高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品当堂检测题

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一．平面向量基本定理
1.定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2
2.基底：不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
二．平面向量的正交分解及坐标表示
1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2．平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底．对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得＝x＋y，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作＝(x，y)，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．显然，＝(1,0)，＝(0,1)，＝(0,0).
三．平面向量的加、减运算的坐标表示
平面向量的坐标运算法则：＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则
1.加法：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和，即＋＝(x1＋x2，y1＋y2)
2.减法：两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 ，即－＝(x1－x2，y1－y2)
3.两点求坐标：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \(AB,\s\up7(―→))＝(x2－x1，y2－y1)
平面向量数乘运算的坐标表示
1.已知＝(x，y)，λ∈R，则λ＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应坐标．
2.中点坐标公式
若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))此公式为线段P1P2的中点坐标公式.
3.平面向量共线的坐标表示
设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中b≠0.
则，共线的充要条件是存在实数λ，使＝λ.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量，(≠0)共线.
可简记为：纵横交错积相减.
五．在平面向量数量积的坐标表示：
1.已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
2.平面向量的模与夹角的坐标表示：
(1)向量的模长公式：若＝(x，y)，则||＝eq \r(x2＋y2)．
（2）两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).
(3)向量的夹角公式：设，都是非零向量，＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是与的夹角，
则cs θ＝＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))．
(4)两个向量垂直的充要条件：设非零向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．
知识简用
题型一 平面向量的基本定理
【例1-1】如图，在中，为的中点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-3】在平行四边形ABCD中，，G为EF的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-4】在平行四边形中，分别是的中点，交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-5】已知在中，点为上的点，且，若，则（ ）
A．B．0C．D．1
题型二 平面向量线性运算的坐标表示
【例2-1】已知，且点，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
【例2-3】已知向量，则的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【例2-4】已知向量，则（ ）
A．(1，－2)B．(1，2)
C．(5，6)D．(2，0)
题型三 平面向量垂直平行的坐标运算
【例3-1】已知向量，若∥，则等于（ ）
A．3B．C．D．
【例3-2】已知向量，，且，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
【例3-3】设，向量，且，则等于（ ）
A．B．C．3D．4
【例3-4】已知为坐标原点，且，若三点共线，则实数_____．
【例3-5】已知，.
(1)当为何值时，与共线；
(2)若，且三点共线，求的值.
题型四 平面向量数量积的坐标表示
【例4-1】已知向量，，则（ ）
A．B．2C．D．
【例4-2】已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．1B．C．D．-1
【例4-3】平面向量与的夹角为，则（ ）
A．B．C．4D．12
【例4-4】（多选）设向量，，则（ ）
A．B．
C．D．与的夹角为
【例4-5】（多选）已知向量，，若，则（ ）
A．或B．或
C．或D．或
6.3 平面向量基本定理及坐标表示（精讲）
思维导图
典例精讲
考点一 平面向量的基本定理
【例1-1】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】中，点为上的点，且，若 ，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-4】如图，中，，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．在平行四边形中，分别是的中点，交于点，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于（ ）
A．1B．C．D．
3．在平行四边形中，分别是的中点，，，则（ ）
A．B．C．D．
考点二 基底的选择
【例2】若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【一隅三反】
1．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
2．已知，是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能做基底的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
3．已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
考点三 平面向量的坐标表示
【例3-1】已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】向量，，．若三点共线，则的值为（ ）
A．B．1C．或11D．2或
【例3-3】设平面向量，满足，，，则在上投影向量的模为（ ）.
A．B．C．3D．6
【例3-4】与向量平行的单位向量是（ ）
A．B．
C．或D．或
【例3-4】（多选）下列说法中正确的有（ ）
A．已知在上的投影向量为且，则；
B．已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是；
C．若非零向量满足，则与的夹角是.
D．在中，若，则为锐角；
【一隅三反】
1．已知，是单位向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，.若不超过5，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，，，则（ ）
A．B．C．5D．25
4．（多选）已知向量，，，，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．的最小值为
考点四 巧建坐标
【例4-1】如图在中，，为中点，，，，则（ ）
A．-15B．-13C．13D．14
【例4-2】（多选）已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是，上的点，且，，与交于点O，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在方向上的投影为
【一隅三反】
1．在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在边长为2的正方形中，是的中点，则（ ）
A．2B．C．D．4
3．已知是边长为a的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
考点五 奔驰定理
【例5-1】是所在平面内一点，，则与的面积比为_____
【例5-2】点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A．B．3C．D．
【例5-3】已知是三角形内部一点，满足，，则实数（ ）
A．2B．3C．4D．5
【一隅三反】
1．已知P是内部一点，且，则面积之比为（ ）
A．1：3：5B．5：3：1C．1：9：25D．25：9：1
2．已知D为△ABC所在平面内一点，AD交BC于点E，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．点为内一点，，则的面积之比是___________.
考点六 平面向量与四心
【例6-1】（多选）已知为所在平面内的点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为的中点
B．若，则为的重心
C．若，则为的垂心
D．若，则在的中位线上
【例6-2】（多选）点在所在的平面内，（ ）
A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心
B．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心
C．若，，分别表示，的面积，则
D．已知三个内角，，的对边分别是，，，若，则点为的内心（内切圆圆心）
【一隅三反】
1．设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知点在所在的平面内，满足，则动点的轨迹一定通过的（ ）
A．内心B．垂心C．外心D．重心
3．已知点是所在平面内的一个动点，满足（，则射线经过的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
6.3 平面向量基本定理及坐标表示（精练）
1．如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，则可以表示为（ ）
A．B．C．D．
2．已知平行四边形中，，，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．已知点、，且，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，且，则的值为（ ）
A．5B．10C．15D．20
5．（多选）已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（ ）
A．和B．和 C．和D．和
6．（多选）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为的中点，则结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（多选）已知向量，若，则以下结论正确的是（ ）
A．时与同向B．时与同向
C．时与反向D．时与反向
8．如图四边形ABCD为平行四边形，，若，则的值为
A．B．C．D．1
9．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（多选）设向量，，则 （ ）
A．B．
C．D．与的夹角为
11．（多选）已知，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．的最小值为5D．若向量与向量的夹角为钝角，则
12．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________.
13．已知点是所在平面内的一点，若，则__________．
14．点是所在平面内一点，若，则_______.
15．已知平面向量，，.
(1)若，求；
(2)若与的夹角为锐角，求x的取值范围.
16．已知向量，，.
(1)若，，三点共线，求实数的值；
(2)若为锐角，求实数的取值范围.
1．向量，且向量与向量方向相同，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多选）已知向量，其中m，n均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A．与的夹角为钝角B．向量在方向上的投影为
C．D．的最大值为2
3．（多选）已知向量=（2，1），，则（ ）
A．若，则B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为D．
4.（多选）已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，则第四个顶点的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
5．（多选）已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A．B．若，则
C．存在唯一的使得D．的最大值为
6．如图所示，在中，点是的中点，且与相交于点，若，则满足（ ）
A．B．
C．D．
7．（多选）在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（多选）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是的重心，动点P满足，则点P一定不是（ ）
A．边中线的中点
B．边中线的三等分点（非重心）
C．的重心
D．边的中点
9．（多选）已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．3
10．（多选）在△ABC中，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．若，则是等腰三角形
D．若则是锐角三角形
11．已知向量＝(1，1)，＝(1，－1)，＝(cs α， sin α)(α∈R)，实数m，n满足m＋n＝，则(m－3)2＋n2的最大值为________．
12．已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____．
13．已知点，其中，则的取值范围为___________.
14．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．