10.1.1有限样本空间与随机事件-2024-2025学年高中数学新版同步课件（人教A版必修二）

第十章 10.1　随机事件与概率10.1.1　有限样本空间与随机事件课标要求结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.(1)抛掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况；(2)抛掷一枚骰子，观察出现点数的情况；(3)买一注福利彩票，观察中奖、不中奖的情况.引入这类现象的共性是：就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性，这类现象叫做随机现象.概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.概率是对随机事件发生可能性大小的度量.课时精练一、有限样本空间二、随机事件、必然事件、不可能事件三、随机事件的表示及含义课堂达标内容索引有限样本空间一探究1 做一个试验：一个盒子中有4个质地和大小完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从中任取一个小球.(1)可能的结果有哪些？(2)这些结果可否用一个集合来表示？提示　(1)可能的结果有4个，分别是取出1号小球，取出2号小球，取出3号小球，取出4号小球.(2)可以用集合{1，2，3，4}表示.1.随机试验(1)随机试验：我们把对__________的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示.(2)随机试验的特点：①试验可以在相同条件下______进行；②试验的所有可能结果是______可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先__________出现哪一个结果.知识梳理随机现象重复明确不能确定2.样本空间基本结果ω样本点Ω{ω1，ω2，…，ωn}例1两次掷出的点数列表如下：(1)(链接教材P229例2)将一枚骰子先后抛掷两次，观察它落地时朝上的面的点数，试写出这个试验的样本空间；所以其样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，也可写成Ω＝{(m，n)|1≤m≤6，1≤n≤6，m，n∈N*}.画树状图如图所示.(2)(链接教材P229例3)连续抛掷3枚硬币，观察落地时这3枚硬币朝上的面的情况，试写出这个试验的样本空间.因此这个试验的样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}.不重不漏地列举试验的所有样本点的方法(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件.(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可借助画树状图、列表等，确保样本点不重、不漏.袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和样本空间.(1)从中任取1球；(2)从中任取2球.训练1(1)条件为：从袋中任取1球.若“红”表示一次试验中，取出的是红球，则样本空间为{红，白，黄，黑}.(2)条件为：从袋中任取2球.若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，则样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}.随机事件、必然事件、不可能事件二探究2 盒子中有6个质地和大小完全相同的小球，分别标有1，2，3，4，5，6，从中任取一个小球，得到样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}.(1)事件A＝{2}一定发生吗？(2)事件A＝“取出小球的标号小于或等于6”一定发生吗？(3)事件A＝{7}会发生吗？提示　(1)不一定，可能发生也可能不发生.(2)一定发生.(3)不会.知识梳理三种事件的定义一个子集必然不可能温馨提示温馨提示　(1)必然事件和不可能事件可作为随机事件的极端情形.(2)每个事件都是样本空间Ω的子集.例2指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的内角和为180°；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(1)某人购买福利彩票一注，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件.(2)所有三角形的内角和都为180°，所以是必然事件.(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件.(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现.(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件.(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任意一张，所以是随机事件.(6)由能量守恒定律可知，不需要任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件.对事件分类的两个关键点(1)下列事件：①任取一个整数，被2整除；②小明同学在某次数学(满分150分)测试中成绩一定不低于120分；③甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲一定获胜；④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍.其中随机事件的个数是训练2√①②③均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，④是一定发生的事件，为必然事件.A.1 B.3 C.0 D.4(2)①一批小麦种子全部发芽是________事件；②某人投篮3次，投中4次是________事件.随机不可能随机事件的表示及含义三例3(链接教材P230例4)试验E：甲、乙两人玩出拳游戏(石头、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况.设石头为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，则样本空间E＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}.(2)用样本点表示下列事件：①设事件A表示随机事件“甲乙平局”；②设事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；③设事件C表示随机事件“乙不输”.①因为事件A表示随机事件“甲乙平局”，则满足要求的样本点共有3个：(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，所以事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}.②事件B表示“甲赢得游戏”，则满足要求的样本点共有3个：(w1，w2)(w2，w3)，(w3，w1)，所以事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}.③因为事件C表示“乙不输”，则满足要求的样本点共有6个，(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)，∴事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}.事件与样本空间的两种题型及求解策略(1)随机事件的表示：先列出所有的样本点，再确定要求的随机事件包含哪些样本点，把这些样本点作为元素表示成集合即可.(2)说明随机事件的含义：要先理解事件中样本点的意义，观察它们的规律，进而确定随机事件的含义.训练3在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义.(1)事件A＝{(1，3)，(2，3)，(3，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)}；(2)事件B＝{(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)}；(3)事件C＝{(1，3)，(3，1)，(4，2)，(2，4)，(3，5)，(5，3)，(4，6)，(6，4)}.(1)事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3.(2)事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.(3)事件C中所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2.【课堂达标】1.以下事件不是随机事件的是A.抛掷一枚硬币，出现反面B.某人买彩票中奖C.标准大气压下，水加热到100 ℃必会沸腾D.明天下雨√A，B，D都是随机事件，C是必然事件.2.已知集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，从A，B中各任取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为A.8 B.9 C.12 D.11从A，B中各任意取一个数，可构成12，21，22，24，42，13，31，23，32，34，43，共11个样本点.√3.(多选)掷两枚骰子，事件A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}表示A.至少有一枚骰子出现1点B.两枚骰子出现的最大点数为2C.最多有两枚骰子出现2点D.两枚骰子只出现1点或2点√由于事件A中样本点的数字均为1或2，故选BD.√4.从数字1，2，3中任取两个数，则该试验的样本空间Ω＝________________________.{(1，2)，(1，3)，(2，3)}从1，2，3中任取两个数，共有3种结果(1，2)，(1，3)，(2，3)，所以Ω＝{(1，2)，(1，3)，(2，3)}.【课时精练】1.下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②走到十字路口，遇到红灯；③异性电荷相互吸引；④抛一石块，下落.其中是随机事件的个数是A.1 B.2 C.3 D.4①②是随机事件，③④是必然事件.√2.(多选)从2，3，8，9中任取两个不同数字，分别记为a，b，用(a，b)表示该试验的样本点，则事件“logab为整数”包含的样本点有只有log28＝3，log39＝2为整数.A.{(2，8)} B.{(3，9)} C.{(2，9)} D.{(3，8)}√√3.一个家庭有两个小孩，记录两个小孩的性别，则该随机事件的样本空间Ω是A.{(男，女)，(男，男)，(女，女)}B.{(男，女)，(女，男)}C.{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}D.{(男，男)，(女，女)}两个小孩有年龄大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的样本点，样本空间Ω应有4个样本点.√4.投掷两枚骰子，所得向上点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是A.一枚是3点，一枚是1点B.一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点C.两枚都是4点D.两枚都是2点投掷两枚骰子，所得向上点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是“一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点”.故选B.√5.先后抛掷2枚质地均匀的一角、五角的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件中包含3个样本点的是“至少一枚硬币正面向上”包括“一角硬币正面向上，五角硬币正面向上”“一角硬币正面向上，五角硬币正面向下”“一角硬币正面向下，五角硬币正面向上”，共3个样本点.A.“至少一枚硬币正面向上”B.“只有一枚硬币正面向上”C.“两枚硬币都是正面向上”D.“两枚硬币中一枚正面向上，另一枚反面向上”√6.现有一项关于运动与降低血压之间关联性的试验研究，试验将志愿者分为人数相等且为偶数的两组，第一组每天静坐1小时，第二组每天快走1小时，每组一半人服用降压药，另一半服用安慰剂.用a，b，c和d分别表示静坐的、快走的、服用降压药的和服用安慰剂的志愿者.若从这些人中随机抽取1人，则该试验的样本空间为__________________.由题意可知，该试验的样本空间为{ac，ad，bc，bd}.{ac，ad，bc，bd}7.笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω＝________________.最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，{0，2，4，6，8}所以剩余动物的脚数可能是8，6，4，2，0.48.连续抛掷一枚硬币3次，观察正面、反面朝上的情况.事件A＝“正面朝上的次数不超过反面朝上的次数”中含有________个样本点.用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则A＝{(0，0，0)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}，即事件A含有4个样本点.9.先后两次掷一枚均匀的骰子，观察朝上面的点数.(1)写出对应的样本空间；(2)用集合表示事件A：点数之和为3，事件B：点数之和不超过4.(1)用(1，2)表示第一次掷出1点，第二次掷出2点，其他的样本点用类似的方法表示，则可知所有样本点均可表示成(i，j)的形式，其中i，j都是1，2，3，4，5，6中的数.因此，样本空间Ω＝{(i，j)|1≤i≤6，1≤j≤6，i∈N，j∈N}.(2)A＝{(1，2)，(2，1)}，B＝{(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，2)，(2，1)，(1，1)}.10.现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏，观察其出拳情况.(1)写出该试验的样本空间；(2)“三人出拳相同”包含的样本点有哪些？以J，S，B表示三人游戏中出剪刀、出石头、出布.(1)Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S，)，(B，B，S)(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}.(2)“三人出拳相同”包含下列三个样本点：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B).11.从1，2，3，4这4个数中 ，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点个数为A.2 B.3 C.4 D.5任取2个数：(1)不取4，应为2＋3＞4.(2)取4时，1＋4＞4，2＋4＞4，3＋4＞4.综上，共包含4个样本点.√12.在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”；②“在这200件产品中任意选9件，全部是二级品”；③“在这200件产品中任意选9件，不全是一级品”.其中________是随机事件；________是不可能事件(填上事件的编号).由于二级品只有8件，故9件产品不可能全为二级品，所以②是不可能事件，显然①，③是随机事件.①③②13.从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次.(1)写出这个试验的样本空间；(2)设A为“取出的两件产品中恰有一件次品”，写出集合A；(3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余条件不变，请继续回答上述两个问题.(1)样本空间为Ω1＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}.(2)A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}.(3)若改为取出后放回，则样本空间为Ω2＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}.14.汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.如图所示，三个汉字可以看成轴对称图形.小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)，则小敏获胜，否则小慧获胜.(1)写出该试验的样本空间Ω；(2)设小敏获胜为事件A，试用样本点表示A.(1)每次游戏时，所有可能出现的结果如下表所示：∴Ω＝{(土，土)，(土，口)，(土，木)，(口，土)，(口，口)，(口，木)，(木，土)，(木，口)，(木，木)}.(2)能组成上下结构的汉字的样本点为(土，土)，(口，口)，(木，口)，(口，木)，∴A＝{(土，土)，(口，口)，(木，口)，(口，木)}. 本课结束