人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3.3.3~3.3.4 Word版含答案
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这是一份人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3.3.3~3.3.4 Word版含答案，共12页。
3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离学习目标 1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握用解析法研究几何问题．知识点一 点到直线的距离思考1 如图，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d同线段PS，PR，RS间存在什么关系？答案 d＝eq \f(|PR||PS|,|RS|).思考2 根据思考1的思路，点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离d怎样用A，B，C及x0，y0表示？答案 d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).思考3 点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？答案 仍然适用，①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，即y＝－eq \f(C,B)，d＝|y0＋eq \f(C,B)|＝eq \f(|By0＋C|,|B|)，适合公式．②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－eq \f(C,A)，d＝|x0＋eq \f(C,A)|＝eq \f(|Ax0＋C|,|A|)，适合公式．梳理 点到直线的距离(1)定义：点到直线的垂线段的长度．(2)图示：(3)公式：d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).知识点二 两条平行直线间的距离思考 直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？答案 点A、B、C到直线l2的距离分别为eq \r(2)、eq \r(2)、eq \r(2).规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．梳理 两条平行直线间的距离(1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长．(2)图示：(3)求法：转化为点到直线的距离．(4)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).类型一 点到直线的距离例1 (1)求点P(2，－3)到下列直线的距离．①y＝eq \f(4,3)x＋eq \f(1,3)；②3y＝4；③x＝3.解 ①y＝eq \f(4,3)x＋eq \f(1,3)可化为4x－3y＋1＝0，点P(2，－3)到该直线的距离为eq \f(|4×2－3×－3＋1|,\r(42＋－32))＝eq \f(18,5)；②3y＝4可化为3y－4＝0，由点到直线的距离公式得eq \f(|－3×3－4|,\r(02＋32))＝eq \f(13,3)；③x＝3可化为x－3＝0，由点到直线的距离公式得eq \f(|2－3|,1)＝1.(2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程．解 方法一 当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，恰好与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等，故x＝－1满足题意，当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时，设l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由点A(2,3)与B(－4,5)到直线l的距离相等，得eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，解得k＝－eq \f(1,3)，此时l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.综上所述直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.方法二 由题意得l∥AB或l过AB的中点，当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为kl，则kAB＝kl＝eq \f(5－3,－4－2)＝－eq \f(1,3)，此时直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB的中点(－1,4)时，直线l的方程为x＝－1.综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.反思与感悟 (1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题：①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．(2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意．跟踪训练1 (1)若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________________．(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为______．答案 (1)[eq \f(1,3)，eq \f(31,3)] (2)2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0解析 (1)由题意知eq \f(|4×4－3a|,\r(42＋－32))≤3，解得eq \f(1,3)≤a≤eq \f(31,3)，故a的取值范围为[eq \f(1,3)，eq \f(31,3)]．(2)过点P(3,4)且斜率不存在时的直线x＝3与A、B两点的距离不相等，故可设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知得eq \f(|－2k－2＋4－3k|,\r(1＋k2))＝eq \f(|4k＋2＋4－3k|,\r(1＋k2))，∴k＝2或k＝－eq \f(2,3)，∴所求直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.类型二 两平行线间的距离例2 (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为_________．(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________________．答案 (1)eq \f(\r(10),4) (2)2x－y＋1＝0解析 (1)由题意，得eq \f(6,3)＝eq \f(m,1)，∴m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，由两平行线间距离公式，得eq \f(|－1＋6|,\r(62＋22))＝eq \f(5,\r(40))＝eq \f(\r(10),4).(2)设直线l的方程为2x－y＋c＝0，由题意，得eq \f(|3－c|,\r(22＋12))＝eq \f(|c＋1|,\r(22＋12))，解得c＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.反思与感悟 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝eq \f(|b1－b2|,\r(k2＋1))；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．跟踪训练2 (1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程；(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2的距离为5，求两直线方程．解 (1)方法一 设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，eq \f(1,2))，则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为eq \f(|－12×\f(1,2)＋C|,\r(52＋－122))＝eq \f(|C－6|,13)，由题意，得eq \f(|C－6|,13)＝2，所以C＝32或C＝－20，故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.方法二 设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，由两平行直线间的距离公式得2＝eq \f(|C－6|,\r(52＋－122))，解得C＝32或C＝－20，故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.(2)依题意，两直线的斜率都存在，设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.因为l1与l2的距离为5，所以eq \f(|－k－5|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝0或eq \f(5,12).所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.类型三 利用距离公式求最值eq \x(命题角度1 由点到直线的距离求最值)例3 已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则eq \r(x2＋y2－2y＋1)的最小值为________．答案 eq \f(7,10)解析 ∵eq \r(x2＋y2－2y＋1)＝eq \r(x－02＋y－12)，∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离，即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离，∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，即|MN|min＝d＝eq \f(|8－1|,\r(62＋82))＝eq \f(7,10).反思与感悟 解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．跟踪训练3 (1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时P点的坐标；(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程．解 (1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，∴OP所在直线方程为y＝x，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.))∴P点坐标为(2,2)．(2)由题意知过P点且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，∵kOP＝2，∴所求直线方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.eq \x(命题角度2 有关两平行线间距离的最值)例4 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.(1)求d的取值范围；(2)求d取最大值时，两条直线的方程．解 (1)设经过A点和B点的直线分别为l1、l2，显然当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(l1⊥AB，,l2⊥AB))时，l1和l2的距离最大，且最大值为|AB|＝eq \r(－3－62＋－1－22)＝3eq \r(10)，∴d的取值范围为(0,3eq \r(10)]．(2)由(1)知dmax＝3eq \r(10)，此时k＝－3，两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0.反思与感悟 两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值．跟踪训练4 已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为( )A．3 B.eq \r(3) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(3,2)答案 D解析 两平行线间的距离就是|PQ|的最小值，3x＋4y－5＝0可化为6x＋8y－10＝0，则|PQ|＝eq \f(|5－－10|,\r(62＋82))＝eq \f(3,2).1．已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( )A．1 B．－1 C.eq \r(2) D．±eq \r(2)答案 D解析 由题意知eq \f(|a－1＋1|,\r(12＋12))＝1，即|a|＝eq \r(2)，∴a＝±eq \r(2).2．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2eq \r(5)，则c的值为( )A．9 B．11或－9C．－11 D．9或－11答案 B解析 两平行线间的距离为d＝eq \f(|－1－－c|,\r(12＋－22))＝2eq \r(5)，解得c＝－9或11.3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是( )A.eq \r(10) B.eq \f(3\r(5),5)C.eq \r(6) D．3eq \r(5)答案 B解析 点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为eq \f(|2＋2－1|,\r(22＋12))＝eq \f(3\r(5),5).4．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________.答案 10解析 由两直线平行知，a＝8，d＝eq \f(|15－5|,5)＝2，∴a＋d＝10.5．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________________．答案 (5，－3)解析 由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则|MP|为最小，直线MP的方程为y－1＝－eq \f(4,3)(x－2)，解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－4y－27＝0，,y－1＝－\f(4,3)x－2，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－3))∴所求点的坐标为(5，－3)．1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰．3．已知两平行直线，其距离可利用公式d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．课时作业一、选择题1．点(1，－1)到直线y＝1的距离是( )A.eq \r(2) B.eq \f(\r(2),2)C．3 D．2答案 D解析 d＝eq \f(|－1－1|,\r(1＋0))＝2，故选D.2．两平行线3x－4y－7＝0和6x－8y＋3＝0之间的距离为( )A.eq \f(4,5) B．2C.eq \f(17,10) D.eq \f(17,5)答案 C解析 3x－4y－7＝0可化为6x－8y－14＝0，由两平行线间的距离公式可得eq \f(|3＋14|,\r(62＋82))＝eq \f(17,10).3．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于( )A.eq \f(7,9) B．－eq \f(1,3)C．－eq \f(7,9)或－eq \f(1,3) D．－eq \f(7,9)或eq \f(1,3)答案 C解析 由点到直线的距离公式可得eq \f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋1))，化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，解得实数a＝－eq \f(7,9)或－eq \f(1,3).故选C.4．到直线2x＋y＋1＝0的距离等于eq \f(\r(5),5)的直线方程为( )A．2x＋y＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0答案 D解析 根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，因为两直线间的距离等于eq \f(\r(5),5)，所以d＝eq \f(|c－1|,\r(22＋12))＝eq \f(\r(5),5)，解得c＝0或c＝2，故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.5．点P(2,3)到直线：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d为最大时，d与a的值依次为( )A．3，－3 B．5,2C．5,1 D．7,1答案 C解析 直线恒过点A(－3,3)，根据已知条件可知当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1.故选C.6．两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是( )A．0
