人教版高中数学选择性必修三 精讲精练第六章 计数原理 章末小结及测试（2份，原卷版+解析版）

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第六章 计数原理 章末小结及测试考法一 排列数与组合数【例1-1】（2024·辽宁沈阳）（多选）若，为正整数且，则（    ）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对A：，又，故A错误；对B：，故B正确；对C： ，，即，故C错误；对D：，，即，故D正确.故选：BD.【例1-2】（2023辽宁沈阳·期末）（1）已知，计算：；（2）解方程：．【答案】（1）126；（2）．【解析】（1）因为，则，解得，经验证符合题意，所以.（2）由，得，即，而由，知，解得，所以原方程的解为.考法二 排队问题【例2-1】（2023天津河东·阶段练习）有2名男生和3名女生，按下列要求各有多少种排法或选法，依题意列式作答：(1)若选出3人当主持人，要求至少有1名男生，则有多少种不同的选法；(2)若2名男同学必须相邻，共有多少种不同的排法；(3)若2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法；(4)若2名男同学不站两端，共有多少种不同的排法；(5)若2名男同学中间必须有1人，共有多少种不同的排法.【答案】(1)9(2)48(3)72(4)36(5)36【解析】（1）选出3人当主持人有种情况，选出3人当主持人没有男生有种情况，则至少有1名男生有种选法；（2）若2名男同学必须相邻种排法，则2名男生和3名女生其中2名男同学必须相邻共有种排法；（3）2名男同学不相邻，先排3个女生种排法，有4个空排2名男生，则2名男同学不相邻共有种排法；（4）2名男生不站两端，可以选2名女生站两端有种情况，则2名男同学不站两端共有种排法；（5）2名男同学中间必须有1人，先选1名女生在2名男同学中间种排法,再排捆绑后的整体和其他人，则2名男同学中间必须有1人共有种排法.【例2-2】（2024全国·课时练习）有3名男生和4名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方法种数．(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；(3)全体排成一行，其中3名男生必须排在一起；(4)全体排成一行，男、女各不相邻；(5)全体排成一行，3名男生互不相邻；(6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；(7)排成前后二排，前排3人，后排4人；(8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．【答案】(1)2160；(2)3720；(3)720；(4)144；(5)1440；(6)840；(7)5040；(8)720.【解析】（1）解：元素分析法．先安排甲，左、右、中三个位置可供甲选择，有种排法，其余6人全排列，有种排法，由乘法原理得共有（种）排法；（2）解：位置分析法．先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排有种排法，但应剔除乙在最右边的排法种，则符合条件的排法共有（种）；（3）解：捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有（种）排法；（4）解：插空法．先排男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有（种）排法；（5）解：插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有（种）排法；（6）解：定序排列．7名学生排成一行，分两步：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列．由乘法原理得，所以（种）；（7）解：与无任何限制的排列相同，即7个元素的全排列，有（种）排法；（8）解：从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间，有种排法，甲、乙互换位置，有种排法，甲、乙及中间3人看作一个整体和其余2人一起共3个元素排成一排，有种排法，所以共有（种）排法．考法三 排数问题【例3-1】（2024广东）用0、1、2、3、4五个数字．(1)可组成多少个五位数？(2)可组成多少个无重复数字的五位数？(3)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？(5)组成没有重复数字的五位数，将这些数字由小到大排列，42130是第几个数？【答案】(1)2500(2)96(3)20(4)36(5)88【解析】（1）各个数位上数字允许重复，首位上不能为0，故采用分步乘法计数原理，有个．（2）考虑特殊位置“万位”，从1、2、3、4中任选一个填入万位，共有4种填法，其余四个位置，4个数字全排列，故共有个．（3）构成3的倍数的三位数，其各个位上数字之和是3的倍数，则由和，以及组成三位数，由和组成的三位数有个，由以及组成三位数有个，故共有个；（4）考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有种填法，包含0在内还有3个数在中间三个位置上全排列，排列数为，故共有个．（5）本小问的本质就是不大于42130的数有多少．按分类加法计数原理，当万位数字为1、2、3时均满足，共有三个数，当万位数字为4，千位数为0、1时均满足，共有个数，当万位数字为4，千位数字为2，而百位数字为0和1时均满足，共有个，所以42130是第个数．【例3-2】（2024黑龙江）用0，1，2，3，4，5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻；(4)0与1之间恰有两个数；(5)1不在个位；(6)偶数数字从左向右从小到大排列．【答案】(1)480(2)192(3)408(4)120(5)504(6)60【解析】（1）0不在个位，也不在首位，所以这两个位置就从其他5个元素选2个排列，剩下的位置不在受限，所以就全排列，故有种方法.（2）1和2相邻，所以捆绑，看成一个复合元素共种方法，首位不能是0，所以首位就有种方法，其他全排列，故有种方法.（3）采用间接法，所有的六位数减1与2相邻的结果，就是所有的六位数，减第二问的结果，故有种方法.（4）分两种情况，一种是（0**1）或是（1**0），第一种情况这四个元素看成一个复合元素，不能拍首位，第二种情况，三个元素全排列，故有种方法.（5）可以采用间接法，将这6个元素都看成普通元素，共种方法，其中有首位是0的，和个位是1的六位数，所以减，这里面有减重的，首位是0同时个位是1的减了两次，所以要加回一个，故有种方法.（6）同样是间接法，不考虑0有种方法，其中0排首位的有种方法．故有种方法.考法四 涂色问题【例4-1】（2023重庆）用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（    ）A．120 B．72 C．48 D．24【答案】A【解析】先涂，有4种选择，接下来涂，有3种选择，再涂,有2种选择，① 当,颜色相同时涂色方法数是：，② 当,颜色不相同时涂色方法数是：，满足题意的涂色方法总数是：．故选：A．【例4-2】（2023山东德州·阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ）A．种 B．种C．种 D．种【答案】B【解析】由题意可得，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色．先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择，当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择；当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择，故不同的涂色方案有种．故选：B．【例4-3】（2024山东菏泽·期中）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ）A．360种 B．264种 C．192种 D．144种【答案】B【解析】如图，若4种颜色都用到，先给A、B、C三点涂色，有种涂法，再给D、E、F涂色，因为D、E、F中必有一点用到第4种颜色，有种涂法，另外两点用到A、B、C三点所用颜色中的两种，有种涂法，由乘法原理得种．若只用3种颜色，先给A、B、C三点涂色，有种涂法，再给D、E、F涂色，因为D点与A点不同色，有种涂法，若D点与B点同色，则F与C、D不同色，有种涂法，此时E有种涂法；若D点与C点同色，则E与B、D不同色，有种涂法，此时F有种涂法.由乘法原理得种．所以，不同的涂色方法共有种．故选：B【例4-4】（2024河北石家庄·期中）某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面（有公共棱的两个面）所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（   ）A．600种 B．1080种 C．1200种 D．1560种【答案】D【解析】若用5种颜色，从6种颜色任选5种再作全排，即种；若用4种颜色，从6种颜色任选4种有种，再任选一种颜色涂在其中一组对面上有种，其它3种颜色作全排有，所以，共有种；若用3种颜色，从6种颜色任选3种有种，再任选两种颜色涂在两组对面上种，余下的一种颜色涂在底面有1种，所以，共有种；综上，不同的涂色方案有种.故选：D考法五 放球问题【例5-1】（2023高二·江苏·专题练习）将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？【答案】(1)256(种)(2)24(种)(3)144(种)(4)12(种)【解析】（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法.（2）这是全排列问题，共有(种)放法.（3）（方法1）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有种投放方法，故共有(种)放法.（方法2）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，所以共有(种)放法.（4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有(种)放法.（方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法，由分步计数原理得，共有(种)放法.【例5-2】（2024河北唐山·阶段练习）有4个编号为1，2，3，4的小球，4个编号为1，2，3，4的盒子，现需把球全部放进盒子里，（最后结果用数字作答）(1)没有空盒子的方法共有多少种？(2)可以有空盒子的方法共有多少种？(3)恰有1个盒子不放球，共有多少种方法？(4)恰有一个小球放入自己编号的盒中，有多少种不同的放法？【答案】(1)24(2)256(3)144(4)8【解析】（1）没有空盒子的方法：4个球全放4个盒中，没有空盒则全排列共种；（2）可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法共种；（3）恰有一个空盒子，说明另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球，先将四盒中选一个作为空盒，再将四球中选出两球绑在一起，再排列共种；（4）恰有一个小球放入自己编号的盒中,选定从四盒四球中选定标号相同得球和盒，另外三球三盒不能对应共两种，则共种.考法六 分组分配【例6-1】（2024·安徽合肥）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往，，等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去，两个数点中的一个，则不同的安排方法数是（    ）A．72 B．84 C．100 D．120【答案】C【解析】若甲去点，则剩余4人，可只去、两个点，也可分为3组去，，3个点.当剩余4人只去、两个点时，人员分配为或，此时的分配方法有；当剩余4人分为3组去，，3个点时，先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有，综上可得，甲去点，不同的安排方法数是.同理，甲去点，不同的安排方法数也是，所以，不同的安排方法数是.故选：C.【例6-2】（2024青海西宁）由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行．现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（    ）A．60种 B．120种 C．150种 D．240种【答案】C【解析】依题意，5名获奖者按去到三个不同会场，有种方法，5名获奖者按去到三个不同会场，有种方法，所以不同的派出方法有（种）.故选：C【例6-3】（22024·山西·阶段练习）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（    ）．A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【解析】若两年修完全部五门选修课程，先将五门课程分成两组，再从三个学年中选取两年来安排课程，则共有种选修方式；若三年修完全部五门选修课程，则先将五门课程分成三组，再安排到三个学年中，则共有种选修方式；综上所述：每位同学不同的选修方式种数为种.故选：B.【例6-4】（2024）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即算筹）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､龟算､珠算､和计数.某学习小组有甲､乙､丙3人，该小组要收集九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､珠算6种算法相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数为（ ）A．240 B．300 C．420 D．540【答案】D【解析】根据题意，将6种算法分成3组，有1，1，4一组，有1，2，3一组，以及2，2，2一组，然后将这3组分配给甲乙丙三个人，所以不同的分配方案有.故选：D【例6-5】（2024辽宁）某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（    ）A．564 B．484 C．386 D．640【答案】A【解析】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况.第一种情况分成2人，2人，4人：女生去同一处景点，当成2人组时，其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生不同组，有种方法；当在4人组时，有种方法.第二种情况分成2人，3人，3人：当成2人组时，有种方法；当在3人组时，有种方法.故这8名同学游玩行程的方法数为.故选：A.考法七 二项式定理【例7-1】（2023福建龙岩）（多选）已知二项式的展开式，则（　　）A．常数项是 B．系数为有理数的项共有4项C．第5项和第6项的二项式系数相等 D．奇数项的二项式系数和为256【答案】ACD【解析】由题意二项式的展开式通项为，对于A，令，得，所以常数项是，故A正确；对于B，当且仅当时，这些项的系数为有理数，即系数为有理数的项共有5项，故B错误；对于C，第5项和第6项的二项式系数满足，故C正确；对于D，奇数项的二项式系数和为，故D正确.故选：ACD.【例7-2】（2023·江西上饶）（多选）已知，则下列结论成立的有（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】设，可得出，可判断A选项；利用二项展开式通项可判断B选项；由可判断C选项；由可判断D选项.【详解】【解析】设，对于A选项，，A对；对于B选项，的展开式通项为，所以，，B对；对于CD选项，，解得，，C错D对.故选：ABD.【例7-3】（2024江西九江）（多选）已知二项式，则下列说法正确的是（    ）A．若，则展开式中的常数项为15B．展开式中有理项的个数为4C．若展开式中各项系数之和为64，则D．展开式中二项式系数最大的项为第3项【答案】AB【解析】因为 .对于A：若，则展开式中的常数项为，故A正确；对于B：展开式中有理项的个数为4，故B正确；对于C：若展开式中各项系数之和为64，则令，有，或，故C错误；对于D：展开式中的二项式系数最大的为，对应第4项，故D错误；故选：AB.考法八 杨辉三角【例8-1】（2023广东广州·期末）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得自豪的，以下关于杨辉三角的叙述正确的是（    ）第1行       1  1第2行      1  2  1第3行     1  3  3   1第4行    1  4  6   4   1第5行   1  5  10  10  5  1第6行  1  6  15  20  15  6  1……             ……A．第9行中从左到右第6个数是126 B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A，第9行中从左到右第6个数是，A正确；对于B，，B正确；对于C，由二项式系数的性质，得，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD【例8-2】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）（多选）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.请结合“杨辉三角”判断下列叙述，正确的是（    ）A．B．第20行中，第11个数最大C．记第行的第个数为，则D．第34行中，第15个数与第16个数的比为【答案】BCD【解析】由图知，第行的第个数为，则，对于A，由可得，，故A错误；对于B，第20行有21项，中间一项最大为，是第11个数，故B正确；对于C，第行的第个数为，，，故C正确；对于D，第34行中，第15个数与第16个数的比为，故D正确.故选：BCD.【例8-3】（2023湖南长沙·阶段练习）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩 上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（    ）  A．由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想B．由“第行所有数之和为”猜想：C．第20行中，第10个数最大D．第15行中，第7个数与第8个数的比为7：9【答案】ABD【解析】对于A选项，由“杨辉三角”的规律可得A正确；对于B选项，由二项式系数的性质知，B正确；第20行的数是，最大的是第11个数，C错误；第15行中，第7个数与第8个数分别是和，，D正确.故选：ABD.【例8-4】（2024江西）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】,由题意可得，第2行到第2023行，每行的第3个数字之和为,故选：B．单选题1.（2024辽宁朝阳）如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（    ）A．5条 B．6条 C．7条 D．8条【答案】D【解析】由题意知可以按上、下两条线路分为两类，上线路中有条，下线路中有条.根据分类计数原理，不同的线路可以有条.故选：D2．（2024江西 ）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法共有（    ）A．9种 B．12种 C．24种 D．72种【答案】B【解析】任选1部电影可分四类：第一类选的是科幻片，第二类选的是警匪片，第三类选的是战争片，第四类选的是喜剧片，由分类加法计数原理可得不同的选法共有（种）．故选：B．3．（2023江西九江·期末）从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（    ）A．30个 B．42个 C．41个 D．39个【答案】D【解析】当取时，则只能为真数，此时这个对数值为，当不取时，底数有种，真数有种，其中，故此时有个，所以共有个.故选：D.4．（2024高二下·全国·专题练习）用1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（    ）A．16个 B．12个 C．9个 D．8个【答案】D【解析】比2000大，故千位为2，3，4，若千位为2，则个位为4，有（个）符合题意的四位数；若千位为3，则个位为2或4，有（个）符合题意的四位数；若千位为4，则个位为2，有（个）符合题意的四位数．根据分类加法计数原理得，一共有（个）符合题意的四位数．故选:D．5．（2024安徽）将5个相同的白球和5个相同的红球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有红球，则不同的放球方法共有(    )A．18种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】C【解析】先在每个盒子中放一个白球和一个红球，剩下2个红球、2个白球共四个球，红球有种放法，同理白球也有6种放法，总共种放法．故选：C．6．（2024四川雅安 ）已知集合，非空集合，且中所有元素之和为奇数，则满足条件的集合共有（    ）A．12个 B．14个 C．16个 D．18个【答案】C【解析】，由于中所有元素之和为奇数，且非空集合，当中只有一个元素时，则或或，当中有2个元素时，则中的元素必为一偶一奇，故有个满足条件的， 当中有3个元素时，则中的元素必为2偶一奇或者三个元素均为奇数，故有4个满足条件的， 当中有4个元素时，则中的元素必为一偶3奇，故有2个满足条件的， 当中有5个元素时，则满足条件， 故共有，故选：C7．（2024黑龙江哈尔滨 ）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……．则此数列的前15项之和为（    ）A．114 B．116 C．124 D．126【答案】A【解析】根据题意可知构成的新数列的前15项分别为杨辉三角的第三层到第七层除去1之外的所有数构成的，除第一行有一个1以外，其余每行都有两个1，又第行的所有数字之和为，所以构成的新数列前15项之和为.故选：A8．（2024·广东佛山·模拟预测）若，则下列不正确（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】将代入得，解得，A正确；由二项式定理可知展开式的通项为，令得，所以，B错误；将代入得，即，C正确；将代入得，即①，将代入得，即②，①+②得，所以，①-②得，所以，所以，D正确；故选：B多选题9．（2023山东德州 ）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（    ）A．不同的站队方式共有120种B．若甲和乙不相邻，则不同的站队方式共有36种C．若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有60种D．若甲和乙相邻，且甲不在两端，则不同的站队方式共有36种【答案】ACD【解析】对于A，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，不同的站队方式共有种，A正确；对于B，甲和乙不相邻的站队方式有种，B错误；对于C，甲在乙的左边的不同的站队方式有种，C正确；对于D，将甲与乙捆绑看做一个整体，再与其他三人站成一排，有种站队方式，其中甲站在两端的情形有种，所以符合题意的站队方式共有种，D正确.故选：ACD10．（2024福建宁德 ）已知，则（    ）A． B．C． D．展开式中二项式系数最大的项为第项【答案】AB【解析】设.对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，，所以，，C错；对于D选项，展开式共项，展开式中二项式系数最大的项为第项，D错.故选：AB.11．（2024山西阳泉 ）将四大名著《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》，诗集《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和戏曲《中华戏曲》7本书放在一排，则（    ）A．戏曲书放在正中间位置的不同放法有种 B．诗集相邻的不同放法有种C．四大名著互不相邻的不同放法有种 D．四大名著不放在两端的不同放法有种【答案】ABC【解析】A选项，戏曲书放在正中间，其余6本书和6个位置进行全排列，共有种不同放法，A错误；B选项，将两本诗集进行捆绑，有2种放法，再将捆绑的诗集和剩余的5本书，进行全排列，此时有种放法，故诗集相邻的不同放法有种，B正确；C选项，先将诗集和戏曲进行全排列，有种方法，且3本书互相之间有4个空，将4大名著进行插空，有种方法，故共有种放法，C正确；D选项，将除四大名著外的3本书中，挑选2本放在两端，有种放法，再将剩余5本书和5个位置进行全排列，有种放法，故四大名著不放在两端的不同放法有种，D错误.故选：ABC12．（2024江苏常州 ）2023年国外某智库发布《尖端技术研究国家竞争力排名》的报告，涵盖了超音速、水下无人潜航器、量子技术、人工智能、无人机等二十多个领域.报告显示，中国在其中19个领域处于领先.某学生是科技爱好者，打算从这19个领域中选取这5个领域给班级同学进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则下列结论中正确的是（    ）A．都在后3天介绍的方法种数为36B．相隔一天介绍的方法种数为36C．A不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为72D．A在，之前介绍的方法种数为40【答案】ABD【解析】A选项，在后3天中选择2天，有种选择，再将和剩余的3天进行全排列，有种选择，故有种方法数，A正确；B选项，先把进行全排列，再从选择1个放在之间，有种方法，再将这三个领域捆绑，和剩余的两个领域进行全排列，共有种选择，综上，共有种方法数，B正确；C选项，若A在最后一天进行介绍，则将剩余4个领域进行全排列，有种方法，若A不在最后一天进行介绍，从3天中选择1天安排A，再从除了最后一天的剩余3天中选择1天安排，有种选择，最后将剩余的3个领域和3天进行全排列，有种选择，则此时有种选择，综上，A不在第一天，不在最后一天介绍的方法种数为，C错误；D选项，进行全排列，共有种方法，将进行全排列，共有种方法，其中A在，之前的有2种，故120种排列中，A在，之前的有种，故D正确.故选：ABD填空题13．（2024重庆大足）为弘扬志愿者精神，某校举行“乐于助人”服务活动，现安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每个地方至少1人，若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有 种．【答案】【解析】安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每个地方至少1人，则将4人按分组，若不考虑限制条件，则此时不同的安排方式有种，当甲和乙去同一个地方时，有种不同的安排方式，所以若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有种.故答案为：14．（2024北京·开学考试）已知，则 .【答案】3【解析】的通项为，所以展开式中的系数为，的通项为，所以展开式中的系数为，所以.故答案为：3.15．（2024江西 ）网课期间，小王同学趁课余时间研究起了七巧板，有一次他将七巧板拼成如下图形状，现需要给下图七巧板右下方的五个块涂色（图中的1，2，3，4，5），有4种不同颜色可供选择，要求有公共边的两块区域不能同色，有 种不同的涂色方案.【答案】252【解析】第一步：涂2，有4种颜色；第二步：涂5，有3种颜色第三步：涂3、4，当3与5同色时，4有3种颜色；当3和5不同色时，3有2种颜色，4有2种颜色，第三步共7种.第四步：涂1，有3种颜色.共计种.故答案为：25216．（2024辽宁朝阳 ）孪生素数是指相差2的素数对，例如5和7，“孪生素数猜想”正式由希尔伯特在1900年国际数学家大会的报告上第8个问题中提出，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数，素数对称为孪生素数.在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，则这两个数为孪生素数的概率为 .【答案】【解析】由题意分析知：不超过20的素数有，随机抽取两个不同的素数，基本事件总数，取出的两个数是孪生素数包含的基本事件有：,，,，,，,，共4个，故两个数为孪生素数的概率是.故答案为：.解答题17（2023湖南长沙 ）从A，B，C等8人中选出5人排成一排.(1)A必须在内，有多少种排法？(2)A，B，C三人不全在内，有多少种排法？(3)A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？(4)A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？【答案】(1)4200(2)5520(3)240(4)4440【解析】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果，再将这4人与A进行全排列有种不同的排法，故由乘法原理可知共有种不同排法；（2）从8人中任选5人排列共有种不同排法，A，B，C三人全在内有种不同排法，由间接法可得A，B，C三人不全在内共有种不同排法；（3）因A，B，C都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果，A，B必须相邻，有种不同排法，由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法，由乘法原理可得共有种不同排法；（4）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有种排法；第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法；第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法；第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法，若A不排中间时，有种排法，共有种排法；综上，共有4440种不同排法.18．（2024天津·期中）从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）(1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；(2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；(3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；(4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；(5)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.【答案】(1)60(2)480(3)180(4)180(5)210【解析】（1）先安排甲、乙2人位置，再从出甲、乙之外的6人中选2人安排他们的位置，则方法数为（2）先从甲、乙2人中选一人安排其位置，再从出甲、乙之外的6人中选3人安排他们的位置，则方法数为（3）先把甲、乙2人看作一个元素，再从除甲、乙之外的6人中选2人和甲和乙这个整体来排序，则方法数为（4）从除甲、乙之外的6人中选2人排序，再让甲和乙来插空，则方法数为（5）第一步，从除甲、乙之外的6人中选2人第二步，分甲跑第四棒和甲不跑第四棒则方法数为19．（2024山西临汾·阶段练习）某班有一个5男4女组成的社会实践调查小组，准备在暑假进行三项不同的社会实践，若不同的组合调查不同的项目算作不同的调查方式，求按下列要求进行组合时，有多少种不同的调查方式？(1)将9人分成人数分别为2人、3人、4人的三个组去进行社会实践；(2)将9人平均分成3个组去进行社会实践；(3)将9人平均分成每组既有男生又有女生的三个组去进行社会实践.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】（1）将9人按分组，有种分组方法，再把各组分配到三个项目中去有方法，由分步乘法计数原理得：，所以不同的调查方式有.（2）从9人中任取3人去调查第一个项目，从余下6人中任取3人去调查第二个项目，最后3人去调查第三个项目，由分步乘法计数原理得：，所以不同的调查方式有.（3）把4个女生按分组，有种分法，再从5个男生中任取1个到两个女生的一组，从余下4个男生中任取2人到1个女生的一组，最后2个男生到最后的1个女生组，分法种数为，将分得的三个小组分配到三个项目中去有方法，由分步乘法计数原理得：，所以不同的调查方式有.20．（23-24高二上·全国·课时练习）由字母A、E及数字1、2、3、4形成的排列．(1)由这些字母，数字任意排成一排共能形成多少不同的排列？(2)要求首位及末位只能排字母，排成一列有多少不同排列？(3)要求末位不能排字母，有多少不同的排列？【答案】(1)720(2)48(3)480【解析】（1）对两个字母和四个数字进行全排列，故有种，所以由这些字母、数字任意排成一排共能形成720种不同的排列.（2）先排首位的字母和末尾的字母，有种不同的排列，剩下的数字全排列有种不同的排列，共有不同的排列.（3）方法一：末尾不能排字母，先用数字来排末位，有种不同的排列，剩下的全排列有种不同的排列，共有不同的排列.方法二：对总体元素进行全排列有种不同的排列，此时，包含了末尾不能排字母的情况，而末尾排字母的情况有种不同的排列，则满足要求的排列共有种不同的排列.综上所述，末位不能排字母的情况，共有480种不同的排列。21．（2024黑龙江）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．【答案】(1)4096(2)1560(3)10(4)2160【解析】（1）由题意，6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个小球都有4种可能的放法，故有种不同的方法；（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；先把6个小球分为4组，每组个数为或，再放入不同的4个盒子中，共有种不同的方法.（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，即将6个相同的小球分为4份即可，可采用隔板法，即将6个小球排成一排，在中间形成的5个空中选3个插入隔板，即可将6个相同的小球分成4份，故有种方法.（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒,将6个不同的小球分为3组，球的个数为或或，然后从4个不同的盒子中选3个放入这3组球，则有种不同的方法.22．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）6名同学（简记为，，，，，）到甲、乙、丙三个场馆做志愿者.（i）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？（ii）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且、两人约定去同一个场馆，、不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？（2）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法？（结果用数字表示）（3）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数？（结果用数字表示）【答案】（1）（i）126；（ii）114；（2）14；（3）60【解析】（1）（i）16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙，插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，所以不同的发放方法种；（ii）把，视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有两类：第一类1，1，3，去掉，在一组的情况，有种分组方法，再分配给三个场馆，有种方法，第二类1，2，2，去掉，在一组的情况，有种分组方法，再分配给三个场馆，有种方法，所以不同的安排方法有种方法；（2）把4名干部按分成两组，有种分组方法，按分成两组，有种分组方法，所以4名干部按要求分到两个街道的不同方法数是（种）；（3）依题意，6串香蕉任意收取有种方法，其中中间一列按从下往上有1种，占，最右一列按从下往上只有1种，占，所以不同取法数是（种）.