【全套精品专题】通用版八年级上数学学案 常见轴对称模型（知识梳理+同步练习无答案）
展开授课内容 | 目标层级 |
1.手拉手模型 | 理解并掌握 |
2.三垂直模型 | 理解并掌握 |
3.半角模型 | 掌握 |
手拉手模型是考试的常考点，学生应完全掌握并熟练运用。三垂直模型有多种形式，并且常和平面直角坐标系一起出现在综合题中，学生应主要掌握其解题方法。半角模型相对前面两个模型来说考的频次较低，但也需掌握。
1.模型介绍：
两个顶角相等且共顶点的等腰三角形组成的图形，我们称之为手拉手模型。
2.左右手的确定：
将等腰三角形的顶点朝上，则在读者左手边的等腰三角形的腰可以称之为左手，在读者右手边的等腰三角形的腰可以称之为右手。
3.手拉手模型的重要结论：
（1），左手拉左手形成的三角形全等于右手拉右手形成的三角形；
（2）；
（3）AO平分.（证明方法：过A点分别作BO和OC’ 的垂线即可）
例1.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上．
（1）求证：△AEC≌△BED．
（2）若∠1＝40°，求∠BDE的度数．
变式1.如图1所示，∠ABC＝∠ACB，CD⊥AC于C，BE⊥AB于B，AE交BC于点F，且BE＝CD，下列结论不一定正确的是（ ）
A．AB＝AC | B．BF＝EF | C．AE＝AD | D．∠BAE＝∠CAD |
图1 图2
变式2.如图2所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝20°，∠2＝25°，则∠3＝_______．
变式3.如图，∠B＝∠D，∠CAD＝∠BAE，BC＝DE．求证：AB＝AD．
变式4.（2019年长郡月亮岛八上第一次月考）如图1，将等腰△ABC沿对称轴折叠后，得到△ADC（△ADB），若，则称等腰△ABC为“长月三角形”ABC.
（1）结合题目情境，请你判断“长月三角形”一定会是______ 三角形.
（2）如图2，C为线段AB上一点，分别以AC和BC为边作“长月三角形”ACD和“长月三角形”BCE，连接AE、BD交于点O，AE与CD交于点P，CE与BD交于点M.
①求证：；
②求的度数.
变式5.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE，BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠C＝70°，求∠AEB的度数．
例2.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．
（1）求证：AE＝AD；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．
变式1.如图，点E在边BC上，∠1＝∠2，∠C＝∠AED，BC＝DE．
（1）求证：AB＝AD；
（2）若∠C＝70°，求∠BED的度数．
变式2.如图，点O为线段AB上的任意一点（不于A、B重合），分别以AO，BO为一腰在AB的同侧作等腰△AOC和△BOD，OA＝OC，OB＝OD，∠AOC与∠BOD都是锐角，且∠AOC＝∠BOD，AD与BC交于点P，AD交CO于点M，BC交DO于点N．
（1）试说明：CB＝AD；
（2）若∠COD＝70°，求∠APB的度数．
常见的三垂直模型如下：
解题技巧：利用一组对边相等（例如：图①中AC=BC，图②中BC=BD，图③中AD=BD）、都有一个直角和同（等）角的余角相等，来证明三角形全等，进而得到相关的结论.
例3.如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且AB＝CD，AC＝CE．
求证：△ACE是直角三角形．
变式1.如图，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，BC＝13，AB＝5，且E为BC上一点，∠AED＝90°，AE＝DE，则BE＝（ ）
A．13 | B．8 | C．6 | D．5 |
图1 图2
变式2.如图，在△ABC中，AC＝BC，过点A，B分别作过点C的直线的垂线AE，BF．若AE＝CF＝3，BF＝4.5，则EF＝_______．
例4.如图（1），已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，
（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．
（2）若将CD沿CB方向平移得到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，此时第（1）问中AC与CE的位置关系还成立吗？请任选一个说明理由．
变式1.（2019年明德八上期中）如图，在中，，，于点，于点.
求证：(1)；
(2)若，，求.
变式2.（2020年明德八上期中）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E，CE与AB交于点F.
(1)如图1，求证：△ADC≌△CEB；
(2)如图2，若把△BCE沿着BC边翻折得到△BCE1，把△ACD沿着AC边翻折得到△ACD1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm.求D1E1的长；
(3)如图3，若AG平分∠CAB交CE于点G，求证：FG:CG=AF:AC.
图1 图2 图3
半角模型，即一个角包含着它的一半大小的角.
解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法.
例5.如图1，在△ABC和△DBC中，∠A＝40°，AB＝AC＝2，∠BDC＝140°，BD＝CD，以点D为顶点作∠MDN＝70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为________．
图1 图2
变式1.（2020年青一八上期中）如图2，在中，，，、为上两点，，为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③
变式2.在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．
例6.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AB上一点，连接BD，CE，BD与CE交于点F，且CE∥AD．
（1）判断△BEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝10，CE＝7，求CF的长．
变式1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠EAF═∠BAC，BF⊥AE于E交AF于点F，连结CF．
（1）如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：EF＝BE+CF．
（2）如图2所示，当∠EAF的边AE、AF分别在∠BAC外部、内部时，求证：CF＝BF+2BE．
变式2.把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ABCD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．
（1）若∠ACD=30°，∠MDN=60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；
（2）当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N分改在CA、BC的延长上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）
1.（2019年长培第一次月考）如图，点是线段上除外任意一点，分别以、为边在线段的同旁作等边和等边，连接交于，连接交于，连接.
（1）求证：；
（2）求证：.
2.（2020年博才八上第一次月考）如图，，，，，垂足为F.
(1)求证：；
(2)求∠FAE的度数；
(3)求证：.(提示：可过A作CD的垂线段)
3.（2020年郡维八上第一次月考）如图，在△ABC中，以AB，AC为边向外作等边△ABF和等边△ACE、连结BE，CF交于点O.
求证：(1)；
(2)AO平分∠EOF.
4.如图，已知锐角△ABC中，以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结CE、BG，交点为O．
（1）求证：EC=BG且EC⊥BG．
（2）探究：△ABC与△AEG面积是否相等？并说明理由．
5.在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为三角形ABC外一点，且,,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．
（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ；
（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想⑴问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.
图1 图2
- 如图1所示，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B点和C点在AE的异侧，BD⊥AE于D点，CE⊥AE与E点．
（1）求证：BD=DE+CE
（2）若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置时（BD＜CE）其余条件不变，问BD 与DE，CE的关系如何？请予以证明．
（3）若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置时（BD＞CE）其余条件不变，问BD 与DE，CE的关系如何？直接写出结果，不需证明．
7.（2020年师大八上期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A(0，3)与点B关于x轴对称，点C(n，0)为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F.
(1)如果∠OAC＝35°，求∠DCF的度数；
(2)用含n的式子表示点D的坐标；
(3)在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
