高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用精品综合训练题
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用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
二.向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题,一般来说分为四个步骤:
(1)问题转化,即把物理问题转化为数学问题.
(2)建立模型,即建立以向量为载体的数学模型.
(3)求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等.
(4)回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.
知识简用
题型一 平面向量在物理上的应用
【例1-1】若平面上的三个力作用于一点,且处于平衡状态.已知,与的夹角为,则力的大小为( ).
A.7B.C.D.1
【例1-2】加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为,每只胳膊的拉力大小均为,则该学生的体重(单位:)约为(参考数据:取重力加速度大小为)( )
A.B.61C.75D.60
题型二 平面向量在几何中的应用
【例2-1】在中,为中线上的一个动点,若,则的取值范围是_____.
【例2-2】如图,在矩形ABCD中,,E为边AB上的任意一点(包含端点),O为AC的中点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
题型三 正余弦定理在实际中的应用
【例3-1】如图,从无人机上测得正前方的峡谷的两岸,的俯角分别为,,若无人机的高度是,则此时峡谷的宽度是( )
A.60B.C.30D.
【例3-2】一艘海轮从处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行,1小时后到达处,在处有一座灯塔,海轮在处观察灯塔,其方向是南偏东,在处观察灯塔,其方向是北偏东,那么两点间的距离约为( )
A.海里B.海里C.海里D.海里
【例3-3】某渔船由于引擎故障滞留在海上的C位置,一艘快艇负责救援,快艇从A岛出发,沿南偏西30°行驶了300海里到达B位置,发现偏航后及时调整,沿北偏西30°行驶了100海里到达C位置,则A岛与渔船发生故障的C位置间距离为( )
A.海里B.海里C.海里D.海里
【答案】A
【例3-4】一海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东,在B处观察灯塔,其方向是北偏东,那么B,C两点间的距离是( )
A.海里B.海里C.海里D.海里
题型四 正余弦定理在几何中的运用
【例4-1】如图所示,在四边形ABCD中,,,
(1)求BC;
(2)若BD为的平分线,试求BD.
【例4-2】如图,在中,,,且点在线段上.
(1)若,求的长;
(2)若,,求的面积.
【例4-3】在平面四边形ABCD中,,,.
(1)若△ABC的面积为,求AC;
(2)若,,求.
6.4.2 平面向量的应用(精讲)
思维导图
典例精讲
考点一 平面向量在物理上应用
【例1】在日常生活中,我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示).假设行李包所受的重力为,所受的两个拉力分别为,,且,与的夹角为,则以下结论不正确的是( )
A.的最小值为 B.的范围为
C.当时, D.当时,
【一隅三反】
1.一条东西方向的河流两岸平行,河宽,河水的速度为向正东.一艘小货船准备从河南岸码头P处出发,航行到河对岸Q(与河的方向垂直)的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货,若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为,则当小货船的航程最短时,小货船航行速度的大小为( )
A.B.C.D.
2.长江某地南北两岸平行,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为,水流的速度的大小为.设和的夹角为,北岸的点在A的正北方向,则游船正好到达处时,等于( )
A.B.C.D.
3.(多选)如图所示,小船被绳子拉向岸边,船在水中运动时,设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中( )
A.船受到的拉力不断增大B.船受到的拉力不断变小
C.船受到的浮力不断变小D.船受到的浮力保持不变
考点二 平面向量在几何中的应用
【例2-1】在梯形ABCD中,,,,,若EF在线段AB上运动,且,则的最小值为( )
A.5B.C.4D.
【例2-2】在中,,边的中点为D,且,则的最大值为( )
A.B.C.D.
【一隅三反】
1.如图,在直角梯形ABCD中,,,,,P是线段AB上的动点,则的最小值为( )
A.B.5C.D.7
2.是边长为6的等边三角形,点,分别在边,上,且,则的最小值为( )
A.B.C.D.
3.如图,在等腰直角中,斜边,为线段BC上的动点,且,则的最小值为( )
A.B.C.4D.6
考点三 正余弦定理在实际生活应用
【例3】一艘轮船沿北偏东28°方向,以18海里/时的速度沿直线航行,一座灯塔原米在轮船的南偏东32°方向上,经过10分钟的航行,此时轮船与灯塔的距离为海里,则灯塔与轮船原来的距离为( )
A.2海里B.3海里C.4海里D.5海里
【一隅三反】
1.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取、两点,从、两点分别测得树尖的仰角为、,且、两点之间的距离为,则树的高度为( )
A.B.C.D.
2.如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图,为测量大跳台最高点距地面的距离,小明同学在场馆内的点A测得的仰角为(单位:),点在同一水平地面上,则大跳台最高高度( )
A.B.
C.D.
3.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进60m到达点B,在点B处测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是( )
A.25mB.30mC.35mD.40m
考点四 正余弦定理与三角函数性质
【例4】设函数,其中向量,.
(1)求的最小值;
(2)在△中,,,分别是角,,所对的边,已知,,△的面积为,求的值.
【一隅三反】
1.已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)在锐角中,角,,所对的边分别为,,,若,,且的面积为,求.
2.已知向量,,函数.
(1)求函数的零点;
(2)若钝角的三内角的对边分别是,,,且,求的取值范围.
3.已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期及单调递增区间;
(Ⅱ)在锐角中,设角、、所对的边分别是、、,若且,求的取值范围.
考点五 正余弦定理的最值问题
【例5-1】在锐角中,角的对边分别为,且满足.
(1)求角的大小;
(2)求的取值范围.
【例5-2】△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cs2A+cs2B+2sinAsinB=1+cs2C.
(1)求角C;
(2)设D为边AB的中点,△ABC的面积为,求CD的最小值.
【一隅三反】
1.请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.
①;
②;
③.
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 .
(1)求角C;
(2)若,求△ABC周长的取值范围.
2.已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,是的面积,.
(1)证明:A=2C;
(2)若a=2,且为锐角三角形,求b+2c的取值范围.
3.在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.己知.
(1)求A;
(2)若,且,求的取值范围.
考点六 正余弦定理在几何中应用
【例6】图,△ABC中,点D为边BC上一点,且满足.
(1)证明:;
(2)若AB=2,AC=1,,求△ABD的面积.
【一隅三反】
1.在平面四边形中,,,.
(1)若,求的长;
(2)求四边形周长的最大值.
2.如图,在平面四边形中,,.
(1)若平分,证明:;
(2)记与的面积分别为和,求的最大值.
3.如图,在梯形中,,.
(1)若,求周长的最大值;
(2)若,,求的值.
6.4.2 平面向量的应用(精练)
1.艘客船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东方向,之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时测得船与灯塔S相距海里,则灯塔S在B处的( )
A.北偏东B.北偏东或南偏东
C.南偏东D.以上方位都不对
2.(多选)在中,内角,,所对的边分别为,,,,内角的平分线交于点且,则下列结论正确的是( )
A.B.的最小值是2
C.的最小值是D.的面积最小值是
3.(多选)设,,分别为锐角三个内角,,的对边,且,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.的取值范围是D.的取值范围是
4.一条东西方向的河流两岸平行,河宽,河水的速度为向东2.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发,航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距250的码头C处卸货.若流水的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6,则当小货船的航程最短时,小货船航行的速度大小是___________.
5.2021年6月,位于聊城开发区的中华路徒骇河大桥建成通车,成为聊城市的又一大地标性建筑.某人想了解大桥的最高点到地面的距离,在地面上的两点测得最高点的仰角分别为(点与在地面上的投影O在同一条直线上),又量得米,根据测量数据可得高度______米.
6.宝塔山是延安的标志,是革命圣地的象征,也是中国革命的摇篮,见证了中国革命的进程,在中国老百姓的心中具有重要地位.如图,在宝塔山的山坡A处测得,从A处沿山坡直线往上前进到达B处,在山坡B处测得,,则宝塔CD的高约为_________m.(,,结果取整数)
7.若在中,,则面积S的取值范围是___________.
8.在锐角中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足.若的外接圆的面积为,则三角形面积的取值范围是____________.
9.如图,在中,,AB=8,点D在边BC上,,CD=2.
(1)求的值;
(2)求的值.
10.在平面四边形中,,,.
(1)若的面积为,求;
(2)记,若,,求.
11.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c、满足.
(1)求角B的大小;
(2)若,求的面积的最大值.
12.在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角B的大小;
(2)若,求周长的取值范闱.
13.在平面四边形ABCD中,AD=BD=1,.
(1)求四边形ABCD面积的最大值;
(2)求对角线AC长的取值范围.
14.已知函数.
(1)求函数在区间上的严格减区间;
(2)在中,所对应的边为,且,求面积的最大.
15.在中,.
(1)求的大小;
(2)若,证明:.
16.如图,已知△ABC内有一点P,满足.
(1)证明:.
(2)若,,求PC.
17.在①,②两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.
在中,内角所对的边分别是,且__________.
(1)求角;
(2)若点满足,且线段,求的最大值.
18.已知,,
(1)求的最小正周期及单调递减区间;
(2)已知锐角的内角的对边分别为,且,,求边上的高的最大值.
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