人教版数学八年级下册精讲精练16.1 二次根式（含答案详解）

二次根式16.1二次根式考点一：二次根式的概念一般地，我们把形如 EQ \r(,a) （a≥0）的式子叫做二次根式，“ EQ \r(, ) ”称为二次根号。正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ EQ \r(, ) ”，“ EQ \r(, ) ”的根指数为2，即“ EQ \R(2, ) ”，我们一般省略根指数2，写作“ EQ \r(, ) ”。如 EQ \R(2,5 ) 可以写作 EQ \r(,5 ) 。二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。式子 EQ \r(,a) 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， EQ \r(,a) ≥0。其中a≥0是 EQ \r(,a) 有意义的前提条件。在具体问题中，如果已知二次根式 EQ \r(,a) ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。形如b EQ \r(,a) （a≥0）的式子也是二次根式，b与 EQ \r(,a) 是相乘的关系。要注意当b是分数时不能写成带分数，例如 eq \f(8,3)  EQ \r(,2) 可写成 eq \f(8 EQ \r(,2) ,3) ，但不能写成2  eq \f(2,3)  EQ \r(,2) 。考点二、二次根式的性质题型一：二次根式的定义1．（2021·上海市实验学校八年级期中）在式子 SKIPIF 1 < 0 （x＞0）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （x＞0）中，二次根式有（　　）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个2．（2021·全国·八年级专题练习）当 SKIPIF 1 < 0 为实数时，下列各式中是二次根式的是（ ）个 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 A． SKIPIF 1 < 0 个 B． SKIPIF 1 < 0 个 C． SKIPIF 1 < 0 个 D． SKIPIF 1 < 0 个3．（2020·内蒙古·北京师范大学乌海附属学校八年级期中）a是任意实数，下列各式中：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 ，一定是二次根式的个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4题型二：二次根式有意义的条件4．（2022·广东东莞·八年级期末）若式子 SKIPIF 1 < 0 有意义，则x的取值范围为（ ）A．x≥2 B．x≠3 C．x≤2或x≠3 D．x≥2且x≠35．（2022·河北·石家庄市第八十一中学八年级期末）代数式 SKIPIF 1 < 0 在实数范围内有意义，则x的值可能为（　　）A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．16．（2021·贵州毕节·八年级阶段练习）若式子 SKIPIF 1 < 0 有意义，则实数m的取值范围是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 题型三：利用二次根式的性质化简7．（2022·江苏·沭阳县怀文中学八年级期末）若 SKIPIF 1 < 0 成立，则x的取值范围是（ ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D．任意实数8．（2022·福建省福州第十六中学八年级期末）化简 SKIPIF 1 < 0 的结果是（ ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D．19．（2021·重庆·八年级期中）如果 SKIPIF 1 < 0 成立，那么实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）A．a>0 B.a0，b>0且 SKIPIF 1 < 0  ( SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 )＝3 SKIPIF 1 < 0  ( SKIPIF 1 < 0 ＋5 SKIPIF 1 < 0 )，求 SKIPIF 1 < 0 的值二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意 EQ \r(,a) （a≥0）的性质 EQ \r(,a) ≥0（a≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。（1）二次根式的非负性（ EQ \r(,a) ≥0，a≥0）应用较多，如： EQ \r(,a+1) + EQ \r(,b-3) =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如 EQ \r(,x-a) + EQ \r(,a-x) ，则x的取值范围是x-a≥0，a-x≥0，解得x=a。（2）具有非负性的性质： = 1 \* GB3 ①a2≥0； = 2 \* GB3 ②｜a｜≥0； = 3 \* GB3 ③ EQ \r(,a) ≥0（a≥0）。（3）若a2+｜b｜+ EQ \r(,c) =0，则a=0，b=0，c=0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。 EQ \r(,a) （a≥0）的最小值为0。（ EQ \r(,a) ）2（a≥0）的性质（ EQ \r(,a) ）2 = a（a≥0）一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。正用公式：（ EQ \r(,5) ）2 =5；（ EQ \r(,m2+1) ）2=m2+1；逆用公式：若a≥0，则a=（EQ \r(,a)）2如：2=（EQ \r(,2)）2，eq \f(1,2)=（ EQ \r(, eq \f(1,2))）2逆用公式可以在实数范围内分解因式，如a2-5=a2-（ EQ \r(,5) ）2 =(a+ EQ \r(,5) )(a- EQ \r(,5) ) eq \r(,a2) 的性质 eq \r(,a2) =｜a｜=a（a≥0）或 eq \r(,a2) =｜a｜= - a（a＜0）一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。（1）正用公式： eq \r(,（3-π)2) =｜3-π｜=3-π （2）逆用公式：3 eq \r(, eq \f(1,3) ) = eq \r(,32× eq \f(1,3) ) =3化简形如 eq \r(,a2) 的式子时，先转化为｜a｜形式，再根据a的符号去掉绝对值号。1．C【解析】【分析】根据二次根式的定义求解即可．二次根式：一般地，形如 SKIPIF 1 < 0 的代数式叫做二次根式，其中 SKIPIF 1 < 0 ．【详解】解：式子 SKIPIF 1 < 0 （x＞0）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （x＞0）中，二次根式有： SKIPIF 1 < 0 （x＞0）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，共3个．故选：C．【点睛】此题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义．二次根式：一般地，形如 SKIPIF 1 < 0 的代数式叫做二次根式，其中 SKIPIF 1 < 0 ．2．B【解析】【分析】直接利用二次根式的定义，形如 SKIPIF 1 < 0 的代数进行分析得出答案．【详解】解： SKIPIF 1 < 0 是二次根式的有： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共4个．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，形如 SKIPIF 1 < 0 的代数式，正确把握定义是解题关键．3．C【解析】【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．【详解】∵二次根式 SKIPIF 1 < 0 必须满足 SKIPIF 1 < 0 ∴只有②③④可以确定被开方数非负一定是二次根式的个数是3个故选C【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键．4．D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再根据分式有意义的条件可得x﹣3≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：x﹣2≥0，且x﹣3≠0，解得：x≥2，且x≠3，故选：D．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．5．D【解析】【分析】代数式 SKIPIF 1 < 0 在实数范围内有意义，可列不等式组 SKIPIF 1 < 0 得到不等式组的解集，再逐一分析各选项即可.【详解】解： SKIPIF 1 < 0  代数式 SKIPIF 1 < 0 在实数范围内有意义， SKIPIF 1 < 0  由①得： SKIPIF 1 < 0  由②得： SKIPIF 1 < 0  所以： SKIPIF 1 < 0  故A，B，C不符合题意，D符合题意，故选D【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，掌握“分式与二次根式的综合形式的代数式有意义的条件”是解本题的关键.6．A【解析】【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【详解】解：由题意得： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0．7．A【解析】【分析】根据实数的性质及去绝对值的方法即可求解．【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ∴x-2≤0∴ SKIPIF 1 < 0 故选A．【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知平方根的性质及去绝对值的方法．8．D【解析】【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 确定 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，将 SKIPIF 1 < 0 里面的数化成完全平方形式，利用二次根式的性质去根号，然后合并同类项即可．【详解】解：由 SKIPIF 1 < 0 可知： SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 故原式化简为： SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．【点睛】本题主要是考查了去二次根号以及二次根式的基本性质，熟练掌握二次根式的性质，求解该题的关键．9．B【解析】【分析】运用完全平方公式将二次根式进行化简，然后根据绝对值的化简得出不等式求解即可．【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，∴，a-32，∴ SKIPIF 1 < 0 ；故选D．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．13．B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．【详解】解：由题意得，5x﹣1≥0，解得，x≥ SKIPIF 1 < 0 ，故选B．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．14．C【解析】【详解】试题分析：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，∴ SKIPIF 1 < 0 .故选C．考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴．15．A【解析】【详解】试题解析：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．2xy=2×2.5×（-3）=-15，故选A．16．B【解析】【分析】本题需注意的是 SKIPIF 1 < 0 的符号，根据被开方数不为负数可得出 SKIPIF 1 < 0 ，因此需先将 SKIPIF 1 < 0 的负号提出，然后再将 SKIPIF 1 < 0 移入根号内进行计算．【详解】解： SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ．故选B．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．需注意二次根式的双重非负性， SKIPIF 1 < 0 ．17．A【解析】【详解】依题意可得，-10m＞0且是完全平方数，因此可求得m＜0，所以满足条件的m的值为-10.故选A.18．A【解析】【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案．【详解】解：由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0，∴ SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =-2故选A.【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．19．D【解析】【分析】先根据ab＞0，a＋b＜0，判断出a、b的符号，再逐个式子分析即可.【详解】∵ab＞0，a＋b＜0，∴a