（人教A版2019必修第一册）高一数学精讲与精练高分突破系列第二章单元必刷卷（培优卷）（全解全析）（附答案）

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第二章一元二次函数、方程和不等式同步单元必刷卷（培优卷）全解全析1．B【详解】化简不等式，可知 推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．2．A【解析】【分析】分别由命题p,q求得a的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解不等式可得，对于命题，当时，命题明显成立；当时，有：，解得：，即命题为真时，故成立是成立的充分不必要条件.故选A.【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分条件和必要条件的判定，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．B【解析】【详解】解析：考察均值不等式，整理得即，又，4．D【解析】【分析】根据题意求出x,y满足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代换，求解最小值【详解】如图可知x，y均为正，设，共线， ，，则，，则的最小值为，故选D.【点睛】平面向量与基本不等式的综合题目，考察基本不等式中“1”的代换，求解代数式最值问题5．A【解析】【分析】对讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到的取值范围.【详解】不等式对一切恒成立，当，即时，恒成立，满足题意；当时，要使不等式恒成立，需，即有，解得.综上可得，的取值范围为.故选：A.6．B【解析】解不等式，得或，再分类讨论不等式的解集，结合集合关系求得参数的取值范围.【详解】解不等式，得或解方程，得，（1）当，即时，不等式的解为：此时不等式组的解集为，若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；（2）当，即时，不等式的解为：此时不等式组的解集为，若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；综上，可知的取值范围为故选：B【点睛】关键点睛：本题考查利用不等式组的解集情况求参数的范围，解题的关键是解一元二次不等式及分类讨论解含参数的一元二次不等式，再利用集合关系求参数，考查学生的分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题.7．C【解析】【详解】试题分析：因为正实数，满足，所以，故有最小值4，故A不正确；由基本不等式可得，故有最大值，故B不正确；由于，故由最大值为，故C正确；，故由最小值，故D不正确．考点：基本不等式8．B【解析】【分析】把要求的式子变形为，再利用基本不等式求得它的最小值．【详解】已知，，，则，当且仅当 时，即当，且，等号成立，故的最小值为，故选：．【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查常数代换法，注意最值取得的条件，考查运算能力，属于中档题．9．ABD【解析】【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.10．ABCD【解析】【分析】首先讨论，三种情况讨论不等式的形式，再讨论对应方程两根大小，讨论不等式的解集.【详解】对于一元二次不等式，则当时，函数开口向上，与轴的交点为 ，故不等式的解集为；当时，函数开口向下，若，不等式解集为 ；若，不等式的解集为 ，若，不等式的解集为，综上，都成立，故选：【点睛】本题考查含参的一元二次不等式的解法，属于中档题型，本题的关键是讨论的取值范围时，要讨论全面.11．ABC【解析】【分析】解一元二次不等式求集合A，根据各选项中集合的关系，列不等式或方程求参数值或范围，判断A、B、C的正误，已知参数，解一元二次不等式求集合B，应用交运算求判断正误即可.【详解】由己知得：，令A：若，即是方程的两个根，则，得，正确；B：若，则，解得，正确；C：当时，，解得或，正确；D：当时，有，所以，错误；故选：ABC.12．AC【解析】【分析】根据均值不等式求最值，注意验证等号成立的条件.【详解】因为，所以，，当且仅当即时，等号成立 ，故A正确；函数，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；由可得，，当且仅当，即时等号成立，故D错误.故选：AC【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.13．【解析】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.14．【解析】【分析】可将方程转化成函数，画出大致图像，再根据二次函数性质进行求解【详解】如图所示：必须同时满足以下三个条件：①②对称轴③联立解得【点睛】方程与函数可进行等价转化，必要的时候可结合二次函数图像进行求解15．【解析】【详解】由两边同时加上得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”），从而有（当且仅当,即时，“=”成立）故填：.考点：基本不等式.【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式转化为（a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.16．【解析】【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论：①当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，，则；②当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当或时，，则；综合①②可得的取值范围是，故答案为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．17．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分离出，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出，即可求出范围；（2）分析讨论二次不等式对应方程的两个根的大小，写出解集A, 是 的充分不必要条件得出,求出的范围.【详解】（1）命题：“，都有不等式成立”是真命题，得在时恒成立，∴，得，即.（2）不等式，①当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，∴，此时；②当，即时，解集，满足题设条件；③当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，，此时.综上①②③可得【点睛】本题主要考查了含参数一元二次不等式的解法，分类讨论的思想，以及充分必要条件的理解转化，集合的交集运算等，属于中档题.解决不等式恒成立求参数的范围问题，常采用分离参数求最值；解含参数的二次不等式时，常从二次项系数、判别式、两个根的大小进行讨论.18．（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）方法一：由结合不等式的性质，即可得出证明；（2）方法一：不妨设，因为，所以，则．故原不等式成立．【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法，.均不为，则，．［方法二］：消元法由得，则，当且仅当时取等号，又，所以．［方法三］：放缩法方式1：由题意知，又，故结论得证．方式2：因为，所以．即，当且仅当时取等号，又，所以．［方法四］：因为，所以a，b，c必有两个负数和一个正数，不妨设则.［方法五］：利用函数的性质方式1：，令，二次函数对应的图像开口向下，又，所以，判别式，无根，所以，即．方式2：设，则有a，b，c三个零点，若，则为R上的增函数，不可能有三个零点，所以．（2）［方法一］【最优解】：通性通法不妨设，因为，所以，则．故原不等式成立．［方法二］：不妨设，因为，所以，且则关于x的方程有两根，其判别式，即．故原不等式成立．［方法三］：不妨设，则，关于c的方程有解，判别式，则．故原不等式成立．［方法四］：反证法假设，不妨令，则，又，矛盾，故假设不成立．即，命题得证．【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．19．（1）最小值为；（2）.【解析】【分析】（1）由．利用基本不等式即可求得函数的最小值； （2）由题意可得不等式成立”只要“在恒成立”．不妨设，则只要在[0，2]恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．【详解】解：（1）依题意得.因为x>0，所以 .当且仅当，即时，等号成立.所以.故当时，的最小值为 .（2）因为，所以要使得“任意的，不等式成立”，只要“在上恒成立”.不妨设，则只要在上恒成立.所以 即解得.所以a的取值范围是.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，以及恒成立问题等，考查学生的运算求解能力，属于中档题．20．（Ⅰ）答案不唯一，具体见解析.（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）将原不等式化为，分类讨论可得不等式的解.（Ⅱ）若则；若，则参变分离后可得在恒成立，利用基本不等式可求的最小值，从而可得的取值范围.【详解】（Ⅰ） 即， ，（ⅰ）当时，不等式解集为；（ⅱ）当时，不等式解集为；（ⅲ）当时，不等式解集为，综上所述，（ⅰ）当时，不等式解集为；（ⅱ）当时，不等式解集为；（ⅲ）当时，不等式解集为 .（Ⅱ）对任意的恒成立，即恒成立，即对任意的，恒成立.①时，不等式为恒成立，此时；     ②当时，， ， ， ，当且仅当时，即，时取“”, .综上 .【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或基本不等式来求.21．(1) y＝＋x，x∈[50，100] (或y＝＋x，x∈[50，100]).(2) 当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.【解析】【分析】（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式，（2）利用基本不等式求最值即得结果.【详解】(1)设所用时间为t＝ (h)，y＝×2×＋14×，x∈[50，100].所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100](或y＝＋x，x∈[50，100]).(2)y＝＋x≥26，当且仅当＝x，即x＝18时等号成立.故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.【点睛】本题考查函数解析式以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.22．（1）；（2）答案见解析．【解析】【分析】（1）分别在和两种情况下，结合二次函数图象的分析可确定不等式组求得结果；（2）将不等式整理为，分别在，和三种情况下求得结果.【详解】（1）由知：，当时，，满足题意；当时，则，解得：；综上所述：的取值范围为．（2）由得，即，即；当时，解得：；当时，解得；当时，解集为．综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．