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    这是一份人教版初中数学八年级上册 《第13章 轴对称 章节复习 》 课件+教案+导学案+达标检测(含教师学生版和教学反思),文件包含第13章轴对称章节复习pptx、第13章轴对称章节复习教学设计docx、第13章轴对称章节复习同步练习解析版docx、第13章轴对称章节复习导学案docx、第13章轴对称章节复习同步练习原卷版docx等5份课件配套教学资源,其中PPT共60页, 欢迎下载使用。

    第13章 轴对称 章节复习
    人教版数学八年级上册
    1.总结本章所学的轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定等知识;2.培养学生用轴对称的观点认识线段的垂直平分线、角的平分线、等腰三角形等几何图形;3.归纳总结本章学习过程中用到的数学思想方法,培养分析问题的能力.
    如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.这时,我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.
    一、轴对称相关定义和性质
    像这样,把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
    A
    A’
    一、轴对称相关定义和性质
    图形轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 如下图中,l垂直平分AA′,l垂直平分BB′.
    一、轴对称相关定义和性质
    垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
    l⊥AB,垂足为O,且AO=BO,则l是线段AB的垂直平分线.
    二、垂直平分线的定义、性质、判定
    线段的垂直平分线的性质: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
    几何符号语言:∵ PC⊥AB,PC平分AB∴ PA=PB
    二、垂直平分线的定义、性质、判定
    与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
    线段的垂直平分线的判定:
    几何符号语言:∵ PA=PB∴ 点P在AB的垂直平分线上
    二、垂直平分线的定义、性质、判定
    在平面直角坐标系中,关于 x 轴对称的点横坐标_____,纵坐标___________;关于 y 轴对称的点横坐标___________,纵坐标_____. 点( x ,y )关于 x 轴对称的点的坐标为(___,___) 点( x ,y )关于 y 轴对称的点的坐标为(___,___)
    相等
    互为相反数
    互为相反数
    相等
    x -y
    -x y
    三、用坐标表示轴对称
    性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)
    四、等腰三角形的性质及判定
    等腰三角形判定定理: 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等 (简写成“等角对等边”).
    四、等腰三角形的性质及判定
    等边三角形的性质:1.等边三角形的三边相等.2.等边三角形的三个内角都相等,并每一个角都等于60°.3.等边三角形的三条高线,三条中线,三条角平分线,分别互相重合.4.等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.
    五、等边三角形的性质及判定
    等边三角形的判定方法:1.三边相等的三角形是等边三角形.2.三个角都相等的三角形是等边三角形.3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
    五、等边三角形的性质及判定
    含30°角的直角三角形的性质: 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
    六、含30°角的直角三角形的性质
    在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择.
    七、最短路径问题
    例1.在下列各电视台的台标图案中(不考虑颜色),是轴对称图形的是( )
    B
    例2.将一张正方形纸片按如图①,图②所示的方向对折,然后沿图③中的虚线剪裁得到图④,将图④的纸片展开铺平,再得到的图案是(  )
    B
     
     
    【1-1】“羊”字象征着美好和吉祥,下图都与“羊”字有关,其中是轴对称图形的个数是( )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    B
    【1-2】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将其折叠,使点A落在边CB上A'处,折痕为CD,则∠A'DB的度数为______.
    10°
     
    B
    例4.已知点A(2a-b,5+a),B(2b-1,-a+b).(1)若点A、B关于x轴对称,求a、b的值;(2)若A、B关于y轴对称,求(4a+b)2016的值.
    解:(1)∵点A、B关于x轴对称,∴2a-b=2b-1,5+a-a+b=0,解得a=-8,b=-5;(2)∵A、B关于y轴对称,∴2a-b+2b-1=0,5+a=-a+b,解得a=-1,b=3,∴(4a+b)2016=1.
    例5.如图,在直角坐标系中,A(0, 5),B(-2,0),C(-3,3).(1)在直角坐标系中作出△ABC关于x轴对称的△A'B'C',并相应写出△A'B'C'三个顶点的坐标;(2)将△A'B'C'沿x轴方向向右平移3个单位后得到△A"B"C",并相应写出△A"B"C"三个顶点的坐标.
    解:(1)如图,△A'B'C'为所求,A'(O,-5), B'(-2,0),C'(-3,-3);
    (2)如图,△A"B"C"为所求,A"(3,-5),B"(1,0),C"(0,-3).
    【2-1】已知点P (3, -1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b, 1-b),则ab的值为_____.
    25
    【2-2】如图,在平面直角坐标系中,对△ABC进行循环反复的轴对称变换,若原来点A坐标是(a, b),则经过第2022次变换后所得的A点坐标是__________.
    (-a,-b)
    【2-3】平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4),B(2,4),C(3,-1).(1)试在平面直角坐标系中,标出A、B、C三点;(2)若△ABC与△A'B'C'关于x轴对称,画出△A'B'C',并写出A'、B'、C'的坐标.
    A (0,4)
    B (2,4)
    C (3,-1)
    A' (0,-4)
    B' (2,-4)
    C' (3,1)
    解:如图所示:
    例6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD.
    证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ADC=∠ECF.∵E是CD的中点,∴DE=EC.又∵∠AED=∠CEF,∴△ADE≌△FCE,∴FC=AD.
    例6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD.
    (2)∵△ADE≌△FCE,∴AE=EF,AD=CF.∵BE⊥AE,∴BE是线段AF的垂直平分线,∴AB=BF=BC+CF.∵AD=CF,∴AB=BC+AD.
     
     
     
     
     
     
    【3-1】如图,△ABC中,∠C=90°,ED垂直平分AB,若AC=12,EC=5,且△ACE的周长为30,则BE的长为(     )A.5 B.10 C.12 D.13
    C
    【3-2】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E.已知∠C=7∠BAE,则∠C的度数为(  )A.41° B.42° C.43° D.44°
    B
     
    A
    例8.如图,点D在AC上,点E在AB上,且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE,求∠A的度数.
    解:设∠A=x,∵AD=DE=BE ∴∠DEA=∠A=x,∠EBD=∠EDB∵∠DEA=∠EBD+∠EDB ∴∠EBD=∠EDB=0.5x∴∠BDC=∠A+∠ABD=x+0.5x=1.5x∵BC=BD,AB=AC ∴∠BDC=∠BCD=∠ABC=1.5x在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°即x+1.5x+1.5x=180°解得x=45°,即∠A=45°
     
     
    例10.如图,点E在△ABC的AC边的延长线上,点D在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形.
    证明:如图,过点D作DG//AE交BC于点G.∴∠GDF=∠CEF在△GDF和△CEF中,∴△GDF≌△CEF(ASA)∴GD=CE又∵BD=CE
    例10.如图,点E在△ABC的AC边的延长线上,点D在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形.
    ∴BD=DG∴∠DBG=∠DGB∵DG//AC∴∠DGB=∠ACB∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形
    【4-1】等腰三角形的一个角等于20°,则另外两个内角分别为( )A.20°、140° B.20°、140°或80°、80°C.80°、80° D.20°、80°
    B
    【4-2】如图(4),是一钢架,∠AOB=10°,为使钢架更加坚固,需在内部添加一些钢管EF、FM、MH……添加的钢管长度都与OE相等,则最多能添加这样的钢管_____根.
    8
    【4-3】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F.求证:△ABC是等腰三角形.
     
     
     
    ∴△ADE≌△CGE(AAS),∴DE=GE,即DG=2DE,又∵点G是BD的中点,∴DG=BG,∴CF=2DE.
     
    例11.△ABC为正三角形,点M是BC边上任意一点,点N是CA边上任意一点,且BM=CN,BN与AM相交于Q点,∠BQM等于多少度?
    解:∵△ABC为正三角形,∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°,AB=BC.又∵BM=CN,∴△AMB≌△BNC(SAS),∴∠BAM=∠CBN,∴∠BQM=∠ABQ+∠BAM=∠ABQ+∠CBN=∠ABC=60°.
    例12.等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?试证明你的结论.
    解:△APQ为等边三角形.证明如下:∵△ABC为等边三角形, ∴AB=AC.∵BP=CQ,∠ABP=∠ACQ, ∴△ABP≌△ACQ(SAS),∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°∴△APQ是等边三角形.
    例13.图①、图②中,点C为线段AB上一点,△ACM与△CBN都是等边三角形 (1)如图①,线段AN与线段BM是否相等?请说明理由;(2)如图②,AN与MC交于点E,BM与CN交于点F,探究△CEF的形状,并证明你的结论.
    解:(1)AN=BM.理由:∵△ACM与△CBN都是等边三角形,∴AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°.∴∠ACN=∠MCB.∴△ACN≌△MCB(SAS).∴AN=BM.
    (1)如图①,线段AN与线段BM是否相等?请说明理由;
    (2)△CEF是等边三角形.证明:∵∠ACE=∠FCM=60°,∴∠ECF=60°.∵△ACN≌△MCB,∴∠CAE=∠CMB.∵AC=MC,∴△ACE≌△MCF(ASA),∴CE=CF. ∴△CEF是等边三角形.
    (2)如图②,AN与MC交于点E,BM与CN交于点F,探究△CEF的形状,并证明你的结论.
    【5-1】如图,等边三角形ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,把△BDE沿直线DE翻折,使点B落在点B′处,DB′ ,EB′分别交AC于点F,G,若∠ADF=80°,则∠EGC的度数为______.
    80°
    【5-2】如图,等边△ABC中,D、E、F分别是各边上的一点,且AD=BE=CF.求证:△DEF是等边三角形.
    证明:∵△ABC为等边三角形,且AD=BE=CF∴AF=BD=CE,∠A=∠B=∠C=60°,∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS),∴DF=ED=EF,∴△DEF是等边三角形.
    【5-3】如图,△ABC是等边三角形,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O,OM∥AB,ON∥AC.求证:BM=MN=CN.
    证明:∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=60°又∵OB平分∠ABC∴∠1=∠2=30°又∵OM//AB∴∠1=∠3∴∠2=∠3=30°∴BM=OM,∠OMN=60°同理CN=ON,∠ONM=60°∴∠OMN=∠ONM=∠MON=60°∴OM=ON=MN ∴BM=MN=CN
    例14.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.求证:BF=2CF.
    证明:连接AF.∵EF是AC的垂直平分线∴AF=CF∴∠C=∠FAC∵AB=AC,∠BAC=120°∴∠B=∠C=∠FAC=30°∴∠BAF=120°-30°=90°∴BF=2AF ∴BF=2CF
    例15.如图,等边△ABC的边长为8,D为AB边上一动点,过点D作DE⊥BC于点E,过点E作EF⊥AC于点F.(1)若AD=2,求AF的长;(2)当AD取何值时,DE=EF?
     
     
    例15.如图,等边△ABC的边长为8,D为AB边上一动点,过点D作DE⊥BC于点E,过点E作EF⊥AC于点F.(1)若AD=2,求AF的长;(2)当AD取何值时,DE=EF?
     
    例16.已知,如图,△ABC为等边三角形,点E在AC边上,点D在BC边上,并且AE=CD,AD和BE相交于点M,BN⊥AD于N.(1)求证:BE=AD;(2)求∠BMN的度数;(3)若MN=3cm,ME=1cm,则AD=   cm.
    例16.已知,如图,△ABC为等边三角形,点E在AC边上,点D在BC边上,并且AE=CD,AD和BE相交于点M,BN⊥AD于N.(1)求证:BE=AD;
     
    例16.已知,如图,△ABC为等边三角形,点E在AC边上,点D在BC边上,并且AE=CD,AD和BE相交于点M,BN⊥AD于N.(2)求∠BMN的度数;
     
    例16.已知,如图,△ABC为等边三角形,点E在AC边上,点D在BC边上,并且AE=CD,AD和BE相交于点M,BN⊥AD于N.(3)若MN=3cm,ME=1cm,则AD=   cm.
     
    【6-1】如图(3),∠BAC=30°,AM是∠BAC的平分线,过点M作ME∥BA交AC于点E,作MD⊥BA,垂足为D,ME=10cm,则MD=_____cm.【6-2】将一副三角尺按如图(4)所示方式叠放在一起,若AB=16cm,则阴影部分的面积是_____cm2.
    5
    32
    【6-3】如图,点D在线段BC上,连接AD,BD=CD,CA⊥AD,∠1=30°,AB=4,求AC的长.
     
    【6-4】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠BAC=60°,∠BAC的平分线AM长为15cm,求BC的长.
     
    例17.如图,已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点,AD=5,点F是AD边上的动点,则BF+EF的最小值为(  )A.7.5 B.5 C.4 D.不能确定
    解析:△ABC为等边三角形,点D是BC边的中点,即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上,故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值,故连接CE即可,线段CE的长即为BF+EF的最小值.
    B
    例18.如图,在直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,4)和(3,0),点C是y轴上的一个动点,且A,B,C三点不在同一条直线上,当△ABC的周长最小时点C的坐标是(  )A.(0,3) B.(0,2) C.(0,1) D.(0,0)
    解析:作B点关于y轴对称点B′,连接AB′,交y轴于点C′,此时△ABC的周长最小,然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长,然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可.
    B′
    C′
    E
    A
    例19.如图,荆州古城河在CC′处直角转弯,河宽相同,从A处到B处,须经两座桥:DD ′,EE ′(桥宽不计),设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短?
    例19.如图,荆州古城河在CC′处直角转弯,河宽相同,从A处到B处,须经两座桥:DD ′,EE ′(桥宽不计),设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短?
    解:作AF⊥CD,且AF=河宽,作BG ⊥CE,且BG=河宽,连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
    理由:由平移的性质可知,AD//FD′,AD=FD′.同理,BE=GE′.由两点之间线段最短可知,GF最小.
    【7-1】如图,直线l是一条河,P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的是( )
    D
    【7-2】如图,在△ABC中,AB=AC,AD、CE是△ABC的两条中线,P是AD上一个动点,则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是( )A.BC B.CE C.AD D.AC
    B
    【7-3】如图,如果A,B两地之间有两条平行的河流,现要在河上分别建一座桥,且建的桥都是与河岸垂直的.桥建在何处才能使从A到B的路径最短?(保留作图痕迹,不写作法)
    解:如图所示,点M、N、P、Q为所求,AMNPQB路径最短.
    【7-4】如图,已知∠MON=40°,P为∠MON内一定点,OM上有一点A,ON上有一点B,当△PAB的周长取最小值时,求∠APB的度数.
    解:如图,依题意,分别作点P关于ON、OM的对称点P1、P2,连接P1P2交ON于点B,交OM于点A,依次连接A、B、P,此时△PAB的周长为最小值.
    【7-4】如图,已知∠MON=40°,P为∠MON内一定点,OM上有一点A,ON上有一点B,当△PAB的周长取最小值时,求∠APB的度数.
    由四边形内角和360°可得:∠P1PP2=360°-90°-90°-40°=140°∵BP=BP1,AP=AP2. ∴∠P1=∠BPP1,∠P2=∠APP2∵∠P1+∠P2=180°-140°=40°∴∠BPP1+ ∠APP2=40°∴∠APB=∠P1PP2-∠BPP1-∠APP2=100°
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