8.5.3平面与平面平行-2024-2025学年高中数学新版同步课件（人教A版必修二）

第八章 立体几何初步 8.5　空间直线、平面的平行8.5.3　平面与平面平行课标要求1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理，平面与平面平行的性质定理，并加以证明. 2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行，能利用性质定理解决一些简单的空间线面位置关系.在日常生活中，经常需要判断两个平面是否平行，比如建造一栋楼房，建筑工人必须判断每一层的楼板是否与水平面平行；装修房间的地板时，装修工人也要判断地板所在平面是否与水平面平行.那么如何才能判断两个平面是否平行呢？引入课时精练一、平面与平面平行的判定定理二、平面与平面平行的性质定理三、平行问题的综合应用课堂达标内容索引平面与平面平行的判定定理一探究1 数学实验1：如图①，a和b分别是数学课本的两条对边所在直线，它们都与桌面平行(转动一下课本，仍可保持a，b都与桌面平行)，直观感受一下，课本与桌面平行吗？图①提示　不一定平行.探究2 数学实验2：如图②，c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都与桌面平行，直观感受一下，三角尺与桌面平行吗？图②提示　平行.探究3 对于数学实验2中的三角尺，把它转动一下，能否使c，d都与桌面平行，但三角尺不与桌面平行呢？ 提示　不能.探究4 上述实验中的a，b有什么样的位置关系？c，d有什么样的位置关系？两个实验说明了什么问题？ 提示　a与b平行，c与d相交.通过实验说明：(1)如果一个平面内有两条平行直线与另一个面平行，这两个平面不一定平行；(2)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.平面与平面平行的判定定理知识梳理两条相交直线温馨提示(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的条件.(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把线面平行转化为面面平行.(链接教材P140例4)已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点.求证：平面MDB1∥平面ANC.例1如图所示， 连接MN.因为M，N分别是所在棱的中点，所以四边形AMB1N和四边形MNCD都是平行四边形，所以MB1∥AN，CN∥MD.又MB1⊂平面MDB1，AN⊄平面MDB1，所以AN∥平面MDB1，同理可证CN∥平面MDB1，又因为AN∩CN＝N，AN，CN⊂平面ANC，所以平面MDB1∥平面ANC.1.证明两个平面平行的主要方法：(1)根据定义证明两平面没有公共点(采用反证法)；(2)判定定理；(3)利用平行平面的传递性.2.利用面面平行的判定定理，关键是在一个平面内找(或作出)两条相交直线与另一个平面平行，在证明时一定要说明两条直线相交.训练1如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点.证明：平面BDGH∥平面AEF.在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.平面与平面平行的性质定理二探究5 平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β. (1)直线a与平面β的位置关系如何？ 提示　平行. (2)直线a与直线b的位置关系如何？ 提示　平行或异面. (3)在什么条件下可使a∥b? 提示　当a与b不异面，即a与b在同一平面内时，a与b平行.知识梳理两个平面平行的性质定理平行a∥b温馨提示平面与平面平行的性质定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行.例2(链接教材P142例5)如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM. 因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.利用平面与平面平行的性质定理判断两直线平行的基本步骤如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F. 训练2(1)求证：四边形BFD1E为平行四边形；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1，由面面平行的性质定理知BE∥FD1，同理BF∥D1E，所以四边形BFD1E为平行四边形.由(1)知，四边形BFD1E为平行四边形，(2)试确定点F的位置.所以FB＝ED1，因为CB＝A1D1，∠BCF＝∠D1A1E＝90°，所以△BCF≌△D1A1E，所以CF＝EA1，因为E是AA1的中点，所以F是CC1的中点.平行问题的综合应用三例3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，求证：(1)MN∥平面CC1D1D；连接AC，CD1(图略)，因为ABCD是正方形，N是BD的中点，所以N是AC的中点，又因为M是AD1的中点，所以MN∥CD1，因为MN⊄平面CC1D1D，CD1⊂平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.(2)平面MNP∥平面CC1D1D.连接BC1，C1D(图略)，因为B1BCC1是正方形，P是B1C的中点，所以P是BC1的中点，又因为N是BD的中点，所以PN∥C1D，因为PN⊄平面CC1D1D，C1D⊂平面CC1D1D，所以PN∥平面CC1D1D，由(1)得MN∥平面CC1D1D，且MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面MNP，所以平面MNP∥平面CC1D1D.1.常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立存在的，而是相互联系、相互转化的，它们的联系如下：2.判定是用低一级的平行关系证明高一级的平行关系；性质是由高一级的平行关系推出低一级的平行关系.训练3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.如图，过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，∴FG∥B1C1∥BC，易得EG∥平面ABCD，FG∥平面ABCD.又∵EG∩FG＝G，EG，FG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面ABCD，又∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD.【课堂达标】√1.已知在长方体ABCD－A′B′C′D′中，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是由面面平行的性质定理易得EF∥E′F′.A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定2.平面α与平面β平行的充分条件可以是A.平面α内有一条直线与平面β平行B.平面α内有两条直线分别与平面β平行C.平面α内有无数条直线分别与平面β平行D.平面α内有两条相交直线分别与平面β平行对A，若平面α内有一条直线与平面β平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故A错误；√对B，若平面α内有两条平行直线分别与平面β平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故B错误；对C，若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，若这无数条直线互相平行，则平面α与平面β可能平行或相交，故C错误；对D，若平面α内有两条相交直线分别与平面β平行，则根据平面与平面平行的判定定理可得平面α与平面β平行，故D正确.3.(多选)已知直线a，两个不重合的平面α，β.若α∥β，a⊂α，则下列四个结论中正确的有 A.a与β内的所有直线平行 B.a与β内的无数条直线平行 C.a与β内任何一条直线都不平行 D.a与β没有公共点√∵α∥β，a⊂α，过a作平面γ与平面β相交，则a与交线平行.√在β内与交线平行的直线都与a平行，故有无数条，故B正确；由线面平行的定义知D正确.4.如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________.在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.平行又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，因此DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.【课时精练】√1.(多选)下列说法正确的是A.一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行B.一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行C.平行于同一个平面的两平面平行D.夹在两个平行平面间的平行线段相等A中，直线还可以在平面内，A错误；B中，由面面平行的判定定理可知B正确；C，D显然正确.√√√2.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.有且只有一条与a平行的直线由于α∥β，a⊂α，M∈β，过点M有且只有一条直线与a平行，故D项正确.√在平面A1B1C1D1中，A.平行 B.相交 C.垂直 D.以上都有可能由B1C1∥A1D1，知EF∥B1C1.又因为EH∥B1B，EH，EF⊂平面EFH，BB1，B1C1⊂平面BB1C1C，EH∩EF＝E，BB1∩B1C1＝B1，所以平面EFH∥平面BB1C1C.√4.在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是A.平面E1FG1与平面EGH1 B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1E与平面FHE1 D.平面E1HG1与平面EH1G对于A，∵E1G1∥EG，EH1∥FG1，E1G1∩FG1＝G1，EG∩EH1＝E，∴根据面面平行的判定定理得：平面E1FG1与平面EGH1彼此平行，故A正确；对于B，∵HG1与H1G相交，∴平面FHG1与平面F1H1G相交，故B错误；对于C，∵HE1与H1E相交，∴平面F1H1E与平面FHE1相交，故C错误；对于D，∵HG1与H1G相交，∴平面E1HG1与平面EH1G相交，故D错误.√5.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，则两个平行平面内以交点为顶点的两个三角形是由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，A.相似但不全等的三角形 B.全等三角形C.面积相等的不全等三角形 D.以上结论都不对则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′.同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.6.已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________.法一　过a作平面γ，使γ∩β＝a′，因为a∥β，所以a∥a′，平行下面证明直线a′与b相交，假设a′∥b，由a∥a′，可得a∥b，与已知a与b是异面矛盾，所以直线a′与b相交，又b∥α，所以平面β上有两条相交直线b和a′都与平面α平行，所以α∥β.法二　假设平面α与β不平行，则α∩β＝c，∵a⊂平面α，a∥β，∴a∥c，∵b⊂平面β，b∥α，∴b∥c，∴a∥b，这与a和b是异面直线相矛盾，故α∥β.7.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是______________.∵平面ABCD∥平面α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，平行四边形∴AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，又A1B1∥C1D1，∴AB∥CD，同理可证AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.由平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点，9.如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点.求证：平面 MNQ∥平面PBC.因为棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点，所以N是AC的中点，所以MN∥PC，又因为PC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC.因为M，Q分别是PA，PD的中点，所以MQ∥AD∥BC，又因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC，因为MQ，MN⊂平面MNQ，且MQ∩MN＝M，所以平面MNQ∥平面PBC.10.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.又BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D.又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.√11.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，A.2∶25 B.4∶25 C.2∶5 D.4∶5同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，12.在三棱台A1B1C1－ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是三角形A1B1C1内(含边界)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是√如图，过点D作DE∥A1C1交B1C1于点E，连接BE.A.三角形A1B1C1边界的一部分 B.一个点C.线段的一部分 D.圆的一部分因为BD∥AA1，BD⊄平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1C1C，所以BD∥平面AA1C1C.同理可得DE∥平面AA1C1C，又BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面AA1C1C，所以M∈DE(M不与D重合，否则没有平面BDM).13.如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是EC，BD的中点.连接AE，(1)求证：GF∥平面ABC.∵四边形ABED是正方形，F是BD的中点，∴F是AE的中点.又∵G是EC的中点，∴GF∥AC，且GF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC.(2)在线段CD上是否存在一点P，使得平面GFP∥平面ABC？并说明理由.存在，且点P为CD的中点.理由如下：如图，取CD的中点P，连接GP，FP.∵F，P分别为BD，CD的中点，∴FP为△BCD的中位线，∴FP∥BC，又BC⊂平面ABC，FP⊄平面ABC，∴FP∥平面ABC.又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F，∴平面GFP∥平面ABC.如图，设N为A1B1的中点，连接MN，AN，AC，CM，则四边形MNAC为所求的平面图形.因为M，N，E，F均为所在棱的中点，所以MN∥EF，又EF⊂平面DEF，MN⊄平面DEF，所以MN∥平面DEF，又AN∥DE，AN⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以AN∥平面DEF，6过点M作MP⊥AC于点P，本课结束