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人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念优秀导学案
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念优秀导学案，共20页。
平面向量及其应用
平面向量基本概念及运算
重点
1. 理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义。
2. 理解向量加法、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理。了解向量的线性运算性质及其几何意义。
3. 理解平面向量的基本定理，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
难点
1. 了解向量线性运算的性质及其几何意义。
2. 了解平面向量基本定理及其意义。
考试要求
考试
题型 选择题、填空题、解答题
难度 简单、中等
核心知识点一：平面向量基本概念
向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模。
（2）零向量：长度为0的向量，其方向是任意的。
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量。
（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行。
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量。
核心知识点二：平面向量的线性运算
1. 向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：
（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋（－b）
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ（μ a）＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μa；
λ（a＋b）＝λa＋λb
2. 向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa。
核心知识点三：平面向量的坐标运算
1. 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2. 平面向量的坐标运算
（1）向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则
a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），
λa＝（λx1，λy1），|a|＝。
（2）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标。
②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1），||＝。
3. 平面向量共线的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0. a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0。
典例一：平面向量的概念
例题1 给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；
③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线。
其中真命题的序号是________。
答案：③
解析：①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
②错误，若b＝0，则a与c不一定共线；
③正确，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；
④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；
⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线。
故填③。
总结提升：
向量有关概念的关键点
（1）向量定义的关键是方向和长度。
（2）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制。
（3）相等向量的关键是方向相同且长度相等。
（4）单位向量的关键是长度都是一个单位长度。
（5）零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线。
典例二：平面向量的线性运算
例题2 在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________。
答案：
解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，
∴＝2。
∵点E在线段CD上，
∴＝λ（0≤λ≤1）。
∵＝＋＝＋λ，
又＝＋μ＝＋2μ，
∴2μ＝λ，即μ＝。
∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤。
总结提升：
平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
（1）向量加法或减法的几何意义。向量加法和减法均适合三角形法则。
（2）求已知向量的和。共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则。
（3）求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值。
典例三：平面向量的坐标运算
例题3 已知点M（5，－6）和向量a＝（1，－2），若＝－3a，则点N的坐标为（ ）
A. （2，0） B. （－3，6）
C. （6，2） D. （－2，0）
答案：A
解析：设N（x，y），则（x－5，y＋6）＝（－3，6），
∴x＝2，y＝0。
总结提升：
平面向量坐标运算的技巧
（1）利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标。
（2）解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程（组）进行求解。
典例四：利用向量共线求向量或点的坐标
例题4 已知O为坐标原点，点A（4，0），B（4，4），C（2，6），则AC与OB的交点P的坐标为________。
答案：（3，3）
解析：方法一 由O，P，B三点共线，
可设＝λ＝（4λ，4λ），
则＝－＝（4λ－4，4λ）。
又＝－＝（－2，6），
由与共线，得（4λ－4）×6－4λ×（－2）＝0，
解得λ＝，所以＝＝（3，3），
所以点P的坐标为（3，3）。
方法二 设点P（x，y），则＝（x，y），
因为＝（4，4），且与共线，所以＝，
即x＝y。
又＝（x－4，y），＝（－2，6），且与共线，
所以（x－4）×6－y×（－2）＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为（3，3）。
总结提升：
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
（1）如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”。
（2）在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa（λ∈R）。
1. 向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用。
2. 共线向量与平行向量是一组等价的概念。两个共线向量不一定要在一条直线上。当然，同一直线上的向量也是平行向量。
3. 注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆。
4. 实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的。
5. λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍。向量表示与向量a同向的单位向量。
6. 向量共线定理是证明三点共线的重要工具。即三点共线问题通常转化为向量共线问题。
7. 对基底的理解
（1）基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的。平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件。
（2）零向量与任意向量共线，故不能作为基底。
8. 准确理解平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的。
（2）平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决。
9. 向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据. 向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化。
10. 要区分向量终点的坐标与向量的坐标。由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，此时＝（xB－xA，yB－yA）。
11. 向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积。
12. 两个向量共线条件的表示方法
已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），
（1）当b≠0，a＝λb。
（2）x1y2－x2y1＝0。
（3）当x2y2≠0时，，即两向量的相应坐标成比例。
13. 向量共线的坐标表示的应用
（1）已知两个向量的坐标判定两向量共线。联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题。要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行。
（2）已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程。要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据。
（答题时间：40分钟）
1. 已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则（ ）
A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线
C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线
2. 如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上的一个靠近点B的三等分点，那么等于（ ）
A. － B. ＋
C. ＋ D. －
3. 如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则等于（ ）
A. a－b B. a－b
C. a＋b D. a＋b
4. 若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________。
5. 已知M（3，－2），N（－5，－1），且＝，则P点的坐标为（ ）
A. （－8，1） B.
C. D. （8，－1）
6. 若向量＝＝（2，0），＝（1，1），则＋等于（ ）
A. （3，1） B. （4，2） C. （5，3） D. （4，3）
7. 已知向量a＝（1，2），b＝（－2，t），且a∥b，则|a＋b|等于（ ）
A. B. C. D. 5
8. 已知平面直角坐标系内的两个向量a＝（1，2），b＝（m，3m－2），且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb（λ，μ为实数），则实数m的取值范围是（ ）
A. （－∞，2） B. （2，＋∞）
C. （－∞，＋∞） D. （－∞，2）∪（2，＋∞）
9. 在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），C为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于（ ）
A. 2 B. C. 2 D. 4
10. 若三点A（1，－5），B（a，－2），C（－2，－1）共线，则实数a的值为________。
11. 设向量a，b满足|a|＝2，b＝（2，1），且a与b的方向相反，则a的坐标为________。
12. （2018·全国Ⅲ）已知向量a＝（1，2），b＝（2，－2），c＝（1，λ）。若c∥（2a＋b），则λ＝________。
13. 已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（k＋1，k－2），若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________。
1. 答案：B
解析：∵＝＋＝2a＋6b＝2，
∴与共线，由于与有公共点B，
因此A，B，D三点共线，故选B。
2. 答案：D
解析：在△CEF中，有＝＋。
因为点E为DC的中点，所以＝。
因为点F为BC上的一个靠近点B的三等分点，
所以＝。
所以＝＋＝＋
＝－，故选D。
3. 答案：D
解析：连接OC，OD，CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，可得∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，且△OAC和△OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，所以＝＋＝＋＝a＋b，故选D。
4. 答案：2
解析：因为||＝||＝|－|＝2，
所以△ABC是边长为2的正三角形，
所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，
所以|＋|＝2。
5. 答案：B
解析：设P（x，y），则＝（x－3，y＋2）。
而＝（－8，1）＝，
∴解得
∴P。故选B。
6. 答案：B
解析：＝＋＝（3，1），
又＝－＝（－1，1），
则＝＋＝（1，1），
所以＋＝（4，2）。故选B。
7. 答案：B
解析：根据题意可得1×t＝2×（－2），可得t＝－4，
所以a＋b＝（－1，－2），
从而可求得|a＋b|＝＝，故选B。
8. 答案：D
解析：由题意知向量a，b不共线，
故2m≠3m－2，即m≠2。
9. 答案：A
解析：因为|OC|＝2，∠AOC＝，
所以C（，），
又＝λ＋μ，
所以（，）＝λ（1，0）＋μ（0，1）＝（λ，μ），
所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2。
10. 答案：－
解析：＝（a－1，3），＝（－3，4），
根据题意知∥，
∴4（a－1）＝3×（－3），即4a＝－5，∴a＝－。
11. 答案：（－4，－2）
解析：∵b＝（2，1），且a与b的方向相反，
∴设a＝（2λ，λ）（λ<0）。
∵|a|＝2，
∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2。
∴a＝（－4，－2）。
12. 答案：
解析：由题意得2a＋b＝（4，2），
因为c∥（2a＋b），所以4λ＝2，得λ＝。
13. 答案：k≠1
解析：若点A，B，C能构成三角形，
则向量，不共线。
∵＝－＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2），
＝－＝（k＋1，k－2）－（1，－3）＝（k，k＋1），
∴1×（k＋1）－2k≠0，解得k≠1。
平面向量的数量积
重点
平面向量数量积的概念及其应用
难点
对平面向量数量积的概念的理解以及平面向量数量积的应用
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等
核心知识点一：平面向量数量积的概念
1. 向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB就是与的夹角
设θ是与的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°
θ＝0°或θ＝180°⇔∥
θ＝90°⇔⊥
2. 数量积的概念
已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即，其中θ是与的夹角。
【注】零向量与任一向量的数量积为0。
注意
（1）两向量的数量积其结果是数量，而不是向量；其符号由夹角的余弦值决定；
（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，决不可混淆；
（3）在运用向量公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是。
3. 投影的概念
设非零向量与的夹角是θ，则（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影。
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度。
4. 数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积。
核心知识点二：平面向量数量积的运算律
1. 已知向量和实数，则
（1）交换律：；
（2）数乘结合律：；
（3）分配律：。
核心知识点三：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质
设非零向量，是与的夹角。
（1）数量积：。
（2）模：。
（3）夹角： 。
（4）垂直与平行：；∥⇔·=±||||。
【注】当与同向时，；当与反向时，。
（5）性质：|·|≤||||（当且仅当∥时等号成立）⇔
。
典例一：数量积的简单运算
例题1 （1）设＝（1，2），＝（3，4），＝（3， －2），则（＋2）·＝________。
（2）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，则·＝________。
答案：（1）1 （2）6
解析：（1）因为＋2＝（1，2）＋2（3，4）＝（7，10），
所以（＋2）·＝（7，10）·（3， －2）＝1。
（2）法一：由题意知，AC＝BC＝2，AB＝2，所以·＝·（＋）=·＋·＝||·||cos 45°＋||·||cos 45°＝2×2×＋2×1×＝6。
法二：建立如图所示的平面直角坐标系：
由题意得A（0，2），B（－2，0），D（－1，0），所以＝（－2，0）－（0，2）＝（－2，－2），
＝ （－1，0）－（0，2）＝（－1，－2），所以＝－2×（－1）＋（－2）×（－2）＝6。
故答案为：6。
总结提升：
向量数量积的2种运算方法
方法
运用提示
适用题型
定义法
当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即·＝||·||cos θ
适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题
坐标法
当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则·＝x1x2＋y1y2
适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题
典例二：数量积性质的应用
例题2 （1）已知向量，满足||＝1，（＋）·（－2）＝0，则||的取值范围为（ ）
A. [1，2] B. [2，4] C. D.
（2）若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
答案：（1）D （2）A
解析：（1）由题意知≠0，设向量，的夹角为θ，因为（＋）·（－2）＝2－·－22＝0，又||＝1，所以1－||cos θ－2||2＝0，所以||cos θ＝1－2||2，因为－1≤cos θ≤1，所以－||≤1－2||2≤||，所以≤||≤1，所以||的取值范围是。
（2）由题得；
，
，
所以；
；
又；
的夹角为。
故选A。
1. 平面向量数量积求解问题的策略：
（1）求两向量的夹角：，要注意θ∈[0，π]。
（2）求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①2＝·＝||2或|
②。
③若＝（x，y），则||＝。
（3）两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：⊥⇔·＝0⇔|－|＝|＋|。
2. 平面向量与几何综合问题的求解方法：
（1）坐标法；把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决；
（2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解。
（答题时间：30分钟）
1. 若，则与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D. 1
2. 已知向量与的夹角为，，，则（ ）
A. B. C. 2 D. 4
3. 在△ABC中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
4. 已知，，则在上的投影为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，，且，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 已知向量，的夹角为60°，且，则与的夹角等于（ ）
A. 150° B. 90°
C. 60° D. 30°
7. 已知向量，则________。
8.（南京开学考试）在△ABC中，点P是边AB的中点，已知CA＝4，CP＝，∠ACB＝，则的值为______。
9. 已知向量，。
（1）若与垂直，求实数的值；
（2）求向量在方向上的投影。
10. （扬州期中）在△ABC中，已知，设∠BAC＝。
（1）求tan的值；
（2）若，（0，），求cos（﹣）的值。
1. 答案：A
解析：由向量，则与夹角的余弦值为，故选A。
2. 答案：C
解析：由题意得，
因为向量与的夹角为，，，所以，
所以，
所以，所以选择C。
3. 答案：A
解析：因为△ABC中，，所以与的夹角为，由数量积的定义可得
故选A。
4. 答案：C
解析：在上的投影为：，本题选C。
5. 答案：C
解析：因为向量，，由向量减法的运算可得
又因为，则
即
解得
所以选C。
6. 答案：C
解析：由题意可得=2×1cos60°=1，设向量与的夹角等于θ，
∵（）2=–2+=4–2×1+1=3，（）2=+4+4=4+4×1+4=12，∴||=，||==2，而（）（）=+–2=4+1–2=3，由此可得cosθ=。再由0°≤θ≤180°，可得θ=60°，故选C。
7. 答案：2
解析：因为向量，所以，
8. 答案：6
解析：如图所示：
，则，所以；又。
故答案为：6。
9. 解：（1），
与垂直，
，解得：。
（2）向量在方向上的投影为：，
。
10. 解：（1）由，得，
所以，又因为，所以。
∴
（2）∵， ∴
由（1）知：
∴。
平面向量及其应用
平面向量基本概念及运算
重点
1. 理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义。
2. 理解向量加法、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理。了解向量的线性运算性质及其几何意义。
3. 理解平面向量的基本定理，会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
难点
1. 了解向量线性运算的性质及其几何意义。
2. 了解平面向量基本定理及其意义。
考试要求
考试
题型 选择题、填空题、解答题
难度 简单、中等
核心知识点一：平面向量基本概念
向量的有关概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模。
（2）零向量：长度为0的向量，其方向是任意的。
（3）单位向量：长度等于1个单位的向量。
（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行。
（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。
（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量。
核心知识点二：平面向量的线性运算
1. 向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：
（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋（－b）
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ（μ a）＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μa；
λ（a＋b）＝λa＋λb
2. 向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa。
核心知识点三：平面向量的坐标运算
1. 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2. 平面向量的坐标运算
（1）向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则
a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），
λa＝（λx1，λy1），|a|＝。
（2）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标。
②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1），||＝。
3. 平面向量共线的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0. a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0。
典例一：平面向量的概念
例题1 给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；
③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线。
其中真命题的序号是________。
答案：③
解析：①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
②错误，若b＝0，则a与c不一定共线；
③正确，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；
④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；
⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线。
故填③。
总结提升：
向量有关概念的关键点
（1）向量定义的关键是方向和长度。
（2）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制。
（3）相等向量的关键是方向相同且长度相等。
（4）单位向量的关键是长度都是一个单位长度。
（5）零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线。
典例二：平面向量的线性运算
例题2 在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________。
答案：
解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，
∴＝2。
∵点E在线段CD上，
∴＝λ（0≤λ≤1）。
∵＝＋＝＋λ，
又＝＋μ＝＋2μ，
∴2μ＝λ，即μ＝。
∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤。
总结提升：
平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
（1）向量加法或减法的几何意义。向量加法和减法均适合三角形法则。
（2）求已知向量的和。共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则。
（3）求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值。
典例三：平面向量的坐标运算
例题3 已知点M（5，－6）和向量a＝（1，－2），若＝－3a，则点N的坐标为（ ）
A. （2，0） B. （－3，6）
C. （6，2） D. （－2，0）
答案：A
解析：设N（x，y），则（x－5，y＋6）＝（－3，6），
∴x＝2，y＝0。
总结提升：
平面向量坐标运算的技巧
（1）利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标。
（2）解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程（组）进行求解。
典例四：利用向量共线求向量或点的坐标
例题4 已知O为坐标原点，点A（4，0），B（4，4），C（2，6），则AC与OB的交点P的坐标为________。
答案：（3，3）
解析：方法一 由O，P，B三点共线，
可设＝λ＝（4λ，4λ），
则＝－＝（4λ－4，4λ）。
又＝－＝（－2，6），
由与共线，得（4λ－4）×6－4λ×（－2）＝0，
解得λ＝，所以＝＝（3，3），
所以点P的坐标为（3，3）。
方法二 设点P（x，y），则＝（x，y），
因为＝（4，4），且与共线，所以＝，
即x＝y。
又＝（x－4，y），＝（－2，6），且与共线，
所以（x－4）×6－y×（－2）＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为（3，3）。
总结提升：
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
（1）如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”。
（2）在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa（λ∈R）。
1. 向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用。
2. 共线向量与平行向量是一组等价的概念。两个共线向量不一定要在一条直线上。当然，同一直线上的向量也是平行向量。
3. 注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆。
4. 实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的。
5. λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍。向量表示与向量a同向的单位向量。
6. 向量共线定理是证明三点共线的重要工具。即三点共线问题通常转化为向量共线问题。
7. 对基底的理解
（1）基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的。平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件。
（2）零向量与任意向量共线，故不能作为基底。
8. 准确理解平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的。
（2）平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决。
9. 向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据. 向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化。
10. 要区分向量终点的坐标与向量的坐标。由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，此时＝（xB－xA，yB－yA）。
11. 向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积。
12. 两个向量共线条件的表示方法
已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），
（1）当b≠0，a＝λb。
（2）x1y2－x2y1＝0。
（3）当x2y2≠0时，，即两向量的相应坐标成比例。
13. 向量共线的坐标表示的应用
（1）已知两个向量的坐标判定两向量共线。联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题。要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行。
（2）已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程。要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据。
（答题时间：40分钟）
1. 已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则（ ）
A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线
C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线
2. 如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上的一个靠近点B的三等分点，那么等于（ ）
A. － B. ＋
C. ＋ D. －
3. 如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则等于（ ）
A. a－b B. a－b
C. a＋b D. a＋b
4. 若||＝||＝|－|＝2，则|＋|＝________。
5. 已知M（3，－2），N（－5，－1），且＝，则P点的坐标为（ ）
A. （－8，1） B.
C. D. （8，－1）
6. 若向量＝＝（2，0），＝（1，1），则＋等于（ ）
A. （3，1） B. （4，2） C. （5，3） D. （4，3）
7. 已知向量a＝（1，2），b＝（－2，t），且a∥b，则|a＋b|等于（ ）
A. B. C. D. 5
8. 已知平面直角坐标系内的两个向量a＝（1，2），b＝（m，3m－2），且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb（λ，μ为实数），则实数m的取值范围是（ ）
A. （－∞，2） B. （2，＋∞）
C. （－∞，＋∞） D. （－∞，2）∪（2，＋∞）
9. 在平面直角坐标系xOy中，已知A（1，0），B（0，1），C为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于（ ）
A. 2 B. C. 2 D. 4
10. 若三点A（1，－5），B（a，－2），C（－2，－1）共线，则实数a的值为________。
11. 设向量a，b满足|a|＝2，b＝（2，1），且a与b的方向相反，则a的坐标为________。
12. （2018·全国Ⅲ）已知向量a＝（1，2），b＝（2，－2），c＝（1，λ）。若c∥（2a＋b），则λ＝________。
13. 已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（k＋1，k－2），若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________。
1. 答案：B
解析：∵＝＋＝2a＋6b＝2，
∴与共线，由于与有公共点B，
因此A，B，D三点共线，故选B。
2. 答案：D
解析：在△CEF中，有＝＋。
因为点E为DC的中点，所以＝。
因为点F为BC上的一个靠近点B的三等分点，
所以＝。
所以＝＋＝＋
＝－，故选D。
3. 答案：D
解析：连接OC，OD，CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，可得∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，且△OAC和△OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，所以＝＋＝＋＝a＋b，故选D。
4. 答案：2
解析：因为||＝||＝|－|＝2，
所以△ABC是边长为2的正三角形，
所以|＋|为△ABC的边BC上的高的2倍，
所以|＋|＝2。
5. 答案：B
解析：设P（x，y），则＝（x－3，y＋2）。
而＝（－8，1）＝，
∴解得
∴P。故选B。
6. 答案：B
解析：＝＋＝（3，1），
又＝－＝（－1，1），
则＝＋＝（1，1），
所以＋＝（4，2）。故选B。
7. 答案：B
解析：根据题意可得1×t＝2×（－2），可得t＝－4，
所以a＋b＝（－1，－2），
从而可求得|a＋b|＝＝，故选B。
8. 答案：D
解析：由题意知向量a，b不共线，
故2m≠3m－2，即m≠2。
9. 答案：A
解析：因为|OC|＝2，∠AOC＝，
所以C（，），
又＝λ＋μ，
所以（，）＝λ（1，0）＋μ（0，1）＝（λ，μ），
所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2。
10. 答案：－
解析：＝（a－1，3），＝（－3，4），
根据题意知∥，
∴4（a－1）＝3×（－3），即4a＝－5，∴a＝－。
11. 答案：（－4，－2）
解析：∵b＝（2，1），且a与b的方向相反，
∴设a＝（2λ，λ）（λ<0）。
∵|a|＝2，
∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2。
∴a＝（－4，－2）。
12. 答案：
解析：由题意得2a＋b＝（4，2），
因为c∥（2a＋b），所以4λ＝2，得λ＝。
13. 答案：k≠1
解析：若点A，B，C能构成三角形，
则向量，不共线。
∵＝－＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2），
＝－＝（k＋1，k－2）－（1，－3）＝（k，k＋1），
∴1×（k＋1）－2k≠0，解得k≠1。
平面向量的数量积
重点
平面向量数量积的概念及其应用
难点
对平面向量数量积的概念的理解以及平面向量数量积的应用
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题、解答题
Ø 难度 中等
核心知识点一：平面向量数量积的概念
1. 向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB就是与的夹角
设θ是与的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°
θ＝0°或θ＝180°⇔∥
θ＝90°⇔⊥
2. 数量积的概念
已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即，其中θ是与的夹角。
【注】零向量与任一向量的数量积为0。
注意
（1）两向量的数量积其结果是数量，而不是向量；其符号由夹角的余弦值决定；
（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，决不可混淆；
（3）在运用向量公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是。
3. 投影的概念
设非零向量与的夹角是θ，则（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影。
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度。
4. 数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积。
核心知识点二：平面向量数量积的运算律
1. 已知向量和实数，则
（1）交换律：；
（2）数乘结合律：；
（3）分配律：。
核心知识点三：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质
设非零向量，是与的夹角。
（1）数量积：。
（2）模：。
（3）夹角： 。
（4）垂直与平行：；∥⇔·=±||||。
【注】当与同向时，；当与反向时，。
（5）性质：|·|≤||||（当且仅当∥时等号成立）⇔
。
典例一：数量积的简单运算
例题1 （1）设＝（1，2），＝（3，4），＝（3， －2），则（＋2）·＝________。
（2）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，则·＝________。
答案：（1）1 （2）6
解析：（1）因为＋2＝（1，2）＋2（3，4）＝（7，10），
所以（＋2）·＝（7，10）·（3， －2）＝1。
（2）法一：由题意知，AC＝BC＝2，AB＝2，所以·＝·（＋）=·＋·＝||·||cos 45°＋||·||cos 45°＝2×2×＋2×1×＝6。
法二：建立如图所示的平面直角坐标系：
由题意得A（0，2），B（－2，0），D（－1，0），所以＝（－2，0）－（0，2）＝（－2，－2），
＝ （－1，0）－（0，2）＝（－1，－2），所以＝－2×（－1）＋（－2）×（－2）＝6。
故答案为：6。
总结提升：
向量数量积的2种运算方法
方法
运用提示
适用题型
定义法
当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即·＝||·||cos θ
适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题
坐标法
当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则·＝x1x2＋y1y2
适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题
典例二：数量积性质的应用
例题2 （1）已知向量，满足||＝1，（＋）·（－2）＝0，则||的取值范围为（ ）
A. [1，2] B. [2，4] C. D.
（2）若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
答案：（1）D （2）A
解析：（1）由题意知≠0，设向量，的夹角为θ，因为（＋）·（－2）＝2－·－22＝0，又||＝1，所以1－||cos θ－2||2＝0，所以||cos θ＝1－2||2，因为－1≤cos θ≤1，所以－||≤1－2||2≤||，所以≤||≤1，所以||的取值范围是。
（2）由题得；
，
，
所以；
；
又；
的夹角为。
故选A。
1. 平面向量数量积求解问题的策略：
（1）求两向量的夹角：，要注意θ∈[0，π]。
（2）求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①2＝·＝||2或|
②。
③若＝（x，y），则||＝。
（3）两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：⊥⇔·＝0⇔|－|＝|＋|。
2. 平面向量与几何综合问题的求解方法：
（1）坐标法；把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决；
（2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解。
（答题时间：30分钟）
1. 若，则与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D. 1
2. 已知向量与的夹角为，，，则（ ）
A. B. C. 2 D. 4
3. 在△ABC中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
4. 已知，，则在上的投影为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，，且，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 已知向量，的夹角为60°，且，则与的夹角等于（ ）
A. 150° B. 90°
C. 60° D. 30°
7. 已知向量，则________。
8.（南京开学考试）在△ABC中，点P是边AB的中点，已知CA＝4，CP＝，∠ACB＝，则的值为______。
9. 已知向量，。
（1）若与垂直，求实数的值；
（2）求向量在方向上的投影。
10. （扬州期中）在△ABC中，已知，设∠BAC＝。
（1）求tan的值；
（2）若，（0，），求cos（﹣）的值。
1. 答案：A
解析：由向量，则与夹角的余弦值为，故选A。
2. 答案：C
解析：由题意得，
因为向量与的夹角为，，，所以，
所以，
所以，所以选择C。
3. 答案：A
解析：因为△ABC中，，所以与的夹角为，由数量积的定义可得
故选A。
4. 答案：C
解析：在上的投影为：，本题选C。
5. 答案：C
解析：因为向量，，由向量减法的运算可得
又因为，则
即
解得
所以选C。
6. 答案：C
解析：由题意可得=2×1cos60°=1，设向量与的夹角等于θ，
∵（）2=–2+=4–2×1+1=3，（）2=+4+4=4+4×1+4=12，∴||=，||==2，而（）（）=+–2=4+1–2=3，由此可得cosθ=。再由0°≤θ≤180°，可得θ=60°，故选C。
7. 答案：2
解析：因为向量，所以，
8. 答案：6
解析：如图所示：
，则，所以；又。
故答案为：6。
9. 解：（1），
与垂直，
，解得：。
（2）向量在方向上的投影为：，
。
10. 解：（1）由，得，
所以，又因为，所以。
∴
（2）∵， ∴
由（1）知：
∴。
