高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质课堂检测

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质课堂检测，文件包含高中数学培优讲义练习人教A版2019必修一专题22等式性质与不等式性质-重难点题型检测Word版含解析docx、高中数学培优讲义练习人教A版2019必修一专题22等式性质与不等式性质-重难点题型检测学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。

1．（3分）（2021秋•洮南市校级月考）下列说法正确的是（ ）
A．某人月收入x元不高于2000元可表示为“x＜2000”
B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＞y”
C．变量x不小于a可表示为“x≥a”
D．变量y不超过a可表示为“y＞a”
【解题思路】某人月收入x元不高于2000元可表示为“x≤2000”，小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＜y”，变量x不小于a可表示为“x≥a”，变量y不超过a可表示为“y≤a”．
【解答过程】解：由题意知，
某人月收入x元不高于2000元可表示为“x≤2000”，故选项A错误；
小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＜y”，故选项B错误；
变量x不小于a可表示为“x≥a”，故选项C正确；
变量y不超过a可表示为“y≤a”，故选项D错误；
故选：C．
2．（3分）（2022•义乌市模拟）已知实数a，b，a＞0，b＞0，则“a+b＜2”是“a＜2−b”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】从充分性和必要性两个角度分别判断即可得出结论．
【解答过程】解：∵a＞0，b＞0，a+b＜2，
∴0＜a＜2﹣b，则a＜2−b，即充分性成立；
若a＜2−b，则两边同时平方可得，a＜2﹣b，即a+b＜2，即必要性成立；
∴“a+b＜2”是“a＜2−b”的充分必要条件．
故选：C．
3．（3分）（2022秋•南昌月考）若ab＞0，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a2＞b2B．1a＞1bC．ba+ab＞2D．a+b2＞ab
【解题思路】举反例a＝﹣1，b＝﹣2可判断ABD错误，利用基本不等式可判断C正确．
【解答过程】解：对于A，若a＝﹣1，b＝﹣2，则a2＜b2，故A错误，
对于B，若a＝﹣1，b＝﹣2，则1a＜1b，故B错误，
对于C，∵ab＞0，∴ba＞0，ab＞0，又a＞b，
∴ba+ab＞2ba⋅ab=2，故C正确，
对于D，若a＝﹣1，b＝﹣2，则a+b2＜ab，故D错误，
故选：C．
4．（3分）（2021秋•张掖期末）若a＝（x+1）（x+3），b＝2（x+2）2，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞bB．a＜b
C．a≥bD．a，b大小不确定
【解题思路】利用作差法得到a﹣b＝﹣x2﹣4x﹣5，再利用二次函数的性质求解即可．
【解答过程】解：∵a＝（x+1）（x+3），b＝2（x+2）2，
∴a﹣b＝（x+1）（x+3）﹣2（x+2）2
＝﹣x2﹣4x﹣5＝﹣[（x+2）2+1]＜0，
∴a＜b，
故选：B．
5．（3分）（2021秋•洪山区校级月考）如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b（a≠b）的不等式表示出来（ ）
A．12(a2+b2)＞abB．12(a2+b2)＜ab
C．12(a2+b2)≥abD．12(a2+b2)≤ab
【解题思路】利用三角形的面积计算公式、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．
【解答过程】解：图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，面积S1=12a2+12b2．
图（2）是一个矩形，面积S2＝ab．
可得：12（a2+b2）＞ab（a≠b）．
故选：A．
6．（3分）（2022•连云区校级开学）设a，b，c是实数，x＝a2﹣2b+π3，y＝b2﹣2c+π6，z＝c2﹣2a+π2，则x，y，z中至少有一个值（ ）
A．大于0B．等于0C．不大于0D．小于0
【解题思路】求出x+y+z，再利用反证法假设x，y，z都不大于0即x≤0，y≤0，z≤0，推出x+y+z的值大于0，出现矛盾，从而得到假设不正确，即可求解．
【解答过程】解：∵x+y+z＝a2﹣2b+π3+b2﹣2c+π6+c2﹣2a+π2=（a﹣1）2+（b﹣1）2+（c﹣1）2+π﹣3＞0，
假设x，y，z都不大于0即x≤0，y≤0，z≤0，
根据同向不等式的可加性可得x+y+z≤0①，
又x+y+z＞0与①式矛盾．
所以假设不成立，即原命题的结论x，y，z中至少有一个大于0．
故选：A．
7．（3分）（2021秋•河南月考）已知2＜x＜4，﹣3＜y＜﹣1，则xx−2y的取值范围是（ ）
A．（110，14）B．（14，23）C．（15，1）D．（23，2）
【解题思路】把xx−2y变形为11−2yx，再由已知结合不等式的性质得答案．
【解答过程】解：xx−2y=11−2yx，
∵2＜x＜4，∴14＜1x＜12，
又﹣3＜y＜﹣1，∴2＜﹣2y＜6，
∴12＜−2yx＜3，
则32＜1−2yx＜4，可得14＜xx−2y＜23．
故选：B．
8．（3分）（2022春•海淀区校级期末）若a、b为实数，则下列命题正确（ ）
A．若a＞b且ab≠0则1a＜1b
B．若a＞b且ab≠0，则ba＞ab
C．若a＞b＞0，则 a+1a＞b+1b
D．若a＞b，则a（a2+b2）＞b（a2+b2）
【解题思路】取反例即可判断选项ABC的正误；对于D，易知a2+b2＞0，再由不等式的性质可判断．
【解答过程】解：对于A，取a＝1，b＝﹣1，满足a＞b且ab≠0，但此时1a＞1b，故选项A错误；
对于B，取a＝1，b＝﹣1，满足a＞b且ab≠0，但此时ba=ab，故选项B错误；
对于C，取a=1，b=12，满足a＞b＞0，但此时a+1a=2，b+1b=52，故选项C错误；
对于D，由于a＞b，则a2+b2＞0，于是a（a2+b2）＞b（a2+b2），故选项D正确．
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋•朝阳月考）已知P＝a2+b2，Q＝2ab，R=(a+b)22，则（ ）
A．P≥RB．Q≥RC．P≤RD．P≥Q
【解题思路】利用作差法可比较出大小．
【解答过程】解：P﹣R＝a2+b2−(a+b)22=(a−b)22≥0，
则P≥R，故A正确，C错误，
R﹣Q=(a+b)22−2ab=a2−2ab+b22=(a−b)22≥0，
所以R≥Q，故B错误，
因为P≥R，R≥Q，
所以P≥Q，故D正确，
故选：AD．
10．（4分）（2021秋•大同期末）下列四个选项中，p是q的充分不必要条件的是（ ）
A．p：x＞y，q：x3＞y3
B．p：x＞3，q：x＞2
C．p：2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，q：2＜2a+b＜5
D．p：a＞b＞0，m＞0，q：ba＜b+ma+m
【解题思路】利用不等式的基本性质判断A，利用子集思想结合充分必要条件的定义判断B，利用举实例判断CD．
【解答过程】解：对于A，∵x＞y⇔x3＞y3，∴p是q的充分必要条件，∴A错误，
对于B，∵（﹣∞，3）⫋（﹣∞，2），∴x＞3是x＞2的充分不必要条件，∴B正确，
对于C，当2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1时，则2＜2a+b＜5成立，
反之，当a＝1，b＝2时，满足2＜2a+b＜5，∴p是q的充分不必要条件，∴C正确，
对于D，当a＞b＞0，m＞0时，则b+ma+m−ba=(a−b)m(a+m)a＞0，∴b+ma+m＞ba，
反之，当a＝﹣2，b＝﹣1，m＝3时，b+ma+m=2，ba=12，满足b+ma+m＞ba，∴p是q的充分不必要条件，∴D正确，
故选：BCD．
11．（4分）（2021秋•仪征市校级月考）已知实数x，y满足﹣3＜x+2y＜2，﹣1＜2x﹣y＜4，则（ ）
A．x的取值范围为（﹣1，2）
B．y的取值范围为（﹣2，1）
C．x+y的取值范围为（﹣3，3）
D．x﹣y的取值范围为（﹣1，3）
【解题思路】根据﹣3＜x+2y＜2，﹣1＜2x﹣y＜4，分别求出各选项中参数的范围即可．
【解答过程】解：﹣3＜x+2y＜2，﹣2＜4x﹣2y＜8，则﹣5＜5x＜10，即﹣1＜x＜2，故A正确；
﹣4＜﹣2x﹣4y＜6，﹣1＜2x﹣y＜4，即﹣5＜﹣5y＜10，故﹣2＜﹣5y＜1，故B正确；
x+y=3(x+2y)+(2x−y)5∈（﹣2，2），故C错误；
x−y=−(x+2y)+3(2x−y)5∈（﹣1，3），故D正确．
故选：ABD．
12．（4分）（2022•沈河区校级模拟）下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b＞0，则1a＜1b
B．若a＞b＞0，m＞0，则b+ma+m＞ba
C．a＞b＞0，则a3﹣b3＞a2b﹣ab2
D．若a＞b＞0，则ac2＞bc2
【解题思路】根据已知条件，结合作差法，以及特殊值法，即可求解．
【解答过程】解：对于A，∵a＞b＞0，
∴1a−1b=b−aab＜0，即1a＜1b，故A正确，
对于B，∵a＞b＞0，m＞0，
∴b+ma+m−ba=(b+m)a−b(a+m)(a+m)a=m(a−b)(a+m)a＞0，故B正确，
对于C，∵a＞b＞0，
∴a3﹣b3﹣a2b+ab2＝a2（a﹣b）+b2（a﹣b）＞0，故C正确，
对于D，当c＝0时，ac2＝bc2，故D错误．
故选：ABC．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2021秋•和硕县校级月考）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为xm，其中的不等关系可用不等式（组）表示为 0＜x⩽18x(15−12x)⩾216 ．
【解题思路】由条件，可知0＜x⩽18，然后根据菜园的面积不小于216，可得x⋅30−x2⩾216，从而得到不等关系．
【解答过程】解：由条件，可知0＜x⩽18，
因为要求菜园的面积不小于216，
所以x⋅30−x2⩾216，所以0＜x⩽18x(15−12x)⩾216．
故答案为：0＜x⩽18x(15−12x)⩾216．
14．（4分）（2021秋•清远期末）已知M＝a2+4a+1，N=2a−12，则M ＞ N．（填“＞”或“＜”）
【解题思路】直接利用作差法比较代数式的大小关系．
【解答过程】解：已知M＝a2+4a+1，N=2a−12，
则M﹣N=a2+4a+1−2a+12=(a−1)2+12≥12＞0；
故M＞N．
故答案为：＞．
15．（4分）（2021秋•镇江期中）已知0＜α＜π2，π2＜β＜π，则2α−β3的取值范围是 （−π3，5π6） ．
【解题思路】首先，确定2α与−β3的范围，然后求解2α−β3的范围．
【解答过程】解：∵0＜α＜π2，
∴0＜2α＜π，
∵π2＜β＜π，
∴−π3＜−β3＜−π6，
∴−π3＜2α−β3＜5π6．
故答案为：（−π3，5π6）．
16．（4分）（2022春•安康期末）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是 ② ．（填序号）
①若a＞b，c＞d，则ac＞bd
②若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
③若a＜b＜0，则1a＜1b
④若a＜b＜0，则ba＞ab
【解题思路】对于①，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时才成立；对于②③由不等式性质可判断正误；对于④作差，通分可得到结果．
【解答过程】解：对于①，只有当a＞b＞0，c＞d＞0时，不等式才成立；
对于②，∵a＜b＜0，∴a2＞ab，b2＜ab
由不等式的传递性得到：a2＞ab＞b2，故②正确；
③中f(x)=1x在（﹣∞，0）上为减函数，因为a＜b＜0得f（a）＞f（b），
故得到：1a＞1b，故③不正确，
又ba−ab=b2−a2ab=(b+a)(b−a)ab，又a＜b＜0，
∴(b+a)(b−a)ab＜0，∴ba＜ab，故④不正确；
故答案为：②．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）用不等式表示下列不等关系：
（1）某段高速公路规定机动车限速80km/h至120km/h；
（2）x的5倍与7的差大于3；
（3）bg糖水中有ag糖，若再添上mg糖，则糖水变甜了．
【解题思路】（1）根据某段高速公路规定机动车行驶最快速度和最慢速度列出不等式；
（2）先求倍数后求差；
（3）bg糖水中有ag糖（b＞a＞0），若再添mg糖（m＞0），浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即得．
【解答过程】解：（1）根据题意，得80≤v≤120；
（2）根据题意，得5x﹣7＞3；
（3）∵bg糖水中有ag糖，
糖水的浓度为：ab，
bg糖水中有ag糖（b＞a＞0），若再添mg糖（m＞0），
则糖水的浓度为：a+mb+m，
又糖水变甜了，说明浓度变大了，
∴ab＜a+mb+m．
18．（6分）下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因．
甲：因为﹣6＜a＜8，﹣4＜b＜2，所以﹣2＜a﹣b＜6．
乙：因为2＜b＜3，所以13＜1b＜12，
又因为﹣6＜a＜8，所以﹣2＜ab＜4．
丙：因为2＜a﹣b＜4，所以﹣4＜b﹣a＜﹣2．
又因为﹣2＜a+b＜2，所以0＜a＜3，﹣3＜b＜0，
所以﹣3＜a+b＜3．
【解题思路】利用不等式的性质进行判断即可．
【解答过程】解：甲乙丙做的都不对，
甲同学做的不对．因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的．
乙同学做的不对．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，
由﹣6＜a＜8．不明确a值的正负．故不能将13＜1b＜12与﹣6＜a＜8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．
丙同学做的不对．同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形．丙同学将2＜a﹣b＜4与﹣2＜a+b＜2两边相加得0＜a＜3，又将﹣4＜b﹣a＜﹣2与﹣2＜a+b＜2两边相加得出﹣3＜b＜0，又将该式与0＜a＜3两边相加得出﹣3＜a+b＜3，多次使用了这种转化，导致了a+b范围的扩大．
19．（8分）（2021秋•砀山县校级月考）（1）试比较（x+1）（x+5）与（x+3）2的大小；
（2）已知﹣1＜2a+b＜2，3＜a﹣b＜4，求5a+b的取值范围．
【解题思路】（1）用作差法可解决此题；
（2）根据不等式性质可解决此问题．
【解答过程】解：（1）因为（x+1）（x+5）﹣（x+3）2＝x2+6x+5﹣x2﹣6x﹣9＝﹣4＜0，
∴（x+1）（x+5）＜（x+3）2；
（2）令5a+b＝λ（2a+b）+μ（a﹣b）＝（2λ+μ）a+（λ﹣μ）b．
∴2λ+μ=5，λ−μ=1，解得λ=2，μ=1，∴5a+b＝2（2a+b）+（a﹣b）．
∵﹣1＜2a+b＜2，∴﹣2＜2（2a+b）＜4．
又3＜a﹣b＜4，∴1＜2（2a+b）+（a﹣b）＜8．
故5a+b的取值范围为（1，8）．
20．（8分）（2021秋•华龙区校级月考）（1）a＝x3+y3，b＝x2y+xy2，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小；
（2）证明：已知a＞b＞c，且a+b+c＝0，求证：ca−c＞cb−c．
【解题思路】（1）利用作差法判断即可；
（2）根据不等式的性质计算即可得证．
【解答过程】（1）解：因为a＝x3+y3，b＝x2y+xy2，
则a﹣b＝x3+y3﹣（x2y+xy2）＝x3+y3﹣x2y﹣xy2＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y）＝（x﹣y）2（x+y），
因为x＞0，y＞0，所以x+y＞0，（x﹣y）2≥0，
所以a﹣b≥0，即a≥b．
（2）证明：因为a＞b＞c，且a+b+c＝0，所以a＞0，c＜0，
所以a﹣c＞b﹣c＞0，
所以0＜1a−c＜1b−c，
所以ca−c＞cb−c．
21．（8分）（2021秋•天元区校级月考）甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，问甲乙两人谁先到达指定地点？
【解题思路】设出总路程和甲乙所用时间，作比后利用不等式的性质比较甲乙所用时间的大小．
【解答过程】解：设总路程s，甲用时间t1，乙用时间t2．
则t12m+t12n=s，所以t1=2sm+n．
t2=s2m+s2n=(m+n)s2mn，
t1t2=2sm+n(m+n)s2mn=4mn(m+n)2
因为m≠n，
所以，（m+n）2＞4mn，
所以4mn(m+n)2＜1．
所以，t1t2＜1．
t1＜t2．
即：甲先到达．
22．（8分）证明下列不等式：
（1）已知a＞b，e＞f，c＞0，求证f﹣ac＜e﹣bc
（2）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：3ad＜3bc．
【解题思路】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明．
【解答过程】证明：（1）∵a＞b，c＞0，∴ac＞bc，﹣ac＜﹣bc，
又e＞f，即f＜e，∴f﹣ac＜e﹣bc．
（2）∵c＜d＜0，
∴1d＜1c＜0，∴−1d＞−1c＞0，
又a＞b＞0，
∴−ad＞−bc，
∴ad＜bc，
∴3ad＜3bc．