人教A版高中数学必修第二册同步讲练测 第7章 复数 章节复习+单元测试AB卷（2份，原卷版+教师版）

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第7章 复数 重难点归纳总结考点一 复数的实部虚部【例1-1】已知i是虚数单位，则的虚部为（    ）A．1 B．i C． D．【答案】C【解析】因为，所以的虚部为，故选：C【例1-2】设复数（i是虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，故，因此，复数的虚部为.故选：A.【一隅三反】1．在复平面内，复数对应的点分别是，则复数的虚部为（    ）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】由题可知，则，所以复数的虚部为2．故选：A.2．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为______.【答案】【解析】因为，所以，则，所以复数的虚部为.故答案为：.3．复数的实部为___________．【答案】7【解析】．故实部为7，故答案为：7.4.已知复数（为虚数单位）的实部和虚部相等，则______．【答案】【解析】，因为复数的实部和虚部相等，则，解得.故答案为：.考点二 复数所在象限【例2-1】若，则复数在复平面内对应的点在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】， 所以复数在复平面内对应的点在第一象限.故选：A.【例2-2】若复数满足，则复数在复平面所对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】因为，所以，所以复数在复平面所对应的点为位于第二象限.故选：B.【例2-3】在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】 在复平面内对应的点在第三象限,, 即 . 实数 的取值范围是 .故选：A.【一隅三反】1．若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】由，所以，即，所以，故在复平面内所对应的点的坐标为位于第二象限.故选：B2．已知复数，则对应复平面内的点在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】，则对应复平面内的点为，所以对应的点在第四象限.故选：D.3．复数（其中为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】因为，故，故在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限.故选：A.4．已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上对应的点所在的象限为（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因为复数为纯虚数，由，可知，所以，则，所以复数在复平面上对应的点为，位于第四象限.故选：D考点三 复数的模长【例3】若复数满足，则（    ）A． B． C． D．5【答案】B【解析】因为，所以.所以.故选:B.【一隅三反】1．已知复数z满足，则（    ）A． B．C．2 D．【答案】B【解析】，所以.故选：B2.设复数满足（i为虚数单位），则（    ）A．1 B．2 C． D．3【答案】B【解析】由题意可得：，则，故．故选：B．3．已知i为虚数单位，复数为纯虚数，则（    ）A．0 B． C．2 D．5【答案】D【解析】由题意，在中，∵为纯虚数，∴，∴，∴∴，故选：D．考点四 复数的分类【例4-1】复数为纯虚数.则实数的值为（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】，由题意得：且，解得：.故选：C【例4-2】设，“”是“复数为纯虚数”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】当时，为纯虚数，故充分；当复数为纯虚数时，，解得或，故不必要，故选：A【一隅三反】1．已知复数为纯虚数，则实数（    ）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】，因为复数为纯虚数，所以，即.故选：D2．复数为纯虚数的充要条件是（    ）A． B．且C．且 D．且【答案】D【解析】要使复数为纯虚数，则，若，则；若，则，所以且．故选：D．3．“z为实数”是“是纯虚数”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件【答案】B【解析】设，z为实数且，是纯虚数且，所以“z为实数”是“是纯虚数”的必要不充分条件.故选：B.考点五 复数的综合运用【例5-1】（多选）设为复数，，，则下列说法正确的是（    ）A．若，则的实部和虚部分别为和B．设为的共轭复数，则C．D．若，，则在复平面内对应的点位于第一象限或第四象限【答案】AB【解析】由复数的概念可知，复数的实部为，虚部为，所以A正确，和可知，所以B正确，对于C，是一个实数，而不一定为实数，所以C错误，当取偶数时，为实数，在复平面对应的点在实轴上，所以D错误。故选：AB【例5-2】（多选）已知复数（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（       ）A． B．z的虚部是-4C．是纯虚数 D．z在复平面上对应点在第四象限【答案】ABD【解析】A：复数，则，故A正确；B：的虚部是，故B正确；C：，是实数，故C错误；D：z在复平面上对应点的坐标为，在第四象限，故D正确.故选：ABD.【一隅三反】1．复数满足，则的范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，由题意可得：，解得，则.故选：D.2．（多选）已知i为虚数单位，则下面命题正确的是（    ）A．若复数z＝3+i，则B．复数z满足|z﹣2i|＝1，z在复平面内对应的点为，则x2+＝1C．若复数z1，z2，满足，则D．复数z＝13i的虚部是3【答案】ABC【解析】对A：z＝3+i，则，故A正确；对B：由题可得z﹣2i，又|z-2i|＝1，故，故B正确；对C：设，则，故，故C正确；对D：复数z＝13i的虚部是，故D错误；故选：ABC.3．（多选）已知复数z满足，则（    ）A．复数z虚部的最大值为2B．复数z实部的取值范围是C．的最小值为1D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限【答案】ABC【解析】满足的复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，如图，由图可知，虚部最大的复数，即复数z虚部的最大值为2．A正确；实部最小的复数，实部最大的复数，所以实部的取值范围是，B正确；表示复数在复平面内对应点到的距离，所以的最小值为，C正确；由图可知，复数在复平面内对应点位于第一、二、三、四象限，故D错误． 故选：ABC.第7章 复数 章末测试（基础）考试时间：120分钟 满分：150分单选题1．复数则在复平面内，z对应的点的坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故z对应的点的坐标是 故选：A2．已知复数，则下列说法正确的是（　　）A．z的虚部为4i B．z的共轭复数为1﹣4iC．|z|＝5 D．z在复平面内对应的点在第二象限【答案】B【解析】∵，∴ z的虚部为4, z的共轭复数为1﹣4i，|z|，z在复平面内对应的点在第一象限.故选：B3．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】，则，在复平面上对应的点的坐标为，位于第四象限.故选：D．4．已知复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，，因此，.故选：D.5．若复数满足，则复数的实部为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设（），则，化简得，根据对应相等得，解得，，故选：C.6．大数学家欧拉发现了一个公式：，是虚数单位，为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，（    ）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）A．1 B． C．i D．【答案】D【解析】因为，所以，故选：D.7．设复数在复平面上对应的点为且满足，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以，所以.故选：B8．已知是复数，为的共轭复数.若命题：，命题：，则是成立的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设，则，则命题：等价于，即命题：等价于，即或，即或，∴是成立的充分不必要条件，故选：A.多选题9．已知复数满足，则（    ）A．的虚部是 B．C． D．【答案】BCD【解析】∵，∴，故，据此可判断A项，的虚部为-1，故A项错误；B项，，故，故B项正确；C项，，故C项正确；D项，，故D项正确；故选：BCD.10．已知复数，则下列说法正确的有（    ）A．复数z的实部为3 B．复数z的共轭复数为C．复数z的虚部为 D．复数z的模为5【答案】ABD【解析】复数的实部为3，虚部为4，故A项正确，C项错误；复数的共轭复数为，故B项正确；复数的模为，故D项正确.故选：ABD.11．已知复数则（    ）A．复数在复平面内对应的点在第三象限 B．复数的实部为C． D．复数的虚部为【答案】BC【解析】由题意得，故复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故A选项错误；易知复数的实部为，故B选项正确；因为，所以，故C选项正确；因为，所以复数的虚部为，故D选项错误．故选：BC．12．已知a，，，，则下列说法正确的是（    ） A．z的虚部是 B．C． D．z对应的点在第二象限【答案】BC【解析】由复数相等可得解得所以，对于A，的虚部是2，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，对应的点在虚轴上，故D错误.故选：BC三、填空题13．设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为________.【答案】【解析】∵，∴，∴复数对应的点为.故答案为：.14．若复数为实数，则实数的值为_______.【答案】【解析】，为实数，，解得：.故答案为：.15．设为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，其中是实数，则________.【答案】【解析】设，∵复数的实部与虚部相等，∴，又，则，.故答案为：16．已知是虚数单位，则________.【答案】【解析】，故答案为：.四、解答题17．已知复数（）在复平面上对应的点为，求实数取什么值时，点：(1)在实轴上；(2)在虚轴上；(3)在第一象限.【答案】(1)或(2)或(3)或【解析】(1)点在实轴上，即复数为实数，由得或，∴当或时，点在实轴上；(2)点在虚轴上，即复数为纯虚数或，由得或，∴当或时，点在虚轴上；(3)点在第一象限，即复数的实部虚部均大于，由，即，解得或，∴当或时，点在第一象限.18．实数取什么值时,复数(1)与复数相等   (2) 与复数互为共轭复数   (3)对应的点在轴上方. 【答案】（1）m＝－1（2）m＝1（3）m5.【解析】(1)根据复数相等的充要条件得解得m＝－1.(2)根据共轭复数的定义得解得m＝1.(3)根据复数z的对应点在x轴的上方可得m2－2m－15>0，解得m5.19．已知复数，，其中a是正实数．(1)若，求实数a的值；(2)若是纯虚数，求a的值．【答案】(1)2(2)2【解析】（1）解：∵，，，∴，从而，解得，所以实数a的值为2．（2）依题意得：，因为是纯虚数，所以：，解得：或；又因为a是正实数，所以a＝2．20．已知，复数.（1）当为何值时，复数为实数？（2）当为何值时，复数为虚数？（3）当为何值时，复数为纯虚数？【答案】（1）；（2）且；（3）或.【解析】（1）要使为实数，只需，解得：m=6；（2）要使为虚数，只需，解得：且；（3）要使为纯虚数，只需，解得：或.21．已知：复数，其中为虚数单位．(1)求及；(2)若，求实数的值．【答案】(1)，(2)，【解析】（1），则.（2）由（1）得：，，解得：.22．在①；②复平面上表示的点在直线上；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数；（为虚数单位），满足 .（1）若，求复数以及；（2）若是实系数一元二次方程的根，求实数的值【答案】(1)；(2)m=-2【解析】选条件①：.因为，所以，解得，又，所以；选条件②：复平面上表示的点在直线上.因为，所以，其表示的点为，有，解得；选条件③：.因为，所以，所以，解得.(1)，；(2)是实系数一元二次方程的根，则也是该方程的根，所以m=-(+)=.第7章 复数 章末测试（提升）考试时间：120分钟 满分：150分单选题1．已知，其中为虚数单位，则（    ）A．5 B． C．2 D．【答案】B【解析】由复数满足，则，则，故选：B．2．已知复数满足，是的共轭复数，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意在中，∴∴故选：B.3．若，则（    ）A．2 B． C． D．4【答案】B【解析】因为，所以，则，所以，则，故选：.4．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，，，.故选：D.5．“”是“复数为纯虚数”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，，显然为纯虚数；当为纯虚数时，且，故；综上：“”是“复数为纯虚数”的充要条件.故选：C.6．若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（    ）A．z的实部是 B．的虚部是C．复数在复平面内对应的点在第四象限 D．【答案】A【解析】z的实部是故A正确；，故D错误，的虚部是故B错误，在复平面上对应的点为所以为第一象限点，故C错误.故选：A7．下列命题：①实数在复平面内所对应的点在实轴上；②虚轴上的点所对应的数是纯虚数；③若，则为虚数；④，则．其中正确命题的个数是（    ）．A． B． C． D．【答案】D【解析】对于①，实数在复平面内所对应的点的坐标为，均在实轴上，①正确；对于②，点在虚轴上，但所对应的数为实数，②错误；对于③，当时，为实数，③错误；对于④，当，时，，④错误；故选：D.8．定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】设复数的平方根为，则，化简，所以，，解得，或，，即复数的平方根为或，故选：C多选题9．设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（    ）A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限C． D．【答案】AD【解析】对于A：，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确；对于B：，其在复平面上对应的点为，在第四象限，B错误；对于C：，则，C错误；对于D：，则，D正确.故选：AD.10．已知复数是关于x的方程的两根，则下列说法中正确的是（    ）A． B． C． D．若，则【答案】ACD【解析】，∴，不妨设，，，A正确；，C正确；，∴，时，，B错；时，，，计算得，，，同理，D正确．故选：ACD．11．已知复数满足，则下列结论正确的是（    ）A．若，则 B．C．若，则 D．【答案】BD【解析】设则，不满足，也不满足，故选项AC错误；对于B，设在复平面内对应的向量分别为，且，由向量加法的几何意义知，故，故选项B正确；对于D，设，则，所以， ，故选项D正确；故选：BD.12．已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是（    ）A．若为纯虚数，则 B．若，则C．若，则的最大值为2 D．【答案】BCD【解析】对于A，为纯虚数，所以，即，所以A错误；对于B，，因为，所以，从而，所以正确；对于C， 由复数模的三角不等式可得，所以C正确；对于D，，所以D正确.故选：BCD．三、填空题13．设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则、两点间的距离是______．【答案】【解析】复数对应点,复数对应点，则.故答案为：14．已知，复数，若的虚部为1，则_________.【答案】【解析】，.故答案为：-215.复平面上给定四个点可以构成一个平行四边形，其中四个点对应的复数分别为，，，则______．【答案】或或【解析】因为，，,又因为可以构成一个平行四边形,分情况可得当为平行四边形,则;当为平行四边形,则,即当为平行四边形,则,即故答案为: 或或16．设且，满足，则的取值范围为___．【答案】【解析】设，，则，所以，，所以，即对应点在以为圆心，半径为的圆上.，对应点为，与关于对称，所以点在以为圆心，半径为的圆上，表示与两点间的距离，圆与圆相交，圆心距为，如图所示，所以的最小值为，最大值为，所以的取值范围为.故答案为：四、解答题17．求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足：(1)z是实数；(2)z是纯虚数；(3)z是复平面中对应的点位于第二象限.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）由题意得，所以；（2）由题意得，所以；（3）由题意得，所以.18．已知关于得二次方程：.(1)当方程有实数根时，求点的轨迹方程；(2)求方程实数根的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】（1）设方程的实数根为，则有，即，所以，两式消去可得，整理可得， 即点的轨迹方程是；（2）由可得，整理得，，，解得，方程的实数根的取值范围是.19．已知虚数z满足.(1)求z；(2)若z的虚部为正数，比较与的大小.【答案】(1)或(2)【解析】（1）设，则，所以，所以，解得，或所以或.（2）由题意知，所以，，，所以，所以.所以.20．已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为．(1)确定点的集合构成图形的形状；(2)求的最大值和最小值．【答案】(1)点的集合是以点为圆心，2为半径的圆(2)最大值为7，最小值为3【解析】（1）设复数在复平面内的对应点为，则，故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示．（2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示，，则的最大值即的最大值是；的最小值即的最小值是．21．已知z为虚数，为实数，且．(1)求及z的实部的取值范围．(2)设，那么u是不是纯虚数？请说明理由．(3)求的最小值．【答案】(1)；z的实部的取值范围为(2)u是纯虚数；理由见解析(3)1【解析】（1）设，则．因为m是实数，，所以，即，于是．又，所以，因此z的实部的取值范围是．（2）u是纯虚数．理由如下：，又，所以u为纯虚数．（3）．因为，所以，故，当且仅当，即时，取得最小值1．22．已知复数，，(1)若，求角；(2)复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围；(3)复数对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围．【答案】(1)角(2)(3)【解析】（1），，由，得，，又，（2）由复数的坐标表示得，，，则，又，，当时，取最大值为4，当时，取最小值为，所以的取值范围为（3）由题意得，，，，又，，化简得，，由小问2的结论可得，，当，得 恒成立，当，得，或，综合所述，的取值范围为.