高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念导学案

 6.1  平面向量的概念

【学习目标】

【自主学习】

一、向量的概念和表示方法

1．向量：在数学中，我们把既有    又有     的量叫做向量．

2．向量的表示

(1)表示工具——有向线段．

有向线段包含三个要素：      ，      ，      ．

(2)表示方法：

向量可以用          表示，向量的大小称为向量的    (或称模)，记作      .向量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，.

思考

（1）有向线段就是向量，向量就是有向线段吗？

（2）两个向量可以比较大小吗？同方向的两个向量可以比较大小吗？

（3）两个向量的长度可以比较大小吗？

二、向量的模及两个特殊向量

(1)向量的模(长度)：向量的大小，称为向量的______ (或称模)，记作______．

(2)零向量：长度为______的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于__________________的向量．

思考

（1）零向量的方向是什么？

（2）两个单位向量方向相同吗？

三、相等向量与共线向量

1.        且        的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a＝b.

2.方向          的非零向量叫做平行向量，如果向量a，b平行，记作a∥b.任一组    向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做        ．

3.规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a.

【小试牛刀】

1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同.(　　)

(2)向量就是有向线段．(　　)

(3)两个向量平行时，表示向量的有向线段一定在同一条直线上．(　　)

(4)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．(　　)

(5)零向量是最小的向量．(　　)

(6)任意两个单位向量都相等.(　　)

2.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有            。        

【经典例题】

题型一  向量的概念

点拨：1.判断一个量是否为向量的两个关键条件：①大小；②方向．

2.理解零向量和单位向量应注意的问题：

①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；

②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向；但是单位向量长度相等。　

例1  下列说法中正确的是(　　)

A. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小

B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小

C．向量的大小与方向有关

D．向量的模可以比较大小

【跟踪训练】1 给出下列说法：

①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等，其中正确的是________(填上序号)．

题型二  向量的表示及应用

点拨：用有向线段表示向量的步骤

（1）定起点：先确定向量的起点；

（2）定方向：再确定向量的方向；

定终点：根据向量的长度确定向量的终点。

例2  在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上；

(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；

(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．

【跟踪训练】2 一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．

(1)作出向量，，；

(2)求||.

题型三  相等向量与共线向量

点拨：寻找相等向量的方法：

先找长度相等的向量，再确定哪些是同向的共线向量。

寻找共线向量的方法：

先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量，注意不要漏掉以已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量。

例3 （课本P4例2）如图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心。

（1）写出图中的共线向量；

（2）分别写出图中与,,相等的向量。

【跟踪训练】3

在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，如图．

(1)写出与向量共线的向量．

(2)求证：＝.

【当堂达标】

1.下列说法正确的是(　　)

A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行

B．终点相同的两个向量不共线

C．若|a|>|b|，则a>b

D．单位向量的长度为1

2.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________．

3.如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为________．

4.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有     个.

5.如图所示，△ABC中三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．

（1）写出与共线的向量；

（2）写出与长度相等的向量；

（3）写出与相等的向量。

【课堂小结】

1．向量是既有大小又有方向的量，借助于向量，我们将代数问题和几何问题互化．

2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．

3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行．

【参考答案】

【自主学习】

一、大小 方向 起点 方向 长度 有向线段 长度 ||

思考：（1）有向线段只是一个几何图形，是向量的直观表示．因此，有向线段与向量是完全不同的两个概念．

（2）因为向量既有大小，又有方向，所以不能比较大小；同方向的向量也不能比较大小。

（3）可以。

二、长度 ||  0 1个单位长度

思考：（1）零向量方向是任意的。

（2）两个单位向量的方向不一定相同。

三、长度相等 方向相同  相同或相反 平行 共线向量

【小试牛刀】

1.× × × √ × ×

2.②③④⑤

【经典例题】

例1  D 解析：(1)不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D正确．

【跟踪训练】1 ②③④  解析：由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正确．

例2 【解】(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，又||＝4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是确定点A的位置，画出向量．

(2)由于点B在点A正东方向上，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示．

(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，画出向量．

【跟踪训练】2

例3

【跟踪训练】3

【当堂达标】

1.D 解析：A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．

2.0 解析：因为A，B，C不共线，所以与不共线．

又m与，都共线，所以m＝0.

3.解析：根据题意，在正△ABC中，有向线段AD的长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为.

4.24

5.