人教版数学八上同步单元讲练测第15单元01讲（2份，原卷版+解析版）

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第十五单元 分式考点1 分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个 式，并且B中含有 ，那么式子叫做分式．其中A叫做分子，B叫做分母．2．分式有（无）意义的条件：对于分式：当_______时分式有意义；当_______时无意义．3．分式值为零条件：当___________时，分式的值为零．考点2 分式的基本性质1．性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的 ，分式的值______．（M为不等于0的整式）2．分式的约分：把分式中的分子和分母的__________约去，叫做分式的约分．分式的约分的步骤：（1）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最 ，并约去相同字母的 次幂；（2）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的 ．3．最简分式：分子和分母没有______的分式叫做最简分式4．分式的通分：根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即_________），把分母不相同的分式变成分母 的分式，这种变形叫分式的通分．5．最简公分母:为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的_______的积作公分母，叫做最简公分母．确定几个分式的最简公分母的方法：（1）当分母为多项式时，先因式分解；（2）系数：各分式分母系数的 ；（3）字母：各分母的所有字母的 次幂；（4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂;（5）写成乘积形式．考点3分式的运算1．分式的乘法法则（1）文字表述：分式乘分式，用_________作为积的分子，_________作为积的分母．（2）字母表述： （3）注意事项①符号优先运算；②分式的运算结果要化为最简分式或整式．③在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式．2．分式的除法法则（1）文字表述：分式除以分式，把除式的分子、分母_________后，与被除式相乘．（2）字母表述： 3．分式的乘方（1）文字表述：分式的乘方，就是把分子分母分别 ；（2）字母表述： ；．4．分式的加减法则：（1）同分母分式的加减法法则：同分母的两个分式相加（减），分母____，把分子相______．字母表达： （2）异分母分式加减法法则：异分母的两个分式相加（减），先_____，化为同分母的分式，再相加（减）．字母表述： （3）方法总结分式的加减解题策略：①一个分式与一个整式相加减时，可以把整式看做是分母为1的分式，整式前面是负号时，要加括号，进行通分；②分母是多项式时，先因式分解找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减．③结果一定要化成最简分式或整式．5．分式的混合运算进行分式的混合运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式．6．分式化简求值的方法（1）先把所给式子化简成最简分式或整式的形式，再将字母的值代入化简后的式子；（2）若题目中给出自主取数值代入求值时，要注意所选取的数值一定要使原分式有意义，即所取数值要使所给式子的分母及除数________0．考点4 整数指数幂1．零指数（1）文字表述：任何 的数的零次幂都等于 ；（2）字母表述： ；2．负整数指数（1）文字表述：任何 的数的负整指数幂等于这个数的 的倒数；（2）字母表述： ；3．用科学记数法表示一些绝对值较小的数利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成 的形式，其中是正整数，．等于原数 数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面这个零）考点5 分式方程 1．分母中含有________的方程叫做分式方程．2．增根：使原分式方程分母为 的根，就是分式方程的增根；增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根．3．解分式方程的一般步骤：（1）去分母：在方程的两边都乘以___________，化成整式方程；（2）解这个整式方程：去括号、移项、合并同类项；（3）检验：把解得的根代入______________，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解．4．分式方程无解与分式方程有增根：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．考点6 分式方程的应用分式方程解决实际问题的一般步骤为：第一步，审清题意；第二步，根据题意设未知数；第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程；第四步，解方程，并验根，还要看方程的解______________；第五步，作答．分式的概念【例题】1. 下列式子：a，，，，，，其中是分式的共有（　　）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 若分式无意义，则x满足的条件是（　　）A. B. C. 或 D. 3. 在的值为零，则的取值是（       ）A. 7 B. C. D. 04. 若分式有意义，则的取值范围是_______5. 已知分式的值是整数，求整数的值；【练经典】6. 下列式子：，，，，其中分式的共有（　　）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个7. 若分式无意义，则x满足的条件是（　　）A. B. C. D. 8. 在的值为零，则的取值是（       ）A. 6 B. C. D. 09. 若分式有意义，则的取值范围是_______10. 若时分式无意义，时，分式的值为零，求分式的值．【练易错】易错点：求分式值为零的条件时忽略分母不为零的条件导致错误11. 若分式的值为零，则x的值为___________．分式的基本性质的运用策略【例题】12. 下列式子从左到右变形正确是（    ）A. B. C. D. 13. 把分式中的和变为原来的，分式的值（    ）A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 是原来的 D. 不变14. 下面的约分，正确的是（ ）A. B. C. D. 15. ，，的最简公分母是______．16. 已知，求的值．练经典】17. 下列式子从左到右变形正确的是（ ）A. B. C. D. 18. 把分式中的和变为原来的，分式的值（    ）A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 是原来的 D. 不变19. 下列分式、、、、，其中最简分式的个数是 （ ）A. B. C. D. 20. 已知，求的值分式的运算【例题】21. 生活中有这么一个现象：“糖水加糖就更甜”，设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯榶水里再加入克糖(仍不饱和)，，，则糖水更甜了．根据这一现象，下列不等式正确的是( )A. B. C. D. 22. 计算：（1）1；（2）．23. 先化简，再从0、、2、中取一个数代入求值【练经典】24. 下列计算正确的是（　　）A. B. C. D. 25. 计算：（1）；（2）．26. 先化简，再求值：，其中x，y是方程组的解﹒整数指数幂【例题】27. 水是地球表面上最多的分子，是无色、无味，透明的液体．一个水分子由两个氢原子和一个氧原子构成．水分子的直径是米，也就是纳米．数据用科学记数法表示为（    ）A. B. C. D. 28. 下列运算正确的是（　　）A. B. C. D. 29. 计算：．【练经典】30. 一种花瓣的花粉颗粒直径用科学记数法表示为，这个数用小数表示为（ ）A. B. C. D. 31. 下列运算正确的是（　　）A. B. C. D. 32. 计算：．分式方程【例题】33. “五一”期间，一批初二同学包租一艘游船前去七仙湖游玩，游船的租金为300元，出发时，又增加了4名同学，租金增加到350元，但每个同学比原来少分摊了15元费用，若设实际参加游玩的同学一共有人，由题意可列方程为（ ）A. B. C. D. 34. 如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积是（ ）A. 9 B. 3 C. 0 D. 35. 若关于分式方程有增根，则的值为____________；36. 解下列方程：（1）；（2）．37. 喜迎熊猫丫丫回国，重庆一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务．（1）求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数；（2）由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶1000个．该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数．【练经典】38. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ）A. B. C. D. 39. 若关于x的分式方程无解，则m的值为___________；40. 若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值的和是______．41. 解分式方程：（1）（2）42. 某学校为丰富大课间的体育活动，决定购买甲、乙两种型号的篮球．购买时发现，甲种篮球的单价比乙种篮球单价多元，且用元购买甲种篮球的个数与元购买乙种篮球的个数相同．（1）求甲、乙两种篮球的单价各是多少元？（2）学校准备购买甲、乙两种篮球共个，且购买的总费用不超过元，求最多可以购买多少个甲种篮球【练易错】易错点：混淆分式方程无解和有增根导致错误43. 已知关于x分式方程 无解，则a的值为 ___________．新考法【新定义小练】44. 我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“实中式”，B＝，A﹣B＝﹣＝＝，则A是B的“实中式”，A关于B的“实中值”为4.已知分式C＝，D＝，判断C是否为D的“实中式”，若是，求出“实中值”；若不是，请说明理由．45. 对于两个实数x，y，我们定义：，有下列说法：①；②；③若，则．其中说法正确的有（　　）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个46. 我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如为十字分式方程，可化为，∴，．再如为十字分式方程，可化为．∴，．应用上面的结论解答下列问题：（1）若为十字分式方程，则______，______．（2）若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．（3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值．【阅读材料类小练】47. 《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想阀门发现新问题、结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．例如：，求证：证明：左边：波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征：阅读材料二基本不等式（，），当且仅当时等号成立时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下的，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？解：∵，，∴，即，当且仅当，即时，有，最小值为2，请根据阅读材料解答下列问题：（1）已知，求下列各式的值：①____________②____________（2）若，求的值；（3）已知长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值；（4）若正数a、b满足，求的最小值．48. 根据以下素材，探索完成任务分式的特征分式有意义的条件分式值为零的条件分式值为正的条件分式值为负的条件分式值为整数的条件是整式中含有字母如果为整数，则是的倍数，是的因数；类型策略示例判断分式变形是否正确主要判断乘除整式是否为零是错的，差条件判断符号变形是否正确分子、分母、分数线，改变两个位置的“-”号，值不变调整分子、分母最高项的系数的符号分子或分母的“-”号直接放到分数线上，分子、分母可以同时消掉 “-”号使分子、分母所有项的系数为整数分子和分母同时乘以所有项系数的最简公分母求字母的值扩大（或缩小）后分式的值的变化把扩大（或综小）的表达式代入化简即可中的都扩大3倍，分式的值为，即扩大了3倍；求分式的值利用分式的基本性质变形后整体代入求值如果，则分式的加减法分式的乘除法分式的乘方正整数指数幂零指数幂负整数指数幂类型解题策略注意事项解分式方程分式方程→整式方程必须验根来排除增根增根问题分母=0得到的根有些方程不会产生增根利用解的条件求参数范围先求方程的根，再建立方程或不等式求解必须考虑增根无解求参数范围一是解全部是增根，二是转化的整式方程就无解考虑要全面列分式方程解应用题找等量关系，建立方程有时需要把总路、工作总量、总利润看作单位“1”设计购买欲兑换方案素材1小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．”素材2小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数．素材3小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同 问题解决任务1：探求两种青团的单价请求出米鸭蛋和咸青团的单价任务2：探究购买方案探究小明妈妈购买两种青团的所有方案任务3确定兑换方式运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式