高中数学6.4 平面向量的应用第2课时学案设计

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如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这3个量，求出AB的长吗？
知识点 正弦定理
在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC，那么这个比值有什么特殊的含义吗？
[提示] 如图所示，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B，所以在△AB′C中，bsinB'＝bsinB＝c，c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径，所以对任意△ABC，均有asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝( )
A．33 B．63 C．22 D．32
A [由asinA＝bsinB，得1532＝10sinB，解得sin B＝33．故选A．]
2．已知△ABC外接圆半径是2，A＝60°，则BC的长为________．
23 [因为BCsinA＝2R，所以BC＝2Rsin A＝4sin 60°＝23．]
类型1 已知两角及一边解三角形
【例1】 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．
[解] 因为B＝30°，C＝105°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°．
由正弦定理，得asin45°＝4sin30°＝csin105°，解得a＝4sin45°sin30°＝42，c＝4sin105°sin30°＝2(6+2)．
已知两角及一边解三角形的思路
(1)若所给边是已知角的对边，可先由正弦定理求另一边，再由三角形的内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．
(2)若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
[跟进训练]
1．已知△ABC中，c＝4，∠A＝45°，∠B＝60°，求a，b．
[解] 由题意可得∠C＝180°－45°－60°＝75°．
由正弦定理得a＝csinAsinC＝4sin45°sin75°．
又sin 75°＝6+24，
于是a＝4sin45°sin75°＝43－4．
同理可得b＝csinBsinC＝4sin60°sin75°＝62－26．
类型2 已知两边和其中一边的对角解三角形
【例2】 (源自湘教版教材)在△ABC中，分别求下列条件下的∠C和c．
(1)a＝5，b＝53，∠A＝30°；
(2)a＝5，b＝522，∠A＝45°．
[解] (1)由正弦定理得53sinB＝5sin30°，
即sin B＝32，
所以∠B＝60°或∠B＝120°．
当∠B＝60°时，∠C＝90°，
所以c＝sin 90°·5sin30°＝10．
当∠B＝120°时，∠C＝30°，
所以c＝a＝5．
(2)由正弦定理得sin B＝522·sin45°5＝12，
所以∠B＝30°或∠B＝150°．
又∠A＝45°，a＞b，
所以∠B＜45°．
由此得到∠B＝30°，∠C＝105°．
因此c＝sin 105°·5sin45°＝sin 75°·5sin45°＝53+52．
已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤
(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角．
(2)用三角形内角和定理求出第三个角．
(3)根据正弦定理求出第三条边．
其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值．
[跟进训练]
2．已知B＝30°，b＝2，c＝2，求A，C，a．
[解] 由正弦定理得sin C＝c·sinBb＝2sin30°2＝22，
∵c>b，0°A，且0°