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人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合达标测试
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合达标测试，文件包含人教版高中数学选择性必修三精讲精练621排列及排列数原卷版docx、人教版高中数学选择性必修三精讲精练621排列及排列数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
考法一 排列的判断
【例1-1】（2022秋·高二课时练习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
【答案】B
【解析】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序，
因而不是排列问题，不合题意；
选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人，
是排列问题，适合题意；
选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点
即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意；
选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果，
这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意.
故选：B．
【例1-2】（2023北京）从集合中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？
上面四个问题属于排列问题的是（ ）
A．①②③④B．②④C．②③D．①④
【答案】B
【解析】∵加法满足交换律，∴①不是排列问题；
∵除法不满足交换律，∴②是排列问题；
若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有，故③不是排列问题；
在双曲线中不管还是，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故④是排列问题．
故选：B．
【一隅三反】
1．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
【答案】D
【解析】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；
B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；
C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；
D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．
故选：D
2．（2023春·新疆塔城·高二统考期中）下列问题属于排列问题的是（ ）
A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳
B．从10人中选2人去游泳
C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数
【答案】AD
【解析】对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；
对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；
对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；
对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题．
故选：AD
3．（2023·全国·高二专题练习）给出下列问题：
①从2、3、5、7、11中任取两数相乘，可得多少个不同的积？
②从2、3、5、7、11中任取两数相除，可得多少个不同的商？
③从2、3、5、7、11中任取两数相加，可得多少个不同的和？
以上问题中，属于排列问题的是 ．（写出所有满足要求的问题序号）
【答案】②
【解析】对于①，从2、3、5、7、11中任取两数相乘，且乘法满足交换律，故不是排列问题;
对于②，从2、3、5、7、11中任取两数相除，且除法不满足交换律，故是排列问题;
对于③，从2、3、5、7、11中任取两数相加，且加法满足交换律，故不是排列问题;
故答案为：②
考法二 排列数
【例2-1】（2023·广西）计算：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)60(2)120(3)5040(4)1256640
【解析】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【例2-2】解不等式或方程
(1)=2；(2).（3）
【答案】(1)n=5 (2)x=8（3）
【解析】（1）因为=2，由，解得，
由原式可得，解得或．又因为，所以．
（2）因为<6，由，解得且，由原不等式可得，
化简可得，解得，又且，所以．
（3）由题意可知，且，
因为，，，
所以原不等式可化为，
整理得，解得，所以原不等式的解集为.
【例2-3】（2023广东潮州）求证：（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）右式左式，故等式成立；
（2）左式右式，故等式成立.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高二随堂练习）计算：
(1)；(2)．（3）（4）
【答案】(1)348；(2)64.（3） （4）
【解析】（1）.
（2）.
（3）因为，，，
所以不等式可化为，
解得，又，，
所以不等式的解集为．
（4）由题设，则，
所以，可得或，
又且，则且，所以.
2.（2023云南）求证：
(1)； (2)．（3）；
（4）.
【答案】证明见解析
【解析】（1）证明：.
（2）证明：.
（3）左边右边，
∴结论成立，即；
（2）当时，左边
右边，∴结论成立，即.
考法三 排列之排队
【例3】5（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二校考期末）现有8个人（5男3女）站成一排．
(1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
(2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
(4)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
(5)甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？
(6)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
【答案】(1)5040
(2)4320
(3)21600
(4)20160
(5)14400
(6)2880
【解析】（1）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有种情况，
则甲必须站在排头有种排法；
（2）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有种；
（3）根据题意，将甲、乙两人安排在中间6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，
则甲、乙两人不能排在两端有种排法；
（4）根据题意，将8人全排列，有种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，
则甲在乙的左边有种不同的排法；
（5）根据题意，将甲、乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，甲、乙不能排在前3位，有种不同排法；
（6）根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，
则女生两旁必须有男生，有种不同排法．
【一隅三反】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）
A．18种B．24种C．30种D．36种
【答案】C
【解析】当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其余人全排列，有种站法；
当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排，
有种站法，所以一共有种不同的站法．
2．（2023春·甘肃临夏·高二校考开学考试）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．48种B．36种C．24种D．20种
【答案】A
【解析】依题意，“礼”在第一次，固定，
“射”和“御”两次相邻，两者捆绑，与另外艺进行排列，
所以“六艺”讲座不同的次序共有种，故选：A
3．（2023·河北·统考模拟预测）某班一天上午有四节课，现要安排该班上午的课程表，从语文、数学、英语、物理、体育科中选出科排到课表中，体育课不能排到第一节，且数学和物理两科不能相邻，则不同的排课方案共有（ ）种
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】可按有无体育、数学、物理分成三类：
第一类，若不排体育，先排语文和英语两科，然后将数学和物理插入语文和英语两科所形成的空位中，
则不同的排课方案有种；
第二类，若排数学和物理中的一科，则体育可排在第二或第三或第四节课，
则不同的排课方案有种；
第三类若体育、数学和物理都排上，体育在第二节或第三节时有种，
体育在第四节，则物理和数学不能排第二节，此时不同的排课方案有种，
则不同的排课方案有种．
由分类加法计数原理可得不同的排课方案共有种．
故选：B.
4．（2023·全国·高二专题练习）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；
（3）全体排成一排，女生必须站在一起；
（4）全体排成一排，男生互不相邻；
（5）(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
（6）(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.
【答案】（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600;（6）3720
【解析】（1）从7人中选5人排列，有＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
（2）分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有种方法，共有＝5 040(种).
（3）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有＝576(种).
（4）先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有种方法，共有＝1 440(种).
（5）法一 (特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有5×＝3 600(种).
法二 (特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有种排法，其他有种排法，共有＝3 600(种).
（6）法一：甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有种，其余人全排列，只有种不同排法，共有＋＝3 720.
法二：7名学生全排列，只有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，故共有－2＋＝3 720(种).
5．（2023·全国·高三专题练习）已知有名同学，其中名男同学，名女同学（这名同学中有甲、乙、丙），若这名同学站成一排，则共有 种不同的排法.多维探究
（1）若这名同学站成两排，前排名同学，后排名同学，则共有 种不同的排法.
（2）若这名同学站成两排，前排名女同学，后排名男同学，则共有 种不同的排法.
（3）若这名同学站成一排，其中甲站在中间的位置，则共有 种不同的排法.
（4）若这名同学站成三排，第排站名同学，第排站名同学，第排站名同学，其中甲站在第排的中间位置，则共有 种不同的排法.
（5）若这名同学站成一排，则甲、乙只能站在两端的排法共有 种.
（6）若这名同学站成一排，则甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有 种.
（7）若这名同学站成一排，则甲、乙必须相邻的排法共有 种.
（8）若这名同学站成一排，则名男同学必须站在一起，名女同学也必须站在一起的排法共有 种.
（9）若这名同学站成一排，则甲、乙必须相邻，且丙不能站在排头和排尾的排法有 种.
（10）若这名同学站成一排，则甲、乙不能相邻的排法共有 种.
（11）若这名同学站成一排，则甲、乙、丙这名同学彼此不能相邻的排法共有 种.
（12）若这名同学站成一排，则名男同学彼此不能相邻，名女同学彼此也不能相邻的排法共有 种.
（13）若这名同学站成一列，则甲必须站在乙的前面（可以相邻也可以不相邻）的排法共有 种.
（14）若这名同学站成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，则共有 种排法.
【答案】 （1） （2） （3） (4) (5) （6） （7）
（8） （9） （10） （11） （12） （13） （14）
【解析】这名同学站成一排，则共有种排列方法；
（1）可以分两步，前排共种排法，后排共种排法，
根据分步乘法计数原理知，共有种排列方法；
（2）可以分两步，前排名女生共种排法，后排名男生共种排法，
共有种排列方法；
（3）可以分两步，首先把甲放在正中间的位置，有种排法，
然后把余下的名同学进行全排列，有种排法，
共有种排列方法；
（4）可以分两步，首先把甲放在第中间的位置，有种排法，
然后把余下的名同学进行全排列，有种排法，
共有种排列方法；
（5）可以分两步，第一步，甲、乙站在两端共有种排法，
第二步，将余下的名同学进行全排列，有种排法，
故共有种排列方法；
（6）可以分两步，第一步，从其余的名同学（除去甲、乙）中选名同学站在排头和排尾，有种排法，
第二步，将余下的名同学（包括甲、乙）进行全排列，有种排法，
所以，一共有种排列方法；
（7）可以分两步，先将甲、乙“捆绑”在一起，将其看成一个元素，有种排法，
再将其与其余的个元素（名同学）一起进行全排列，有种排法，
所以一共有种排法；
（8）可以分三步，先将名女同学“捆绑”在一起，将她们看成一个元素，有种排列方法，
再将名男同学“捆绑”在一起，将他们看成一个元素，有种排列方法，
这时一共有个“捆绑”后的元素，将其全排列，则有种排列方法，
所以一共有种排列方法；
（9）可以分三步，先将甲、乙“捆绑”在一起，将其看成一个元素，有种排法，且此时一共有个元素，
因为丙不能站在排头和排尾，所以再从其余的个元素中选取个元素放在排头和排尾，有种排法，
最后将剩下的个元素进行全排列，有种排法，
所以一共有种排列方法；
（10）解法一：将名同学全排列，共有种排法，
若甲、乙相邻，则有种排法，
所以甲､乙不能相邻的排法有种排法；
解法二：可以分两步，先将其余名同学全排列，有种排法，
此时形成了个“空”，再将甲､乙分别插入这个“空”中，有种排法，
所以一共有种排列方法；
（11）可以分两步，先将其余名同学全排列，有种排法，
此时他们之间有个“空”，再将甲、乙、丙这名同学分别插入这个“空”中，有种排法，
所以一共有种排列方法；
（12）可以分两步，先将名女同学全排列，有种排法，
此时她们之间有个“空”，再将名男同学分别插入这个“空”中，有种排法，
所以一共有种排列方法；
（13）将名同学全排列，有种排法，因为甲必须站在乙的前面，
所以共有种排列方法；
（14）解法一（特殊元素法）：甲在最右边时，其他的可进行全排列，有种不同的排法，
甲不在最右边时，可从余下个位置中任选一个排甲，有种排法，
乙可以站在除去最右边的位置后剩余的个位置中的任一个上，有种排法，
再将其余人全排列，有，共有种不同排法，
由分类加法计数原理知，共有种不同的排列方法；
解法二（特殊位置法）：先排最左边，除去甲外，有种排法，
将余下名同学全排列，有种排法，
但应剔除乙在最右边时的排法，有种，
因此共有种排列方法；
解法三（间接法）：将名同学全排列，共有种排法，
其中不符合条件的有甲在最左边时的情形，有种排法，
还有乙在最右边时的情形，有种排法，
这两种情形重复包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有种排法，
因此共有种排列方法；
故答案为：；；；；；；；；；；；；；；.
考法四 排列之排数
【例4】（2023·江西萍乡） 由0，1，2，3，4，5这六个数字．
（1）能组成多少个无重复数字的四位数？
（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（3）能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？
（4）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？
【答案】解：（1）；(2)；
(3)；(4)
【解析】1）由题意知，因为数字中有0，0不能放在首位，先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有种结果，余下的五个数字在五个位置进行全排列，共有种结果，根据乘法原理得到结果．
（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数,只要末尾是偶数，首位不能为零，对于特殊位置优先安排可得
（3）被25整除的数字包括两种情况，一是最后两位是25，需要先从余下的非0数字中选一个做首位，剩下的三个数字选一个放在第二位，二是最后两位数字是50，共有种结果，根据加法原理得到结果．
（4）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，当首位是4时，第二位从1，2，3，5四个数字中选一个，后两位没有限制，当前两位是40时，当前三位是403时，分别写出结果数，相加得到结果．
解：（1）(2)(3)(4)
【一隅三反】
1．（2023春·福建福州·高二校考期中）从0，1，2，3，4，5，6七个数字中取四个不同的数组成被5整除的四位数，这样的四位数的个数有（ ）
A．260B．240C．220D．200
【答案】C
【解析】当个位是0时，共有种情况；
当个位是5时，首位有5种情况，十位和百位有种情况，共有100种情况.
综上共有种.
故选：C
2．（2023春·重庆长寿·高二重庆市长寿中学校校考期中）1至10中的质数能够组成的所有没有重复数字的整数的个数为（ ）
A．4B．12C．24D．64
【答案】D
【解析】1至10中的质数有2，3，5，7，
由2，3，5，7组成的没有重复数字的整数可以为一位数、两位数、三位数、四位数，
这4个数字可组成的一位数有（个），
可组成的没有重复数字的两位数有（个），
可组成的没有重复数字的三位数有（个），
可组成的没有重复数字的四位数有（个），
3．（2023春·辽宁大连·高二大连二十四中校考期中）用这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当夹在中间的偶数数字为时，满足题意的五位数个数为个；
当夹在中间的偶数数字不为时，将其与看作一个整体，则有种情况；
再将这个整体和另一个不为的数字挑选一个排在首位，其余数字任意排序，共有种情况，
则满足题意的五位数有个；
满足题意的五位数共有个.
故选：A.
4．（2023·内蒙古）用0,1,2,3,4,5六个数字：
(1)能组成多少个没有重复数字的四位数；
(2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数；
(3)能组成多少个能被5整除的没有重复数字的四位数；
(4)能组成多少个没有重复数字的比3210大的四位数．
【答案】(1)(2)(3)(4)．
【解析】（1）首位不能为零，先确定首位的数字有5种情况，然后其余的数字任意排列即可，所以共有个.
（2）因为是偶数，要满足末尾是偶数，当个位是0的有个；个位是2或4的有，所以共个
（3）个位是0的有个；个位是5的有个，所以共个
（4）首位比3大的有个，首位是3百位是4或5时有个，当首位为3百位为2，十位可以是4或5时有个，当首位为3百位为2十位为1时个为可以是4或5，共2种，共有个．
考法五 排列之涂色
【例5】2（2023·云南）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种颜色的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】所有的涂色方案分3类：
(1)用到三种颜色，为⑤一种颜色，①③同色，②④同色，涂色方法为；
(2)用到四种颜色，为⑤一种颜色，①③不同色，②④同色或⑤一种颜色，①③同色，②④不同色，涂色方法为；
(3)用到五种颜色，涂色方法为；
因此该方案恰好只用到三种颜色的概率是.
故选：B．
【一隅三反】
1．（2023春·山西·高二校联考期中）某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．1080种B．720种C．660种D．600种
【答案】A
【解析】若使用五种颜色，即每个面一种颜色，则有种方案；
若使用四种颜色，即面AED与面FBC同色，则有种方案.
故不同涂色方案有720+360=1080种.
故选：A
2．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）
A．120B．96C．72D．48
【答案】C
【解析】由题意知，与任意一点均不同色.
只用3种颜色，即同色，且同色，此时不同染色方法的种数为；
用4种颜色，此时可能同色，而不同色或同色，而不同色.
若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为；
若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为.
根据分类加法计数原理可得，不同染色方法的种数为.
故选：C.
3．（2023·浙江）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）
A．3125B．1000C．1040D．1020
【答案】D
【解析】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件.
五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色.
故问题转化为如图五个区域，
有种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即色区域的环状涂色问题.
分为以下两类情况：
第一类：三个区域涂三种不同的颜色，
第一步涂区域，
从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，
第二步涂区域，由于颜色不同，有种方法，
第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，
由分步计数原理，则共有种方法；
第二类：三个区域涂两种不同的颜色，
由于不能涂同一色，则涂一色，或涂同一色，两种情况方法数相同.
若涂一色，
第一步涂区域，可看成同一区域，且区域不同色，
即涂个区域不同色，
从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，
第二步涂区域，由于颜色相同，则有种方法，
第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，
由分步计数原理，则共有种方法；
若涂一色，与涂一色的方法数相同，
则共有种方法.
由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有种.
故选：D.
4．（2023·全国·高二专题练习）用红､黄､蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（ ）
A．18B．24C．30D．36
【答案】C
【解析】设六个圆的序号依次为1，2，3，4，5，6，
可知1，2共有种涂色方法，则有：
若3与1的颜色相同，则5必须与2的颜色相同，此时只有1种涂色方法；
若3与1的颜色不相同，即3的颜色与1，2均不相同，则4，5，6的颜色均不相同，共有种涂色方法；故不同的涂色方案的种数是.故选：C.
一、单选题
1．（2023春·北京大兴·高二统考期中）从、、、中任取个数字组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】从、、、中任取个数字组成没有重复数字的三位数，只需从这个数字中任取个数字全排即可，因此，满足条件的三位数的个数为.故选：B.
2．（2023春·江苏南京·高二统考期末）五张卡片上分别写有、、、、五个数字，则这五张卡片组成的五位数是偶数的概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】若这五张卡片组成的五位数是偶数，则个位数为偶数，其余各数位无限制，
因此所求概率为.故选：A.
3．（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）“缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲､乙､丙､丁､戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（ ）种不同的出场顺序.
A．72B．78C．96D．120
【答案】B
【解析】当甲在第三出场时，乙､丙､丁､戊全排列，共有种；
当甲不在第一、三出场时，共有种；
故共有种不同的出场顺序.
故选：B
4．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）回文联是我国对联中的一种，用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家酒楼叫“天然居”，一次乾隆路过这家酒楼，称赞楼名的高雅，遂以楼名为题作对联，上联是：“客上天然居，居然天上客”.纪晓岚对曰：“人过大佛寺，寺佛大过人”，乾隆微笑颔首，后“天然居”以此为门联，遂声名大噪.在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”.如66，787，4334等，那么用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成4位“回文数”的个数为（ ）
A．56个B．64个C．81个D．90个
【答案】C
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①4位“回文数”中数字全部相同，有9种情况，即此时有9个4位“回文数”；
②4位“回文数”中有2个不同的数字，有种情况，
即此时有72个4位“回文数”，则一共有个4位“回文数”，
故选：C
5．（2023·全国·高三专题练习）中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则名同学所有可能的选择有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】D
【解析】因为甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则乙可在《尚书》、《礼记》、《周易》三种书中选择一种，
甲可在除《诗经》外的三种书中任选一种，其余三种书可任意排序，
由分步乘法计数原理可知，不同的选择种数为.
故选：D.
6．（2023春·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考期中）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某学习小组有甲、乙、丙、丁、戊五人，该小组要收集九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算种算法的相关资料，要求每种算法安排一人，但甲不收集九宫算的资料，乙不收集运筹算的资料，则不同的分配方案种数有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如果甲收集运筹算的资料，则其余4人共有种分配方案数.
如果甲不收集运筹算的资料，则收集运筹算资料可安排其余3人，
而甲可安排收集了知算、成数算、把头算的资料，有3种安排方法，
其余的3人有种安排方法，故共有种分配方案数，
综上，共有种不同的分配方案数.
故选：D.
7．（2023·高二课时练习）如图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有（ ）种不同的涂色方法？
A．260B．180C．240D．120
【答案】A
【解析】由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：
第一类，用4种颜色涂色，有种方法．
第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有种．
在涂的过程中，选对顶的两部分（A、C或B、D）涂同色，另两部分涂异色有种选法；3种颜色涂上去有种涂法，
根据分步计数原理求得共种涂法．
第三类，用两种颜色涂色．选颜色有种选法，A、C用一种颜色，B、D涂一种颜色，有种涂法，故共种涂法．
∴共有涂色方法120+120+20＝260种，
故选：A．
8．（2023春·广东广州·高二统考期末）学校乒乓团体比赛采用场胜制（场单打），每支球队派名运动员参赛，前场比赛每名运动员各出场次，其中第、位出场的运动员在后场比赛中还将各出场次，假设某球队派甲、乙、丙名运动员参加比赛，则所有可能的出场情况的种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分以下几种情况讨论：
①若前场比赛全赢，此时，不同的出场情况种数为种；
②若共打场比赛，则第场赢，前场赢场，且第场为第或第位运动员出场，
此时，不同的出场情况种数为种；
③若共打场比赛，则第场赢，前场赢场，最后场为第和第位运动员各出场次，
此时，不同的出场情况种数为种.
综上所述，不同的出场情况种数为种.
故选：C.
二、多选题
9．（2023春·江苏南通·高二校考期中）在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（ ）
A．3名男生排在一起，有6种不同排法B．2名女生排在一起，有48种不同排法
C．3名男生均不相邻，有12种不同排法D．女生不站在两端，有108种不同排法
【答案】BC
【解析】由题意得：
对于选项A：3名男生排在一起，先让3个男生全排后再作为一个整体和2个女生做一个全排，共有种，A错误；
对于选项B：2名女生排在一起，先让2个女生全排后再作为一个整体和3个男生做一个全排，共有种，B正确；
对于选项C：3名男生均不相邻，先让3个男生全排后，中间留出两个空位让女生进行插空，共有种，C正确；
对于选项D：女生不站在两端，先从三个男生种选出两个进行全排后放在两端，共有种，然后将剩下的3人进行全排后放中间，共有种，D错误.
故选：BC
10．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）某电影院的一个播放厅的座位如图所示（标黑表示该座位的票已被购买），甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，目甲、乙不坐前两排．（ ）
A．若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种
B．若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1154种
C．若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种
D．若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一排，则购票的情况共有508种
【答案】ABD
【解析】若甲、乙左右相邻，先选座位：在第三排共有10种，在第四排共有种，
在第五排有种，
在第六排有种在第七排有种，共有27种．
再考虑甲乙顺序，有种，所以一共有54种购票情况，故A正确．
甲、乙在同一列的情况共有种，
则甲、乙不在同一列的情况有种，故B正确．
若甲、乙前后相邻，先选座位：有种，
再考虑甲乙顺序，有种，所以一共有42种购票情况，故C错误．
中心线左侧有18个座位，右侧有18个座位．甲、乙分坐于两侧，有种．
甲、乙分坐于两侧且坐同一排（按每一排考虑），有种，
所以甲、乙分坐于两侧，且不坐同一排的购票情况共有种，故D正确．
故选：ABD
11．（2023·全国·高三专题练习）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231、354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ）
A．组成的三位数的个数为60B．在组成的三位数中，奇数的个数为30
C．在组成的三位数中，偶数的个数为30D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20
【答案】AD
【解析】依题意，组成的三位数的个数为，故A正确；
个位为，或时，三位数是奇数，则奇数的个数为，故B错误；
则偶数有（个），故C错误；
将这些“凸数”分为三类：
①十位为，则有（种），
②十位为，则有（种），
③十位为，则有（种），
所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为，故D正确．
故选：AD．
12．（2022·高二课时练习）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，如果个位是0，则有个无重复数字的偶数；如果个位不是0，则有个无重复数字的偶数，所以共有个无重复数字的偶数，故A正确；
对于B，由于，所以，故B正确；
对于C，由于，所以，故C错误；
对于D，由于，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．（2023·云南）某生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案有 种．
【答案】36
【解析】由于甲、乙、丙比较特殊，因此可以将他们先安排，以他们照看第一、四道工序分类讨论．
①当甲照看第一道工序、丙照看第四道工序时，剩下4个人选择2个照看中间两道工序，于是有（种）；
②当乙照看第一道工序、甲照看第四道工序时，剩下4个人选择2个照看中间两道工序，于是有（种）；
③当乙照看第一道工序、丙照看第四道工序时，剩下4个人选择2个照看中间两道工序，于是有（种）．
综上所述，不同的安排方案一共有（种）．
故答案为：36.
14．（2023春·湖北·高二校联考期中）现准备给每面刻有不同点数的骰子涂色，每个面涂一种颜色，相邻两个面所涂颜色不能相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种．
【答案】
【解析】5种颜色涂6个面，则至少有两个面同色，两个同色面只有在相对的面上才满足题设；
①当只有1对同色面时，选中的面有种可能，选中的颜色有种可能， 剩下4个面用剩下4种颜色分别填充有种可能，所以共有种；
②当只有2对同色面时，选中的面有种可能，选中的颜色有种可能，2种颜色配2对面有2种可能，剩下2个面由剩下3种颜色选2种分别涂，有种，共种；
③当3对面均同色时，选中的面有种，选中的颜色有种，3种颜色配了对面有种， 共种；
综上所述：共种.
故答案为：
15．（2022·高二单元测试）若个人排成一排，、、三人互不相邻，、两人也不相邻的排法有 种
【答案】种
【解析】设剩下的一个人为，
先算A、、三人互不相邻（含、两人相邻）的情况：
、、当板，有个空，将A、、插入空，有种，、、全排，有种；
则有种，
再算A、、三人互不相邻（、必须两人相邻）的情况：
把、捆绑成一个元素（设为），和剩下的一个人看成两个板，有个空，
将A、、插入空，有种，、全排，有种，、全排，有种，
则有种，
则满足条件的排法种数为种
16．（2023·江苏·高二专题练习）四色定理又称四色猜想、四色问题，是世界近代三大数学难题之一．地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的．四色定理的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色．”某同学在横格纸上研究填涂蓝、红、黄、绿4种颜色问题，如图，第1行有1个格子，第2行有2个格子，…，第n行有n个格子，将4种颜色在每行中分别进行涂色，每行相邻的格子颜色不同，记为第k行不同涂色种数，则 ， ．
【答案】 324
【解析】由分步计数原理知每行的第一个格子有4重涂法，其余每个格子均有3种涂法，故种，，
则①，
所以②，
①-②得，即．
故答案为：324，
四、解答题
17.（2023·全国·高二专题练习）判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互打电话．
【答案】(1)不是(2)是(3)不是(4)不是(5)是(6)是
【解析】(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．
18．（2023湛江）计算或解下列方程或不等式
(1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6).
（7） （8）
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).(5)x=3(6)x=6（7）（8）
【解析】(1)
(2)
(3)
(4)若，则
所以，解得或（舍）所以
(5)由排列数公式，原方程可化为，化简得，解得或或或.
因为x满足所以x的取值范围为.所以原方程的解为．
(6)由，得，所以.
化简得，解得，．
因为且，所以原方程的解为x=6．
（7）由题意得，化简得，
即，所以．因为，且，所以不等式的解集为．
（8）由题意可知，且，
因为，，，
所以原不等式可化为，整理得，
所以，，所以原不等式的解集为；
19．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考阶段练习）按要求解决下列问题，最后用数字作答.
(1)名男学生、名女学生和位老师站成一排拍照合影，要求位老师必须站正中间，队伍左、右两端不能同时是一男学生和一女学生，则总共有多少种排法？
(2)年月日是澳门回归祖国周年，某高校为庆祝澳门回归周年，特举行了澳门文化周启动仪式文艺晩会，已知该晩会共有个舞蹈类节目，个语言类节目，个歌曲类节目，若规定同类节目不能相邻出场，则不同的出场次序有多少种？
(3)地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有多少种？
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）解：分以下两种情况讨论：
①若队伍左、右两端是两名男生，则不同的排法种数为种；
②若队伍左、右两端是两名女生，则不同的排法种数为种.
综上所述，总共有种不同的排法.
（2）解：先考虑歌曲类节目不相邻，只需将个歌曲类节目插入其余个节目所形成的空中，
此时共有种不同的排法，
其次考虑语言类节目相邻且个歌曲类节目不相邻，只需将个语言类节目捆绑，
则只需将个语言类节目与舞蹈类节目插入个歌曲类节目形成的中间的两个空位，
此时共有.
因此，不同的排法种数为种.
（3）解：根据题意，分两步进行：
①首先将四辆车排列有种排法，
再把两个连续的空位捆绑与另一个空车位往辆车所形成的空位中插入，有种排法，
由乘法原理可知有种不同的排法；
②考虑红、白两辆车相邻且恰有两个连续的空车位，
将红、白两辆车捆绑，以及两个连续的空位捆绑，
先将红、白两辆车捆绑形成的“大元素”与其它两辆车进行排序，
然后将两个连续的空位捆绑与另一个空车位插入“大元素”与其它两辆车所形成的空位中，
此时，不同的排法种数为.
因此，符合条件的排法种数为种.
20．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）用0，1，2，3，4，5这6个数字可组成多少个：
(1)没有重复数字的四位数？
(2)比2000大且没有重复数字的自然数？
(3)没有重复数字且被25整除的四位数？
【答案】(1)个
(2)个
(3)个
【解析】（1）用，，，，，可组成没有重复数字的四位数，
首位从，，，，中任选一个，有种，
后面的三位从剩下的个数中任意选共有种，
所以，没有重复数字的四位数有个；
（2）比大且没有重复数字的自然数，
当四位数时，首位从，，，中选一个有种选法，再从剩下的个数中任选个，有种选法，共有种，
当五位数时，共有种选法，
当六位数时，共有种选法，
故共有种，所以比大的自然数有个．
（3）没有重复数字的能被整除的四位数，分两种情况：
当后两位为时，有种；
当后两位为时，不能在首位，共有种，
共有，故没有重复数字的能被整除的四位数有个．
21．（2022·上海）用1，2，3，4，5，6，7排出无重复数字的七位数：按下述要求各有多少个？
(1)偶数不相邻；
(2)偶数一定在奇数位上；
(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；
(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列．
【答案】(1)1440(2)576(3)720(4)840
【解析】（1）解：因为偶数不相邻，所以将4个奇数排列有种方法，
产生5个空，将3个偶数排上有种方法，所以偶数不相邻共有种方法；
（2）先将3个偶数排在奇数位上有种方法，再将4个奇数排列有种方法，
所以偶数一定在奇数位上有种方法；
（3）先在1和2之间插上一个奇数有种方法，然后看作一个整体和其他数全排列有种方法；
（4）七个数的全排列有种方法，三个偶数全排列有种方法，
所以三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列有种方法.
22（2023·湛江）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
(1)选5名同学排成一排；
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；
(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全体站成一排，男生排在一起；
(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；
(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；
(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．
【答案】(1)2520(2)2400(3)3720(4)288(5)720(6)1440(7)144(8)960(9)5040(10)840
【解析】（1）无条件的排列问题，排法有种；
（2）先安排甲乙在中间有 种，再安排余下的5人有 种，共有排法有种；
（3）排法有种，其中是甲在左端或乙在右端的排法，是甲在左端且乙在右端的排法；
（4）把男生看成一个整体共有 种，再把女生看成一个整体有 种，再把这两个整体全排列，共有种排法；
（5）即把所有男生视为一个整体，与4名女生组成五个元素全排列，共有种排法；
（6）即不相邻问题（插空法）：先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有种排法；
（7）对比（6），让女生插空，共有种排法；
（8）（捆绑法）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故共有种排法；
（9）分步完成共有种排法；
（10）由于乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列，
7人的全排列共有种，甲、乙、丙3人全排列有种，而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种，所以共有种排法.
考法一 排列的判断
【例1-1】（2022秋·高二课时练习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？
【答案】B
【解析】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序，
因而不是排列问题，不合题意；
选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人，
是排列问题，适合题意；
选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点
即可确定1条直线，这2个点不分顺序. 因而不是排列问题，不合题意；
选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果，
这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意.
故选：B．
【例1-2】（2023北京）从集合中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程？④作为双曲线中的a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程？
上面四个问题属于排列问题的是（ ）
A．①②③④B．②④C．②③D．①④
【答案】B
【解析】∵加法满足交换律，∴①不是排列问题；
∵除法不满足交换律，∴②是排列问题；
若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则必有，故③不是排列问题；
在双曲线中不管还是，方程均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故④是排列问题．
故选：B．
【一隅三反】
1．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
【答案】D
【解析】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；
B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；
C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；
D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．
故选：D
2．（2023春·新疆塔城·高二统考期中）下列问题属于排列问题的是（ ）
A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳
B．从10人中选2人去游泳
C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数
【答案】AD
【解析】对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；
对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；
对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；
对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题．
故选：AD
3．（2023·全国·高二专题练习）给出下列问题：
①从2、3、5、7、11中任取两数相乘，可得多少个不同的积？
②从2、3、5、7、11中任取两数相除，可得多少个不同的商？
③从2、3、5、7、11中任取两数相加，可得多少个不同的和？
以上问题中，属于排列问题的是 ．（写出所有满足要求的问题序号）
【答案】②
【解析】对于①，从2、3、5、7、11中任取两数相乘，且乘法满足交换律，故不是排列问题;
对于②，从2、3、5、7、11中任取两数相除，且除法不满足交换律，故是排列问题;
对于③，从2、3、5、7、11中任取两数相加，且加法满足交换律，故不是排列问题;
故答案为：②
考法二 排列数
【例2-1】（2023·广西）计算：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)60(2)120(3)5040(4)1256640
【解析】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【例2-2】解不等式或方程
(1)=2；(2).（3）
【答案】(1)n=5 (2)x=8（3）
【解析】（1）因为=2，由，解得，
由原式可得，解得或．又因为，所以．
（2）因为<6，由，解得且，由原不等式可得，
化简可得，解得，又且，所以．
（3）由题意可知，且，
因为，，，
所以原不等式可化为，
整理得，解得，所以原不等式的解集为.
【例2-3】（2023广东潮州）求证：（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）右式左式，故等式成立；
（2）左式右式，故等式成立.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高二随堂练习）计算：
(1)；(2)．（3）（4）
【答案】(1)348；(2)64.（3） （4）
【解析】（1）.
（2）.
（3）因为，，，
所以不等式可化为，
解得，又，，
所以不等式的解集为．
（4）由题设，则，
所以，可得或，
又且，则且，所以.
2.（2023云南）求证：
(1)； (2)．（3）；
（4）.
【答案】证明见解析
【解析】（1）证明：.
（2）证明：.
（3）左边右边，
∴结论成立，即；
（2）当时，左边
右边，∴结论成立，即.
考法三 排列之排队
【例3】5（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二校考期末）现有8个人（5男3女）站成一排．
(1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
(2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法？
(4)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法？
(5)甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？
(6)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
【答案】(1)5040
(2)4320
(3)21600
(4)20160
(5)14400
(6)2880
【解析】（1）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有种情况，
则甲必须站在排头有种排法；
（2）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，
将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有种；
（3）根据题意，将甲、乙两人安排在中间6个位置，有种情况，将剩下的6人全排列，有种情况，
则甲、乙两人不能排在两端有种排法；
（4）根据题意，将8人全排列，有种情况，其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同，
则甲在乙的左边有种不同的排法；
（5）根据题意，将甲、乙两人安排在后面的5个位置，有种情况，
将剩下的6人全排列，有种情况，甲、乙不能排在前3位，有种不同排法；
（6）根据题意，将5名男生全排列，有种情况，排好后除去2端有4个空位可选，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，
则女生两旁必须有男生，有种不同排法．
【一隅三反】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠．甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（ ）
A．18种B．24种C．30种D．36种
【答案】C
【解析】当丙站在左端时，甲、丙必须相邻，其余人全排列，有种站法；
当丙不站在左端时，从丁、戊两人选一人站左边，再将甲、丙捆绑，与余下的两人全排，
有种站法，所以一共有种不同的站法．
2．（2023春·甘肃临夏·高二校考开学考试）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．48种B．36种C．24种D．20种
【答案】A
【解析】依题意，“礼”在第一次，固定，
“射”和“御”两次相邻，两者捆绑，与另外艺进行排列，
所以“六艺”讲座不同的次序共有种，故选：A
3．（2023·河北·统考模拟预测）某班一天上午有四节课，现要安排该班上午的课程表，从语文、数学、英语、物理、体育科中选出科排到课表中，体育课不能排到第一节，且数学和物理两科不能相邻，则不同的排课方案共有（ ）种
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】可按有无体育、数学、物理分成三类：
第一类，若不排体育，先排语文和英语两科，然后将数学和物理插入语文和英语两科所形成的空位中，
则不同的排课方案有种；
第二类，若排数学和物理中的一科，则体育可排在第二或第三或第四节课，
则不同的排课方案有种；
第三类若体育、数学和物理都排上，体育在第二节或第三节时有种，
体育在第四节，则物理和数学不能排第二节，此时不同的排课方案有种，
则不同的排课方案有种．
由分类加法计数原理可得不同的排课方案共有种．
故选：B.
4．（2023·全国·高二专题练习）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选5人排成一排；
（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；
（3）全体排成一排，女生必须站在一起；
（4）全体排成一排，男生互不相邻；
（5）(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
（6）(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.
【答案】（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600;（6）3720
【解析】（1）从7人中选5人排列，有＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
（2）分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有种方法，共有＝5 040(种).
（3）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有＝576(种).
（4）先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有种方法，共有＝1 440(种).
（5）法一 (特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有5×＝3 600(种).
法二 (特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有种排法，其他有种排法，共有＝3 600(种).
（6）法一：甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有种，其余人全排列，只有种不同排法，共有＋＝3 720.
法二：7名学生全排列，只有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，故共有－2＋＝3 720(种).
5．（2023·全国·高三专题练习）已知有名同学，其中名男同学，名女同学（这名同学中有甲、乙、丙），若这名同学站成一排，则共有 种不同的排法.多维探究
（1）若这名同学站成两排，前排名同学，后排名同学，则共有 种不同的排法.
（2）若这名同学站成两排，前排名女同学，后排名男同学，则共有 种不同的排法.
（3）若这名同学站成一排，其中甲站在中间的位置，则共有 种不同的排法.
（4）若这名同学站成三排，第排站名同学，第排站名同学，第排站名同学，其中甲站在第排的中间位置，则共有 种不同的排法.
（5）若这名同学站成一排，则甲、乙只能站在两端的排法共有 种.
（6）若这名同学站成一排，则甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有 种.
（7）若这名同学站成一排，则甲、乙必须相邻的排法共有 种.
（8）若这名同学站成一排，则名男同学必须站在一起，名女同学也必须站在一起的排法共有 种.
（9）若这名同学站成一排，则甲、乙必须相邻，且丙不能站在排头和排尾的排法有 种.
（10）若这名同学站成一排，则甲、乙不能相邻的排法共有 种.
（11）若这名同学站成一排，则甲、乙、丙这名同学彼此不能相邻的排法共有 种.
（12）若这名同学站成一排，则名男同学彼此不能相邻，名女同学彼此也不能相邻的排法共有 种.
（13）若这名同学站成一列，则甲必须站在乙的前面（可以相邻也可以不相邻）的排法共有 种.
（14）若这名同学站成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，则共有 种排法.
【答案】 （1） （2） （3） (4) (5) （6） （7）
（8） （9） （10） （11） （12） （13） （14）
【解析】这名同学站成一排，则共有种排列方法；
（1）可以分两步，前排共种排法，后排共种排法，
根据分步乘法计数原理知，共有种排列方法；
（2）可以分两步，前排名女生共种排法，后排名男生共种排法，
共有种排列方法；
（3）可以分两步，首先把甲放在正中间的位置，有种排法，
然后把余下的名同学进行全排列，有种排法，
共有种排列方法；
（4）可以分两步，首先把甲放在第中间的位置，有种排法，
然后把余下的名同学进行全排列，有种排法，
共有种排列方法；
（5）可以分两步，第一步，甲、乙站在两端共有种排法，
第二步，将余下的名同学进行全排列，有种排法，
故共有种排列方法；
（6）可以分两步，第一步，从其余的名同学（除去甲、乙）中选名同学站在排头和排尾，有种排法，
第二步，将余下的名同学（包括甲、乙）进行全排列，有种排法，
所以，一共有种排列方法；
（7）可以分两步，先将甲、乙“捆绑”在一起，将其看成一个元素，有种排法，
再将其与其余的个元素（名同学）一起进行全排列，有种排法，
所以一共有种排法；
（8）可以分三步，先将名女同学“捆绑”在一起，将她们看成一个元素，有种排列方法，
再将名男同学“捆绑”在一起，将他们看成一个元素，有种排列方法，
这时一共有个“捆绑”后的元素，将其全排列，则有种排列方法，
所以一共有种排列方法；
（9）可以分三步，先将甲、乙“捆绑”在一起，将其看成一个元素，有种排法，且此时一共有个元素，
因为丙不能站在排头和排尾，所以再从其余的个元素中选取个元素放在排头和排尾，有种排法，
最后将剩下的个元素进行全排列，有种排法，
所以一共有种排列方法；
（10）解法一：将名同学全排列，共有种排法，
若甲、乙相邻，则有种排法，
所以甲､乙不能相邻的排法有种排法；
解法二：可以分两步，先将其余名同学全排列，有种排法，
此时形成了个“空”，再将甲､乙分别插入这个“空”中，有种排法，
所以一共有种排列方法；
（11）可以分两步，先将其余名同学全排列，有种排法，
此时他们之间有个“空”，再将甲、乙、丙这名同学分别插入这个“空”中，有种排法，
所以一共有种排列方法；
（12）可以分两步，先将名女同学全排列，有种排法，
此时她们之间有个“空”，再将名男同学分别插入这个“空”中，有种排法，
所以一共有种排列方法；
（13）将名同学全排列，有种排法，因为甲必须站在乙的前面，
所以共有种排列方法；
（14）解法一（特殊元素法）：甲在最右边时，其他的可进行全排列，有种不同的排法，
甲不在最右边时，可从余下个位置中任选一个排甲，有种排法，
乙可以站在除去最右边的位置后剩余的个位置中的任一个上，有种排法，
再将其余人全排列，有，共有种不同排法，
由分类加法计数原理知，共有种不同的排列方法；
解法二（特殊位置法）：先排最左边，除去甲外，有种排法，
将余下名同学全排列，有种排法，
但应剔除乙在最右边时的排法，有种，
因此共有种排列方法；
解法三（间接法）：将名同学全排列，共有种排法，
其中不符合条件的有甲在最左边时的情形，有种排法，
还有乙在最右边时的情形，有种排法，
这两种情形重复包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有种排法，
因此共有种排列方法；
故答案为：；；；；；；；；；；；；；；.
考法四 排列之排数
【例4】（2023·江西萍乡） 由0，1，2，3，4，5这六个数字．
（1）能组成多少个无重复数字的四位数？
（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（3）能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？
（4）组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？
【答案】解：（1）；(2)；
(3)；(4)
【解析】1）由题意知，因为数字中有0，0不能放在首位，先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有种结果，余下的五个数字在五个位置进行全排列，共有种结果，根据乘法原理得到结果．
（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数,只要末尾是偶数，首位不能为零，对于特殊位置优先安排可得
（3）被25整除的数字包括两种情况，一是最后两位是25，需要先从余下的非0数字中选一个做首位，剩下的三个数字选一个放在第二位，二是最后两位数字是50，共有种结果，根据加法原理得到结果．
（4）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，当首位是4时，第二位从1，2，3，5四个数字中选一个，后两位没有限制，当前两位是40时，当前三位是403时，分别写出结果数，相加得到结果．
解：（1）(2)(3)(4)
【一隅三反】
1．（2023春·福建福州·高二校考期中）从0，1，2，3，4，5，6七个数字中取四个不同的数组成被5整除的四位数，这样的四位数的个数有（ ）
A．260B．240C．220D．200
【答案】C
【解析】当个位是0时，共有种情况；
当个位是5时，首位有5种情况，十位和百位有种情况，共有100种情况.
综上共有种.
故选：C
2．（2023春·重庆长寿·高二重庆市长寿中学校校考期中）1至10中的质数能够组成的所有没有重复数字的整数的个数为（ ）
A．4B．12C．24D．64
【答案】D
【解析】1至10中的质数有2，3，5，7，
由2，3，5，7组成的没有重复数字的整数可以为一位数、两位数、三位数、四位数，
这4个数字可组成的一位数有（个），
可组成的没有重复数字的两位数有（个），
可组成的没有重复数字的三位数有（个），
可组成的没有重复数字的四位数有（个），
3．（2023春·辽宁大连·高二大连二十四中校考期中）用这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当夹在中间的偶数数字为时，满足题意的五位数个数为个；
当夹在中间的偶数数字不为时，将其与看作一个整体，则有种情况；
再将这个整体和另一个不为的数字挑选一个排在首位，其余数字任意排序，共有种情况，
则满足题意的五位数有个；
满足题意的五位数共有个.
故选：A.
4．（2023·内蒙古）用0,1,2,3,4,5六个数字：
(1)能组成多少个没有重复数字的四位数；
(2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数；
(3)能组成多少个能被5整除的没有重复数字的四位数；
(4)能组成多少个没有重复数字的比3210大的四位数．
【答案】(1)(2)(3)(4)．
【解析】（1）首位不能为零，先确定首位的数字有5种情况，然后其余的数字任意排列即可，所以共有个.
（2）因为是偶数，要满足末尾是偶数，当个位是0的有个；个位是2或4的有，所以共个
（3）个位是0的有个；个位是5的有个，所以共个
（4）首位比3大的有个，首位是3百位是4或5时有个，当首位为3百位为2，十位可以是4或5时有个，当首位为3百位为2十位为1时个为可以是4或5，共2种，共有个．
考法五 排列之涂色
【例5】2（2023·云南）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种颜色的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】所有的涂色方案分3类：
(1)用到三种颜色，为⑤一种颜色，①③同色，②④同色，涂色方法为；
(2)用到四种颜色，为⑤一种颜色，①③不同色，②④同色或⑤一种颜色，①③同色，②④不同色，涂色方法为；
(3)用到五种颜色，涂色方法为；
因此该方案恰好只用到三种颜色的概率是.
故选：B．
【一隅三反】
1．（2023春·山西·高二校联考期中）某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．1080种B．720种C．660种D．600种
【答案】A
【解析】若使用五种颜色，即每个面一种颜色，则有种方案；
若使用四种颜色，即面AED与面FBC同色，则有种方案.
故不同涂色方案有720+360=1080种.
故选：A
2．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）
A．120B．96C．72D．48
【答案】C
【解析】由题意知，与任意一点均不同色.
只用3种颜色，即同色，且同色，此时不同染色方法的种数为；
用4种颜色，此时可能同色，而不同色或同色，而不同色.
若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为；
若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为.
根据分类加法计数原理可得，不同染色方法的种数为.
故选：C.
3．（2023·浙江）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）
A．3125B．1000C．1040D．1020
【答案】D
【解析】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件.
五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色.
故问题转化为如图五个区域，
有种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即色区域的环状涂色问题.
分为以下两类情况：
第一类：三个区域涂三种不同的颜色，
第一步涂区域，
从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，
第二步涂区域，由于颜色不同，有种方法，
第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，
由分步计数原理，则共有种方法；
第二类：三个区域涂两种不同的颜色，
由于不能涂同一色，则涂一色，或涂同一色，两种情况方法数相同.
若涂一色，
第一步涂区域，可看成同一区域，且区域不同色，
即涂个区域不同色，
从种不同的颜色中选种按序涂在不同的个区域上，则有种方法，
第二步涂区域，由于颜色相同，则有种方法，
第三步涂区域，由于颜色不同，则有种方法，
由分步计数原理，则共有种方法；
若涂一色，与涂一色的方法数相同，
则共有种方法.
由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有种.
故选：D.
4．（2023·全国·高二专题练习）用红､黄､蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（ ）
A．18B．24C．30D．36
【答案】C
【解析】设六个圆的序号依次为1，2，3，4，5，6，
可知1，2共有种涂色方法，则有：
若3与1的颜色相同，则5必须与2的颜色相同，此时只有1种涂色方法；
若3与1的颜色不相同，即3的颜色与1，2均不相同，则4，5，6的颜色均不相同，共有种涂色方法；故不同的涂色方案的种数是.故选：C.
一、单选题
1．（2023春·北京大兴·高二统考期中）从、、、中任取个数字组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】从、、、中任取个数字组成没有重复数字的三位数，只需从这个数字中任取个数字全排即可，因此，满足条件的三位数的个数为.故选：B.
2．（2023春·江苏南京·高二统考期末）五张卡片上分别写有、、、、五个数字，则这五张卡片组成的五位数是偶数的概率（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】若这五张卡片组成的五位数是偶数，则个位数为偶数，其余各数位无限制，
因此所求概率为.故选：A.
3．（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）“缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲､乙､丙､丁､戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（ ）种不同的出场顺序.
A．72B．78C．96D．120
【答案】B
【解析】当甲在第三出场时，乙､丙､丁､戊全排列，共有种；
当甲不在第一、三出场时，共有种；
故共有种不同的出场顺序.
故选：B
4．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）回文联是我国对联中的一种，用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家酒楼叫“天然居”，一次乾隆路过这家酒楼，称赞楼名的高雅，遂以楼名为题作对联，上联是：“客上天然居，居然天上客”.纪晓岚对曰：“人过大佛寺，寺佛大过人”，乾隆微笑颔首，后“天然居”以此为门联，遂声名大噪.在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”.如66，787，4334等，那么用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成4位“回文数”的个数为（ ）
A．56个B．64个C．81个D．90个
【答案】C
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①4位“回文数”中数字全部相同，有9种情况，即此时有9个4位“回文数”；
②4位“回文数”中有2个不同的数字，有种情况，
即此时有72个4位“回文数”，则一共有个4位“回文数”，
故选：C
5．（2023·全国·高三专题练习）中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则名同学所有可能的选择有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】D
【解析】因为甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则乙可在《尚书》、《礼记》、《周易》三种书中选择一种，
甲可在除《诗经》外的三种书中任选一种，其余三种书可任意排序，
由分步乘法计数原理可知，不同的选择种数为.
故选：D.
6．（2023春·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考期中）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某学习小组有甲、乙、丙、丁、戊五人，该小组要收集九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算种算法的相关资料，要求每种算法安排一人，但甲不收集九宫算的资料，乙不收集运筹算的资料，则不同的分配方案种数有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如果甲收集运筹算的资料，则其余4人共有种分配方案数.
如果甲不收集运筹算的资料，则收集运筹算资料可安排其余3人，
而甲可安排收集了知算、成数算、把头算的资料，有3种安排方法，
其余的3人有种安排方法，故共有种分配方案数，
综上，共有种不同的分配方案数.
故选：D.
7．（2023·高二课时练习）如图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有（ ）种不同的涂色方法？
A．260B．180C．240D．120
【答案】A
【解析】由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：
第一类，用4种颜色涂色，有种方法．
第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有种．
在涂的过程中，选对顶的两部分（A、C或B、D）涂同色，另两部分涂异色有种选法；3种颜色涂上去有种涂法，
根据分步计数原理求得共种涂法．
第三类，用两种颜色涂色．选颜色有种选法，A、C用一种颜色，B、D涂一种颜色，有种涂法，故共种涂法．
∴共有涂色方法120+120+20＝260种，
故选：A．
8．（2023春·广东广州·高二统考期末）学校乒乓团体比赛采用场胜制（场单打），每支球队派名运动员参赛，前场比赛每名运动员各出场次，其中第、位出场的运动员在后场比赛中还将各出场次，假设某球队派甲、乙、丙名运动员参加比赛，则所有可能的出场情况的种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】分以下几种情况讨论：
①若前场比赛全赢，此时，不同的出场情况种数为种；
②若共打场比赛，则第场赢，前场赢场，且第场为第或第位运动员出场，
此时，不同的出场情况种数为种；
③若共打场比赛，则第场赢，前场赢场，最后场为第和第位运动员各出场次，
此时，不同的出场情况种数为种.
综上所述，不同的出场情况种数为种.
故选：C.
二、多选题
9．（2023春·江苏南通·高二校考期中）在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（ ）
A．3名男生排在一起，有6种不同排法B．2名女生排在一起，有48种不同排法
C．3名男生均不相邻，有12种不同排法D．女生不站在两端，有108种不同排法
【答案】BC
【解析】由题意得：
对于选项A：3名男生排在一起，先让3个男生全排后再作为一个整体和2个女生做一个全排，共有种，A错误；
对于选项B：2名女生排在一起，先让2个女生全排后再作为一个整体和3个男生做一个全排，共有种，B正确；
对于选项C：3名男生均不相邻，先让3个男生全排后，中间留出两个空位让女生进行插空，共有种，C正确；
对于选项D：女生不站在两端，先从三个男生种选出两个进行全排后放在两端，共有种，然后将剩下的3人进行全排后放中间，共有种，D错误.
故选：BC
10．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）某电影院的一个播放厅的座位如图所示（标黑表示该座位的票已被购买），甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，目甲、乙不坐前两排．（ ）
A．若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种
B．若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1154种
C．若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种
D．若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一排，则购票的情况共有508种
【答案】ABD
【解析】若甲、乙左右相邻，先选座位：在第三排共有10种，在第四排共有种，
在第五排有种，
在第六排有种在第七排有种，共有27种．
再考虑甲乙顺序，有种，所以一共有54种购票情况，故A正确．
甲、乙在同一列的情况共有种，
则甲、乙不在同一列的情况有种，故B正确．
若甲、乙前后相邻，先选座位：有种，
再考虑甲乙顺序，有种，所以一共有42种购票情况，故C错误．
中心线左侧有18个座位，右侧有18个座位．甲、乙分坐于两侧，有种．
甲、乙分坐于两侧且坐同一排（按每一排考虑），有种，
所以甲、乙分坐于两侧，且不坐同一排的购票情况共有种，故D正确．
故选：ABD
11．（2023·全国·高三专题练习）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231、354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则（ ）
A．组成的三位数的个数为60B．在组成的三位数中，奇数的个数为30
C．在组成的三位数中，偶数的个数为30D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20
【答案】AD
【解析】依题意，组成的三位数的个数为，故A正确；
个位为，或时，三位数是奇数，则奇数的个数为，故B错误；
则偶数有（个），故C错误；
将这些“凸数”分为三类：
①十位为，则有（种），
②十位为，则有（种），
③十位为，则有（种），
所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为，故D正确．
故选：AD．
12．（2022·高二课时练习）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，如果个位是0，则有个无重复数字的偶数；如果个位不是0，则有个无重复数字的偶数，所以共有个无重复数字的偶数，故A正确；
对于B，由于，所以，故B正确；
对于C，由于，所以，故C错误；
对于D，由于，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．（2023·云南）某生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案有 种．
【答案】36
【解析】由于甲、乙、丙比较特殊，因此可以将他们先安排，以他们照看第一、四道工序分类讨论．
①当甲照看第一道工序、丙照看第四道工序时，剩下4个人选择2个照看中间两道工序，于是有（种）；
②当乙照看第一道工序、甲照看第四道工序时，剩下4个人选择2个照看中间两道工序，于是有（种）；
③当乙照看第一道工序、丙照看第四道工序时，剩下4个人选择2个照看中间两道工序，于是有（种）．
综上所述，不同的安排方案一共有（种）．
故答案为：36.
14．（2023春·湖北·高二校联考期中）现准备给每面刻有不同点数的骰子涂色，每个面涂一种颜色，相邻两个面所涂颜色不能相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种．
【答案】
【解析】5种颜色涂6个面，则至少有两个面同色，两个同色面只有在相对的面上才满足题设；
①当只有1对同色面时，选中的面有种可能，选中的颜色有种可能， 剩下4个面用剩下4种颜色分别填充有种可能，所以共有种；
②当只有2对同色面时，选中的面有种可能，选中的颜色有种可能，2种颜色配2对面有2种可能，剩下2个面由剩下3种颜色选2种分别涂，有种，共种；
③当3对面均同色时，选中的面有种，选中的颜色有种，3种颜色配了对面有种， 共种；
综上所述：共种.
故答案为：
15．（2022·高二单元测试）若个人排成一排，、、三人互不相邻，、两人也不相邻的排法有 种
【答案】种
【解析】设剩下的一个人为，
先算A、、三人互不相邻（含、两人相邻）的情况：
、、当板，有个空，将A、、插入空，有种，、、全排，有种；
则有种，
再算A、、三人互不相邻（、必须两人相邻）的情况：
把、捆绑成一个元素（设为），和剩下的一个人看成两个板，有个空，
将A、、插入空，有种，、全排，有种，、全排，有种，
则有种，
则满足条件的排法种数为种
16．（2023·江苏·高二专题练习）四色定理又称四色猜想、四色问题，是世界近代三大数学难题之一．地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的．四色定理的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色．”某同学在横格纸上研究填涂蓝、红、黄、绿4种颜色问题，如图，第1行有1个格子，第2行有2个格子，…，第n行有n个格子，将4种颜色在每行中分别进行涂色，每行相邻的格子颜色不同，记为第k行不同涂色种数，则 ， ．
【答案】 324
【解析】由分步计数原理知每行的第一个格子有4重涂法，其余每个格子均有3种涂法，故种，，
则①，
所以②，
①-②得，即．
故答案为：324，
四、解答题
17.（2023·全国·高二专题练习）判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互打电话．
【答案】(1)不是(2)是(3)不是(4)不是(5)是(6)是
【解析】(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．
18．（2023湛江）计算或解下列方程或不等式
(1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6).
（7） （8）
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).(5)x=3(6)x=6（7）（8）
【解析】(1)
(2)
(3)
(4)若，则
所以，解得或（舍）所以
(5)由排列数公式，原方程可化为，化简得，解得或或或.
因为x满足所以x的取值范围为.所以原方程的解为．
(6)由，得，所以.
化简得，解得，．
因为且，所以原方程的解为x=6．
（7）由题意得，化简得，
即，所以．因为，且，所以不等式的解集为．
（8）由题意可知，且，
因为，，，
所以原不等式可化为，整理得，
所以，，所以原不等式的解集为；
19．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考阶段练习）按要求解决下列问题，最后用数字作答.
(1)名男学生、名女学生和位老师站成一排拍照合影，要求位老师必须站正中间，队伍左、右两端不能同时是一男学生和一女学生，则总共有多少种排法？
(2)年月日是澳门回归祖国周年，某高校为庆祝澳门回归周年，特举行了澳门文化周启动仪式文艺晩会，已知该晩会共有个舞蹈类节目，个语言类节目，个歌曲类节目，若规定同类节目不能相邻出场，则不同的出场次序有多少种？
(3)地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时倒车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有多少种？
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）解：分以下两种情况讨论：
①若队伍左、右两端是两名男生，则不同的排法种数为种；
②若队伍左、右两端是两名女生，则不同的排法种数为种.
综上所述，总共有种不同的排法.
（2）解：先考虑歌曲类节目不相邻，只需将个歌曲类节目插入其余个节目所形成的空中，
此时共有种不同的排法，
其次考虑语言类节目相邻且个歌曲类节目不相邻，只需将个语言类节目捆绑，
则只需将个语言类节目与舞蹈类节目插入个歌曲类节目形成的中间的两个空位，
此时共有.
因此，不同的排法种数为种.
（3）解：根据题意，分两步进行：
①首先将四辆车排列有种排法，
再把两个连续的空位捆绑与另一个空车位往辆车所形成的空位中插入，有种排法，
由乘法原理可知有种不同的排法；
②考虑红、白两辆车相邻且恰有两个连续的空车位，
将红、白两辆车捆绑，以及两个连续的空位捆绑，
先将红、白两辆车捆绑形成的“大元素”与其它两辆车进行排序，
然后将两个连续的空位捆绑与另一个空车位插入“大元素”与其它两辆车所形成的空位中，
此时，不同的排法种数为.
因此，符合条件的排法种数为种.
20．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）用0，1，2，3，4，5这6个数字可组成多少个：
(1)没有重复数字的四位数？
(2)比2000大且没有重复数字的自然数？
(3)没有重复数字且被25整除的四位数？
【答案】(1)个
(2)个
(3)个
【解析】（1）用，，，，，可组成没有重复数字的四位数，
首位从，，，，中任选一个，有种，
后面的三位从剩下的个数中任意选共有种，
所以，没有重复数字的四位数有个；
（2）比大且没有重复数字的自然数，
当四位数时，首位从，，，中选一个有种选法，再从剩下的个数中任选个，有种选法，共有种，
当五位数时，共有种选法，
当六位数时，共有种选法，
故共有种，所以比大的自然数有个．
（3）没有重复数字的能被整除的四位数，分两种情况：
当后两位为时，有种；
当后两位为时，不能在首位，共有种，
共有，故没有重复数字的能被整除的四位数有个．
21．（2022·上海）用1，2，3，4，5，6，7排出无重复数字的七位数：按下述要求各有多少个？
(1)偶数不相邻；
(2)偶数一定在奇数位上；
(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；
(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列．
【答案】(1)1440(2)576(3)720(4)840
【解析】（1）解：因为偶数不相邻，所以将4个奇数排列有种方法，
产生5个空，将3个偶数排上有种方法，所以偶数不相邻共有种方法；
（2）先将3个偶数排在奇数位上有种方法，再将4个奇数排列有种方法，
所以偶数一定在奇数位上有种方法；
（3）先在1和2之间插上一个奇数有种方法，然后看作一个整体和其他数全排列有种方法；
（4）七个数的全排列有种方法，三个偶数全排列有种方法，
所以三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列有种方法.
22（2023·湛江）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
(1)选5名同学排成一排；
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；
(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全体站成一排，男生排在一起；
(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；
(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；
(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．
【答案】(1)2520(2)2400(3)3720(4)288(5)720(6)1440(7)144(8)960(9)5040(10)840
【解析】（1）无条件的排列问题，排法有种；
（2）先安排甲乙在中间有 种，再安排余下的5人有 种，共有排法有种；
（3）排法有种，其中是甲在左端或乙在右端的排法，是甲在左端且乙在右端的排法；
（4）把男生看成一个整体共有 种，再把女生看成一个整体有 种，再把这两个整体全排列，共有种排法；
（5）即把所有男生视为一个整体，与4名女生组成五个元素全排列，共有种排法；
（6）即不相邻问题（插空法）：先排女生共种排法，男生在五个空中安插，有种排法，故共有种排法；
（7）对比（6），让女生插空，共有种排法；
（8）（捆绑法）任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排列，故共有种排法；
（9）分步完成共有种排法；
（10）由于乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列，
7人的全排列共有种，甲、乙、丙3人全排列有种，而3人按甲、乙、丙顺序排列是全排列中的一种，所以共有种排法.
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