3C．2D．4
【变式1-2】下列对象不能组成集合的是（ ）
A．不超过 20的偶数
B．π的近似值
C．方程的实数根
D．最小的正整数
【变式1-3】下列各组对象能组成一个有限集的有 ．（填序号）
（1）小于100的自然数；
（2）等腰直角三角形的全体；
（3）平面内到坐标原点距离为1的所有点；
（4）方程的实数根；
（5）高一（1）班喜欢数学的全体同学．
题型二 判断是否为同一集合
【例3】判断下列命题是否正确．
（1）集合与集合表示同一集合；( )
（2）集合与集合表示同一集合；( )
（3）集合与集合不表示同一集合；( )
（4）集合与集合表示同一集合．( )
【例4】下列关于集合相等的说法正确的有（ ）
①；
②；
③；
④
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式2-1】下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式2-2】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．由组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
【变式2-3】（多选）下列各组中M、P表示不同集合的是（ ）
A．，
B．
C．，
D．，
题型三 集合的元素特征
【例5】由1，2，0，5，这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？
【例6】已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素，该三角形一定不可能是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
【变式3-1】英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（ ）
A．7个元素B．8个元素C．9个元素D．11个元素
【变式3-2】将表示成小数，则构成这个小数的所有数字的集合用列举法表示为 ．
【变式3-3】由，，可组成含个元素的集合，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
知识点2元素与集合的关系
（1）属于：如果是集合A的元素,就说属于集合A,记作．
（2）不属于：如果不是集合A的元素,就说不属于集合A,记作．
温馨提示：（1）符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果．
（2）和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的．
题型四 判断元素与集合的关系
【例7】已知集合，则下列表示正确的是（ ）.
A．B．
C．D．
【例8】已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】，在空格处填入适当的符号： ， ．
【变式4-2】集合，，，且，，则（ ）
A．B．
C．D．不属于，，中的任意一个
【变式4-3】已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型五 根据元素与集合的关系求参数
【例9】若，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【例10】若集合，且中只有一个元素，则 ；
【
变式5-1】已知集合，若，求实数的值．
【变式5-2】已知集合A中含有三个元素1，0，x，若，求实数x的值．
【变式5-3】集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是 ．
知识点3集合的表示方法
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
温馨提示：（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的；
（3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
（1）定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
注意：（1）写清楚集合中元素的符号．如数或点等．
（2）说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．
（3）不能出现未被说明的字母．
3.常用的数集及其记法
题型六 常用数集的应用
【例11】下列字母表示“自然数集”“整数集”“有理数集”“实数集”，其排列顺序正确的是（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【例12】设集合，则集合 ．
【变式6-1】下列关系中，正确的个数为（ ）
①R；②Q；③N；④Z
A．B．C．D．
【变式6-2】用符号“”或“”填空．
（1）0 N；
（2） R；
（3） Q；
（4） Z．
【变式6-3】使用“”“”和数集符号来替代下列自然语言：
（1）“255是正整数”即( )；
（2）“不是有理数”即( )；
（3）“3.1416是正有理数”即( )；
（4）“是整数”即( )；
（5）“是负实数”即( )．
题型七 用列举法、描述法表示集合
【例13】用列举法表示集合可以是 ．
【例14】用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.
(1)不等式的解集；
(2)二元二次方程组的解集；
(3)由大于且小于9的偶数组成的集合.
【变式7-1】用列举法表示集合的结果为 .
【变式7-2】用描述法表示下列集合：
(1)被7除余1的正整数组成的集合；
(2)平面直角坐标系中第一象限和第三象限的点组成的集合；
(3)函数的图像上所有的点组成的集合．
【变式7-3】用适当的方法表示下列集合：
(1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合；
(2)被3除余1的所有自然数组成的集合；
(3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合；
(4)不等式的解集组成的集合．
题型八 集合中的新定义问题
【例15】已知集合，定义集合，则中元素的个数为（ ）
A．77B．49C．45D．30
【例16】设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ．
【变式8-1】对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是
【变式8-2】定义集合上的二元运算“”见右表所示，如果有一个元素，对于任意的，都有，则称为A关于运算的零元．判断A关于运算的零元是 ．
【变式8-3】已知集合，，定义集合，之间的运算“*”：，求中的所有元素数字之和．
一、单选题
1．下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．参加杭州亚运会的全体电竞选手B．小于的正整数
C．2023年高考数学难题D．所有无理数
2．下列表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．以下选项中，不是集合的元素的是（ ）
A．B．C．D．
4．定义集合．已知集合，，则的元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
5．集合中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
6．已知集合，若，则实数a的值为（ ）
A．或4B．2C．-2D．4
7．已知集合.若集合A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．已知集合，集合，下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．已知x，y，z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
10．已知集合，若，且，则实数a的取值范围为 .
11．有下列集合：①5的负整数倍的全体组成的集合；②2022的正约数的全体组成的集合；③2021年7月在上海接种新冠疫苗的所有人组成的集合；④给定的一个半径为1的圆的所有直径组成的集合；⑤末位是7的全体自然数组成的集合.其中是有限集的序号为 ，是无限集的序号为 .
12．已知集合，，则集合中的元素个数为 ．
四、解答题
13．用适当的方法表示下列集合：
(1)奇数的集合；
(2)正偶数的集合；
(3)；
(4)不等式的解集．
14．已知集合，，且，求集合．
15．已知集合中的元素满足，.
(1)若，求实数的值；
(2)若为单元素集合，求实数的值；
(3)若为双元素集合，求实数的取值范围.
题型一
集合的概念
题型五
根据元素与集合的关系求参数
题型二
判断是否为同一集合
题型六
常用数集的应用
题型三
集合的元素特征
题型七
用列举法、描述法表示集合
题型四
判断元素与集合的关系
题型八
集合中的新定义问题
常用的数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
或
a b c
a
a b c
b
b b b
c
c b a
d
d b d