10.1.2事件的关系和运算-2024-2025学年高中数学新版同步课件（人教A版必修二）

第十章 10.1　随机事件与概率10.1.2　事件的关系和运算课标要求了解随机事件的并、交与互斥的含义，会进行简单的随机事件的运算.上一节课我们学习了用集合来表示样本空间，事件则被定义为样本空间的一个子集.我们知道，集合之间有确定的关系，可进行交、并、补等运算，那么用集合表示的事件之间是否也有这些情况呢？引入课时精练一、事件的关系二、事件的运算三、互斥事件与对立事件课堂达标内容索引事件的关系一探究1 在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如：Ci＝“点数为i”，i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于3”；D2＝“点数大于3”；E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”；F＝“点数为偶数”；G＝“点数为奇数”.……用集合的形式表示事件C1＝“点数为1”和事件G＝“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？提示　C1＝{1}，G＝{1，3，5}，{1}{1，3，5}.两个事件的关系知识梳理一定包含A＝B例1因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，在掷骰子试验中，可以得到以下事件：A：{出现1点}；B：{出现2点}；C：{出现3点}；D：{出现4点}；E：{出现5点}；F：{出现6点}；G：{出现的点数不大于1}；H：{出现的点数小于5}；I：{出现奇数点}；J：{出现偶数点}.请判断下列两个事件的关系：(1)B_____H；(2)D_____J；(3)E_____I；(4)A_____G.＝所以事件B发生时，事件H必然发生，故BH；同理DJ，EI；又易知事件A与事件G相等，即A＝G.判断事件之间的关系，主要判断表示事件的两集合间的包含关系.掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少有1次正面向上”，试判断事件A，B，C之间的包含关系.训练1当事件A发生时，事件C一定发生.当事件B发生时，事件C一定发生，因此有A⊆C，B⊆C.当事件A发生时，事件B一定不发生.当事件B发生时，事件A一定不发生，因此事件A与事件B之间不存在包含关系.综上，事件A，B，C之间的包含关系为A⊆C，B⊆C.事件的运算二探究2 在探究1的掷骰子试验中：(1)用集合的形式表示事件D1＝“点数不大于3”，事件E1＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？(2)事件C2＝“点数为2”，事件E2＝“点数为1或2”和事件E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？提示　(1)D1＝{1，2，3}，E1＝{1，2}和E2＝{2，3}，{1，2}∪{2，3}＝{1，2，3}，即E1∪E2＝D1.(2){1，2}∩{2，3}＝{2}，即E1∩E2＝C2.知识梳理事件的运算至少同时A∩B(或AB)例2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”.求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.事件间的运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.训练2“密码被成功破译”是指甲、乙两人至少有一人成功破译密码，而事件A∪B指的就是至少有一人成功破译密码.√根据题意，事件M＝{(2，2)，(2，4)，(2，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(6，2)，(6，4)，(6，6)}，事件N＝{(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，所以事件M∩N＝{(4，6)，(6，4)，(6，6)}.(2)在试验E“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察掷出的点数”中，事件M表示随机事件“两次掷出的点数均为偶数”，事件N表示随机事件“两次掷出的点数和比9大”，用(i，j)表示抛掷的结果，其中i表示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数，则事件M∩N＝A.{(6，6)} B.{(4，6)，(6，6)}C.{(5，6)，(6，6)} D.{(4，6)，(6，4)，(6，6)}√互斥事件与对立事件三探究3 在探究1的掷骰子试验中，(1)用集合的形式表示事件C3＝“点数为3”和事件C4＝“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？提示　C3＝{3}，C4＝{4}，C3∩C4＝.(2)用集合的形式表示事件F＝“点数为偶数”，事件G＝“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？提示　F＝{2，4，6}，G＝{1，3，5}，F∪G＝Ω，F∩G＝.知识梳理1.互斥事件不能同时A∩B∅A∩B＝∅2.对立事件A∩B＝∅A∩B＝∅A∪B＝Ω温馨提示(1)对立事件一定互斥；(2)互斥事件不一定对立.例3(1)从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是A.“至少有1个红球”与“都是黑球”B.“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”C.“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”D.“都是红球”与“都是黑球”从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，可能的结果有以下三种：1红1黑、2红、2黑.“至少有1个红球”包括1红1黑、2红，与“都是黑球”是对立事件，因此A不满足题意；“恰好有1个红球”和“恰好有1个黑球”是同一个事件，因此B不满足题意；“至少有1个黑球”包括1红1黑、2黑，“至少有1个红球”包括1红1黑、2红，这两个事件不是互斥事件，因此C不满足题意；“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件而不是对立事件，因此D满足题意.√A.两次均击中 B.恰有一次击中C.第一次击中 D.两次均未击中事件“至少有一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中”，与“两次均未击中”互为对立事件，因此D正确.√(2)(链接教材P235练习T1)一个人连续射击目标2次，则下列选项中与“至少有一次击中”为对立事件的是判断互斥事件、对立事件的两种方法训练3用Venn图解决此类问题较为直观，②【课堂达标】1. 甲、乙两个元件构成一并联电路，设事件E＝“甲元件故障”，事件F＝“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为因为甲、乙两个元件构成一并联电路，所以只有当甲、乙两个元件都故障时，才造成电路故障，所以表示电路故障的事件为E∩F.√2.在含10件次品的100件产品中，抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为A.至多有2件次品 B.至多有1件次品C.至多有2件正品 D.至少有2件正品至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10件次品，共9个样本点，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品.√3.某人射击一次，设事件A为“击中环数小于4”，事件B为“击中环数大于4”，事件C为“击中环数不小于4”，事件D为“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是A.A与B为对立事件 　 B.B与C互斥C.C与D为对立事件 　 D.B与D互斥√在A中，A和B是互斥但不对立事件，故A错误；在B中，B和C能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，C与D是互斥事件，故C错误；在D中，B与D为互斥事件，故D正确.4.从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A∩B用样本点表示为________________________________________.{10，20，30，40，50，32，42，52，54}从0，1，2，3，4，5中任取两个数字组成一个两位数，所有的样本点为10，12，13，14，15，20，21，23，24，25，30，31，32，34，35，40，41，42，43，45，50，51，52，53，54，共25个，则事件A＝{10，12，14，20，24，30，32，34，40，42，50，52，54}，事件B＝{10，20，30，40，50，21，31，41，51，32，42，52，43，53，54}，故事件A∩B用样本点表示为{10，20，30，40，50，32，42，52，54}.【课时精练】1.打靶3次，事件Ai＝“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示A.全部击中 B.至少击中1发C.至少击中2发 D.全部未击中A1∪A2∪A3表示的是A1，A2，A3这三个事件中至少有一个发生，即至少击中1发.√√2.抛掷一枚质地均匀的骰子，有随机事件A＝“向上的点数为1或3”，B＝“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是∵A＝“向上的点数为1或3”，B＝“向上的点数为偶数”，事件B样本点表示的集合为{(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，(5，5)，(4，6)，(6，4)}，√若A＋B＝A，则BA，故A错误；由题意知，ABA，∴A＋AB＝A，B正确；√√√6.抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是4的倍数”，则上述事件是互斥事件但不是对立事件的两个事件是________.A与C互斥但不对立.A与C产品不合格②③④8.给出下列说法：①若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件；②《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.现有四大名著各一本，若甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件；③掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则BA；④10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点，其中正确的是________(填序号).对于①，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故①不正确；对于②，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取得红楼梦”“丁取得红楼梦”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥但不对立事件，故②正确；对于③，事件A＝{1，2，3，4，5}，事件B＝{2，3，5}，所以B包含于A，故③正确；对于④，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故④正确.9.某城市有甲，乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件.(1)A与C；(2)B与D；(3)B与C；(4)C与D.事件A＝“只订甲报纸”；事件B＝“至少订一种报纸”包括“只订甲报纸”“只订乙报纸”和“订甲、乙两种报纸”；事件C＝“至多订一种报纸”包括“一种报纸也不订”“只订甲报纸”和“只订乙报纸”；事件D＝“一种报纸也不订”.(1)事件C包含事件A，所以不是互斥事件；(2)B与D既是互斥事件，也是对立事件；(3)事件B和事件C可以同时发生，所以不是互斥事件；(4)事件C包含事件D，所以不是互斥事件.10.从某大学数学系图书室中任选一本书，设A＝“数学书”，B＝“中文版的书”，C＝“2024年后出版的书”，问：11.(多选)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球.设事件R1＝“第一次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，则从袋中不放回地依次随机摸出2个球的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)，(4，3).由题意得，R1＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}，R＝{(1，2)，(2，1)}，G＝{(3，4)，(4，3)}，M＝{(3，4)，(4，3)，(1，2)，(2，1)}，N＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)}.由集合间的关系可知BCD正确.√√√12.如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝___________.(用B，C，D间的运算关系式表示)要使电灯变亮，则开关Ⅰ必须闭合，且开关Ⅱ和Ⅲ中至少有一个闭合，即要使“事件B发生”且“事件C发生或事件D发生”，用符号表示为B∩(C∪D).B∩(C∪D)13.连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次出现的点数，事件A＝“第一次掷出1点”;事件Aj＝“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，j＝1，2，3，4，5，6;事件B＝“2次掷出的点数之和为6”;事件C＝“第二次掷出的点数比第一次的大3”.(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B；试验的样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}.因为事件A＝“第一次掷出1点”，所以满足条件的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，即A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)}，因为事件B＝“2次掷出的点数之和为6”，所以满足条件的样本点有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，即B＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.所以A∩B＝{(1，5)}，A∪B＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}.(2)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件；(3)试用事件Aj表示随机事件A.(2)因为事件C＝“第二次掷出的点数比第一次的大3”，所以C＝{(1，4)，(2，5)，(3，6)}.因为A∩B＝{(1，5)}≠，A∩C＝{(1，4)}≠，B∩C＝，所以事件A与事件B，事件A与事件C都不是互斥事件，事件B与事件C是互斥事件.(3)因为事件Aj＝“第一次掷出1点，第二次掷出j点”，j＝1，2，3，4，5，6，所以A1＝{(1，1)}，A2＝{(1，2)}，A3＝{(1，3)}，A4＝{(1，4)}，A5＝{(1，5)}，A6＝{(1，6)}，所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.14.某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人.考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak＝“甲组有k名女生”.用1，2，3，4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因为事件A1＝“甲组有1名女生”，所以A1＝{(1，2，a)，(1，2，b)，(1，3，a)，(1，3，b)，(1，4，a)，(1，4，b)，(2，3，a)，(2，3，b)，(2，4，a)，(2，4，b)，(3，4，a)，(3，4，b)}，共含12个样本点.(2)事件B＝“甲组至少有一名女生”，其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生，所以B＝A1∪A2.(3)因为A2与A0∪A1是对立事件，本课结束