人教版数学八上同步单元讲练测第13单元03巩固练（2份，原卷版+解析版）

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第十三单元 轴对称（单元测）姓名___________ 班级___________ 学号___________分数___________一、选择题（共30分，每个题3分）1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；选项A能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E．若的周长为，，则的周长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20【答案】C【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】是的垂直平分线，，，的周长为，，，的周长为：，故选C．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．3. 阅读下面材料：已知：，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以为圆心，为半径画弧；步骤2：以为圆心，为半径画弧，两弧交于点；步骤3：连接，交延长线于点．下列叙述正确的是（ ）①垂直平分线段；②平分；③；④．A. ①② B. ①②③ C. ①③ D. ②④【答案】C【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．【详解】解：由作图可知 ，，∴垂直平分线段 ，故①③正确；无法证明平分，故②错误；∵，∴，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．4. 在正方形网格中，网格线的交点成为格点，如图，，分别在格点处，若也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】B【解析】【分析】分两种情况讨论：①为等腰底边；②为等腰其中的一条腰，分别作出图形可得出答案．详解】解：如图：分情况讨论．①为等腰的底边时，符合条件的点C有4个，均分布在线段的垂直平分线上；②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点C有4个,与点A、点B构成等腰直角三角形，即符合条件的点C的个数为8，故选：A． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是根据题意画出符合实际条件的图形，再利用数形结合的思想来求解．5. 如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据长方形的性质和翻折的性质求出和的度数，即可在图2求出的度数，再在图3中求出的度数即可．【详解】解：四边形为长方形，，∴，在图2中，由翻折的性质可知，． 在图3中，再沿折叠，， 故选：D．【点睛】本题考查了翻折的性质，平行线的性质，要充分利用长方形的性质和翻折的性质解题，从翻折变化中找到不变量是解题的关键．6. 如图，点为内一点，点，分别是射线，上一点，当的周长最小时，，则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作关于，的对称点，连接，则当，是与，的交点时，的周长最短，连接、，由轴对称知，是等腰三角形，，，得出结论．【详解】作关于，的对称点，连接，则当，是与，的交点时，的周长最短，连接、， 关于对称，，，， 同理，，，，，是等腰三角形．，，，故选：C【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，两点之间线段最短；添加辅助线，构造轴对称，得到相等线段，相等的角是解题的关键．7. 如图动点从出发，沿如图所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2014次碰到长方形的边时，点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据反弹时反射角等于入射角作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【详解】解：如图，经过6次反弹后点回到出发点，∵，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组第4次碰到矩形的边，∴点P的坐标为．故选：B．【点睛】此题主要考查了点坐标的规律探索，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．8. 如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】连接，，先求出，进而求出，求出，由三角形内角和定理和即可求得答案．【详解】解：如图，连接， ，为的平分线，．又，．是的垂直平分线，，，．为的平分线，，直线垂直平分，，，点C沿折叠后与点O重合，，，；在中，，．故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关知识来分析、判断．9. 如图，在等边中，为中点，点，分别为，上的点，，，在上有一动点，则的最小值为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】A【解析】【分析】作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值．【详解】解：是等边三角形，，，，，，如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值， ，，，，，，是等边三角形，，的最小值为7．故选：A．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．10. 如图，中，，，D是斜边的中点，E是直角边上一动点，连接交于F，过F作交的延长线于点G，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④【答案】B【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得，故①正确；由余角的性质可得，由三角形内角和定理可得，故②正确；先证，可得，再证，可得，故③正确；当点F与点D重合时，点E与点C重合，点G与点A重合，则，故④错误，即可求解．【详解】解：∵，， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 如图，过点F作于Q，于P， ∵D是的中点，， ∴平分，， 又∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故③正确； 当点F与点D重合时，点E与点C重合，点G与点A重合， 则，故④错误， 故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．二、填空题（共15分，每个题3分）11. 光线以如图所示的角度照射到平面镜工上，然后在平面镜，之间来回反射．若，，则等于___________； 【答案】【解析】【分析】利用初中物理的反射角等于入射角以及三角形的内角和进行角度转化以及求解．【详解】解：在平面镜反射处作法线，根据反射定理得： 本题答案：【点睛】本题是一道跨学科知识，主要是数学学科与物理学科的综合，主要考了三角形内角和，利用反射定理得到角等是解题关键．12. 如图，在中，边的垂直平分线交于点E，边的垂直平分线交于点F，两条垂直平分线交于点P，连接，若，则的度数为___________． 【答案】##140度【解析】【分析】利用线段垂直平分线的对称特性与平角的定义来求解．【详解】作出顶点P周围各角的标签～．如下图， ∵点P是边、边垂直平分线的交点，∴．∵，∴．∴，∴．即：．∴．∴．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、邻补角的定义、三角形内角和等知识点，解题的关键是善于把各个角之间的关系进行转化．13. 如图，边长为2a的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是 ___．【答案】##【解析】【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．【详解】解：如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∴∠HBN=∠GBM，∵CH是等边△ABC的对称轴，∴HB=AB，∴HB=BG，又∵MB旋转到BN，∴BM=BN，在△MBG和△NBH中，，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG=NH，根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，此时∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×2a=a，∴MG=CG=，∴线段HN长度的最小值是，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．14. 如图，在中，，，， 为边上的点．如果将沿直线翻折后，点恰好落在边上，那么的边上的高是____．【答案】2【解析】【分析】如图所示，过点M分别作，垂足分别为E、F，设点D是点B的对应点，由折叠的性质可得，则由角平分线的性质可得，再根据等面积法建立方程求出的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点M分别作，垂足分别为E、F，设点D是点B的对应点，由折叠的性质可得，∴是的角平分线，∵，∴，∵在中，，，，，∴，∴，∴，∴的边上的高是2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，折叠的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．15. 如图，在中，，点D是内部一点，，点E是边上一点，若平分，，则的度数为_______． 【答案】【解析】【分析】如图所示，取的中点F，连接，则可证明在的垂直平分线上，得到，证明得到，同理可得，设，则，由三角形外角的性质得到，再根据三角形内角和定理求出答案即可．【详解】解：如图所示，取的中点F，连接，∵，∴在的垂直平分线上，∴三点共线，且，∴，又∵，∴，∴，同理可得，∵平分，∴，设，∴，∵，∴，∴． 故答案为：．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．三、解答题16. 如图，在中，，点E、F在上，连接， 且．已知，试证明． 【答案】证明见解析【解析】【分析】如图所示，取中点G，连接，证明在线段的垂直平分线上，得到，进而证明得到，利用三角形内角和定理求出，再利用三角形外角的性质分别求出的度数即可证明结论．【详解】证明：如图所示，取中点G，连接，∵，∴在线段的垂直平分线上，∴，∴，又∵，∴，∴，在在中，，，∴，∴，∴，又∵，∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等等，证明是解题的关键．17. 如图，在中，点D是边上的一点，将沿折叠得到，与交于点F． （1）若，，求的度数；（2）若，比大，，求的度数．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据折叠的性质得出，然后根据三角形的外角即可得出答案；（2）根据平行线的性质得出，根据折叠的性质得出，进而求出，再根据题意求出，即可得出答案．【小问1详解】解：∵沿折叠得到，∴，∵，，∴；【小问2详解】解：∵，，∴，∵沿折叠得到，∴，∴，∴，∵比大，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形的外角，正确理解题意是解题的关键．18. 如图，在中，，． （1）尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：①作线段段的垂直平分线，分别与交于点D，与交于点E．②过点B作垂直于，垂足为点F．（2）直接写出线段，数量关系．【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）【解析】【分析】（1）①用尺规作图作出的垂直平分线，并按题中给出的交点字母注上即可；②用尺规作图过点作出垂直于，并注明垂足即可；（2）由线段垂直平分线性质和垂直定义可以得出，从而得出线段，的数量关系．【小问1详解】解：①分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点，，连接与交于点，与交于点． ②在与点不同侧取一点，以为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，；分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点；作直线交的延长线于点．【小问2详解】．理由如下：点是的垂直平分线与的交点，，，，，和中，，．【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．19. 如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．（1）若，则的度数是______．（2）连接，若，的周长是．①求的长；②在直线上是否存在点，使由，，构成的的周长值最小？若存在，标出点的位置并证明；若不存在，说明理由．【答案】（1）70° （2）①7cm；②存在，图及证明见解析【解析】【分析】根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；①根据垂直平分线的性质，可得与的关系，再根据三角形的周长，可得答案.②根据线段垂直平分线的性质定理，可得PB=PA，从而得到PB+CP=PA+PC≥AC，进而得到当点P与点M重合时，的值最小，即可求解．【小问1详解】解：...又垂直平分..故答案为：.【小问2详解】如图：垂直平分．.又的周长是..．当点P与点M重合时，的值最小.∵MN垂直平分AB．∴PB=PA.∴PB+CP=PA+PC≥AC.∴当点P与点M重合时，的值最小，为AC的长.∴△PBC的周长最小值是9+7=16cm．【点睛】本题考查了轴对称，解题关键是利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出．20. 如图，在等边三角形中，，，点为边上一点且．点为边上的动点，从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点后停止运动；点为边上的动点，从点出发向点运动．、两点同时出发（设运动时间为）．（1）如图，若点的速度与点的速度相等，则______秒时，与全等，此时，______．（2）如图，若点速度与点的速度不相等，点到达点后停止，则点的速度为多少时，在运动过程中存在与全等，请说明理由；（3）若点的速度与点的速度不相等，点到达点后折返一次，回到点后停止运动，则点的速度为多少时，在运动过程中存在与全等，请直接写出点的运动速度．【答案】（1）2，60 （2）单位长度/秒，求解过程见解析 （3）单位长度/秒或单位长度/秒或单位长度/秒【解析】【分析】（1）根据，构建方程求解即可；（2）由点的速度与点的速度不相等，在运动过程中存在与全等，只能，，由此可得结论；（3）由点的速度与点的速度不相等，点到达点后折返一次，回到点后停止运动，在运动过程中存在与全等，推出，或，或，求出点的运动路程，可得结论．【小问1详解】解：是等边三角形，，，，当时，，，∵，，，．【小问2详解】解：点的速度与点的速度不相等，在运动过程中存在与全等，只能，，，点是速度为单位长度秒；【小问3详解】解：点的速度与点的速度不相等，点到达点后折返一次，回到点后停止运动，在运动过程中存在与全等，，或，或，点的运动路程为或点的运动路程是，点是速度为单位长度秒或点是速度为单位长度秒．结合中结论，满足条件的点是速度是单位长度秒或单位长度秒或单位长度秒．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21. 如图，中，，，，垂足是D，平分，交于点E．在外有一点F，使，． （1）求证：；（2）在上取一点M，使，连接，交于点N，连接．求证：①；②平分．【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②见解析【解析】【分析】（1）两次运用同角的余角相等证明，得；（2）①过E作于H，分别证明和是等腰直角三角形即可；②根据题意得到，然后利用角平分线的判定定理求解即可．【小问1详解】证明：，即，又，在和中，，；【小问2详解】①如图，过点E作于H，则是等腰直角三角形， ∵平分∴是等腰直角三角形，②∵，∴，∴∵，∴， ∴又∵，，∴平分．【点睛】本题考查了三角形全等、等腰直角三角形的性质和判定，角平分线的判定，证明边和角相等时，一般就证明边和角所在的三角形全等即可．22. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，，，点P在射线上运动，连接，沿将三角形折叠，得到三角形． （1）当点P在线段上，时，_________．（2）①在图1，图2两种情况下，分别求，与之间的数量关系．②除了①中两种情况以外，还有其他情况吗？如果有，请直接写出这三个角的数量关系．【答案】（1）或 （2）①，；②有，【解析】【分析】（1）分情况讨论当在平行四边形内部时和当在平行四边形外部时，即可求解；（2）分情况讨论，即可求出，与之间的数量关系．【小问1详解】①当在平行四边形内部时， ∵沿将三角形折叠，得到三角形∴∴；②当在平行四边形外部时， ∵沿将三角形折叠，得到三角形∴∴；故答案为：或；【小问2详解】①如图1， 作，．，，，．，．如图2， ，．，，，，．②如图3， 当点P在原点O的左侧时，点在x轴下方，．【点睛】本题考查折叠问题，平行线的性质与判定，解题的关键是能够注意分情况讨论．23. 如图，已知平分且点M是射线上一动点，交射线于点N． （1）当时，求的度数；（2）当时，求证：；（3）试探究线段之间的数量关系．【答案】（1）； （2）见解析； （3）．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出角度之间的关系，利用角平分线求出相等的角，最后推出答案.（2）延长交于E，根据平行线的性质和角平分线的定义可得是等腰三角形，由“等腰三角形三线合一”的性质可得，再根据ASA证明，由此可证.（3）延长交于F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得是等腰三角形，由“等腰三角形三线合一”的性质可得，再根据ASA证明由此可证最后可证得.【小问1详解】∵平分，．【小问2详解】如图，延长交于E， ∵平分为等腰三角形， 在和中，，【小问3详解】如图，延长交于点F， ∵平分为等腰三角形，， 在和中，， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，综合性较强，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.24. （1）如图1，，求的长度． （2）如图2，，探索的数量关系，并证明． （3）如图3，在中，，则 （用关于a、b的代数式表示） 【答案】（1）6；（2，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质得到，，最后求解即可；（2）先根据题意和三角形外角的性质推出，再根据全等三角形的性质得到，，最后证明即可；（3）先在内部作交于，再根据三角形外角的性质得到，进而证得，最后根据全等三角形的性质求解即可．【详解】解：（1），，，，，在和中，，，，，； （2），证明如下：，，，，，，又∵，， ，， ； （3）在内部作交于， ，，，，，，又∵，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，解答本题的关键是能找出角与角之间的关系，从而证明三角形全等．25. （1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，求证：；（2）类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由；（3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出的长，不说明理由．【答案】（1）见解析；（2）与的数量关系，位置关系是，理由见解析；（3）．【解析】【分析】（1）根据三角形全等判定和性质即可解答．（2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即．（3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长．【详解】（1）证明：∵∴∴在和中，，∴，∴．（2）解：与的数量关系，位置关系是． 理由如下：∵，∴，即， 在和中，，∴，∴，，∵是等腰三角形且，∴，∴，∴，∴．（3）解：由（1）的方法得，，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键．（2023·四川自贡·统考中考真题）26. 第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角，算出这个正多边形的边数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】D【解析】【分析】根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，进而即可求解．【详解】解：依题意，，，∴∴∴这个正多边形的一个外角为，所以这个多边形的边数为，故选：D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边的外角和等于360°是解题的关键．（2023·河北·统考中考真题）27. 在和中，．已知，则（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．【详解】解：过A作于点D，过作于点，∵，∴，当在点D的两侧，在点的两侧时，如图， ∵，，∴，∴；当在点D的两侧，在点的同侧时，如图， ∵，，∴，∴，即；综上，的值为或．故选：C．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．（2023·山东聊城·统考中考真题）28. 如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】三点，，的对称点坐标为，，，结合，得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，计算即可．【详解】∵三点，，的对称点坐标为，，，结合，∴得到平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，故坐标为．故选B．【点睛】本题考查了关于x轴对称，平移规律，熟练掌握轴对称的特点和平移规律是解题的关键．（2023·江西·统考中考真题）29. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm． 【答案】【解析】【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．【详解】解：∵直尺的两边平行，∴，又，∴是等边三角形，∵点，表示的刻度分别为，∴，∴∴线段的长为,故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）30. 如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动___________s． 【答案】1【解析】【分析】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值．【详解】解：设点P的运动时间为，由题意得，， ∵，∴，∵和是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得．故答案为：1．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．（2023·吉林长春·统考中考真题）31. 如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度． 【答案】【解析】【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵正五边形的每一个内角为，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则，∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，∴，，在中，，故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）32. 如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，连接，过点O作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为______． 【答案】【解析】【分析】根据题意，结合图形依次求出的坐标，再根据其规律写出的坐标即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，同理可得：均为等腰直角三角形，，根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得：由此可推出：点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是依次求出的坐标，找出其坐标的规律．33. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，连接、，，． （1）直接写出点A、点B的坐标；（2）动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动，设运动时间为t，是否存在某一时刻，使得，若存在，请求出时间t；若不存在，请说明理由；（3）如图2，过O作于D，此时，点M为x轴上一点，连接，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接、，当取最小值时，请直接写出的面积．【答案】（1）， （2）存在，的值为秒或秒 （3）【解析】【分析】（1）根据，求出、的长即可得点A、点B的坐标；（2）先求出，即有，分点在和上两种情况，分别用表示出、的长，利用面积法求出中边的高，根据列方程求出即可得答案；（3）利用三角形面积求出，根据折叠的性质可得：，根据三角形三边关系可得点N在线段上时，取最小值，根据可求出的长，即可得出的长，根据三角形面积公式即可求解．【小问1详解】∵，∴，∵点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，∴，．【小问2详解】存在，如图，当点在上时，过点作于D， ∵，，∴，∴，∵，∴，∵点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动，运动时间为t，∴，∴，解得：，如图，当点P在线段上时， ∵点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动，运动时间为t，∴，∴，解得：综上：的值为秒或者秒．【小问3详解】如图， ∵，∴，∵，∴，根据折叠的性质可得：，∵，（当点、、三点共线时，取等号）∴当点N在线段上时，取最小值，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，即当取最小值时， 的面积为．【点睛】本题考查坐标与图形、几何图形的动点问题、折叠性质及三角形三边关系的应用，正确表示出、的长，利用面积法求高及分类讨论是解题关键．34. 已知点D在△ABC外，，，射线BD与△ABC的边AC交于点H，，垂足为E，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，已知，，点F在线段BC，且，点M，N分别是射线BC、BD上的动点．在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，写出你的理由．【答案】（1）证明见解析 （2）存在，最小值为4【解析】【分析】（1）在BD上取BG=CD，连接AG，AD．由题意易证，即得出．再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得出，从而可得出结论；（2）作点E关于BC的对称点，点F关于BD的对称点．连接，交BD于点，BC于点，连接．根据轴对称的性质即可知，即存在最小值，取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长．根据轴对称的性质结合题意可求出，，即证明为边长为4的等边三角形，即可求出，从而即得出答案．【小问1详解】如图，在BD上取BG=CD，连接AG，AD．∵在和中，，∴，∴．又∵，∴E为DG中点，即，∴，∴；【小问2详解】如图，作点E关于BC的对称点，点F关于BD的对称点．连接，交BD于点，BC于点，连接．由作图可知，，．∴，∵，即存在最小值，即取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长．∵，∴，∴．∵，，∴，∴为边长为4的等边三角形，∴，∴的最小值为4．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键．35. 如图1，等边的边长为4，点是直线上异于，的一动点，连接，以为边长，在在侧作等边，连接． （1）求证：；（2）当点在直线上运动时，①的周长是否存在最小值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由；②能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由．【答案】（1）证明见解析 （2）①的周长存在最小值，此时的长为2；②或【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，得到，推出，即可得证；（2）①，得到，进而得到的周长，根据垂线段最短，得到时，最短，利用三线合一进行求解即可；②分点在的延长线上和在的延长线上，两种情况进行讨论求解．【小问1详解】证明：∵等边，∴， ∴∵等边，∴，∴，∴，在和中，∴∴，∴，∴，∴，∴；【小问2详解】解：①由（1）知，∴，∴的周长，由垂线段最短可知，当时，最短，故的周长最小，当时，在等边中，由三线合一可得：点为的中点，∴此时的长为，∴的周长存在最小值，此时的长为2；②分以下情况讨论：当点在的延长线上时，由（1）知，，∴只能，∴由题意知，∴，∴在和中，，∴，∴，∵，∴，当点在的延长线上时，∵，∴只能，∴由题意知，∴，∵，∴，∴，∴， 综上所述：或．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．36. 如图1，△ACB为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E．（1）求证：△PAB≌△AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值．（3）如图2，过Q作QF⊥AQ于AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．【答案】（1）见解析； （2）； （3）式子的值不会变化，．【解析】【分析】（1）根据题目中的信息可以得到AQ＝AP，∠QEA与∠ABP之间的关系，∠QAE与∠APB之间的关系，从而可以解答本题；（2）由第一问中的两个三角形全等，可以得到各边之间的关系，然后根据题目中的信息找到PC与MB的关系，从而可以解答本题；（3）作合适的辅助线，构造直角三角形，通过三角形的全等可以找到所求问题需要的边之间的关系，从而可以解答本题．【小问1详解】证明：∵△ACB为等腰三角形，∠ABC＝90°，△PAQ为等腰直角三角形，QE⊥AB于E∴AP＝AQ，∠ABP＝∠QEA＝90°，∠QAE+∠BAP＝∠BAP+∠APB＝90°∴∠QAE＝∠APB在△PAB和△AQE中， ∴△PAB≌△AQE（AAS）；【小问2详解】解：∵△PAB≌△AQE∴AE＝PB QE＝AB∵AB＝CB∴QE＝CB在△QEM和△CBM中，∴△QEM≌△CBM（AAS）∴ME＝MB∵AB＝CB，AE＝PB，PC＝2PB∴BE＝PC∵PC＝2PB∴PC＝2MB∴．【小问3详解】解：式子的值不会变化，．如下图3所示：作HA⊥AC交QF于点H，∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，∴∠QAH+∠HAP＝∠HAP+∠PAD＝90°，∠AQH＝∠APD＝90°，∴∠QAH＝∠PAD，∵△PAQ为等腰直角三角形，∴AQ＝AP，在△AQH和△APD中， ，∴△AQH≌△APD（ASA），∴AH＝AD，QH＝PD，∵HA⊥AC，∠BAC＝45°，∴∠HAF＝∠DAF，在△AHF和△ADF中，，∴△AHF≌△ADF（SAS），∴HF＝DF，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用数形结合的思想，找出所求问题需要的关系，通过三角形的全等可以得到相关的角和边之间的关系．37. 定义：有两个相邻内角互余的凸四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线． （1）如图1，在中，，，是的角平分线，点，分别在，上，求证：四边形是邻余四边形（2）如图2，在的方格纸中，点A，在格点上，请画出符合条件的邻余四边形，使是邻余线，点，在格点上．（画出一个即可）（3）如图3，在（1）的条件下，为的中点，取的中点，连接并延长交于点，延长交于点，且为的中点，，，求邻余线的长．【答案】（1）证明见解析 （2）见解析 （3）10【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得，于是便可证明；（2）构造直角三角形，，在两直角边上取点、即可；（3）在射线上取一点，使得，连接，在上取一点，使得，连接，，利用全等三角形的判定及性质证明，得，从而有，再由，，得，从而得，进而求得，从而即可得解。【小问1详解】证明：∵，是的角平分线，∴，∴，即和互余，∵四边形中相邻两个角互余，∴四边形是邻余四边形；【小问2详解】解：如图，为直角三角形，，点、分别在两直角边上，∴、互余，∴四边形是邻余四边形； 【小问3详解】解：在射线上取一点，使得，连接，在上取一点，使得，连接，， ∵，是的角平分线，∴，∵，∴，∴，即∵，∴，∵为的中点，∴，∵，∴（），∴，∴，，∴，∵，∴（），∴，∵，∴，∴，∴，∴与同底等高，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵为的中点，∴；【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质以及平行线的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题关键．