高中数学第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试知识点教案设计

《不等式》全章复习与巩固

【学习目标】

1. 了解不等式（组）的实际背景；

2. 通过图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图；

3. 能用平面区域表示二元一次不等式组，能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；

4. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：不等式的主要性质

(1)对称性：.

(2)传递性：.

(3)加法法则：；.

(4)乘法法则：；；.

(5) 乘方法则：.

(6) 开方法则：.

要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同.

要点二：三个“二次”的关系

1. 一元二次不等式或的解集：

设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：

2. 解一元二次不等式的步骤

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：.

（2）计算判别式，分析不等式的解的情况：

①时，求根（注意灵活运用因式分解和配方法）；

②时，求根；

③时，方程无解.

（3）写出解集.

要点诠释：若，可以转化为的情形解决.

要点四：基本不等式

1. 两个重要不等式

① ，那么（当且仅当时取等号“=”）

② 基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.

2. 算术平均数和几何平均数

① 算术平均数：称为的算术平均数；

② 几何平均数：称为的几何平均数.

要点诠释：基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

3. 基本不等式的应用

① ，且（定值），那么当时，有最小值；

② ，且（定值），那么当时，有最大值.

要点诠释 ：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件：

① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；

② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③ 三等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.

4. 几个常用变形不等式

① （当且仅当时等号成立）；

② （当且仅当时等号成立）；

③ ；特别地：；

④ .

【典型例题】

类型一：不等式性质的应用

例1．若，则下列不等关系中不能成立的是（   ）

A．          B．         C．         D．

【思路点拨】利用作差法或作商法比较两数大小；或利用赋值法排除选项.

【答案】B

【解析】∵，∴.

由，，∴（A）成立.

由，，∴（C）成立.

由，，，∴（D）成立.

∵，，，，

，，∴（B）不成立.

故应选B

【变式】已知，则成立的一个等价条件是（   ）

A.      B.      C.      D.

【答案】C

例2．如果，，则

(1) 的取值范围是            ； (2) 的取值范围是             .

【答案】(1)（46，66）；  （2）（480，1008）

【解析】（1）利用不等式的性质可得；

（2）利用不等式的性质可得.

【变式】如果，，则

(1) 的取值范围是            ； (2) 的取值范围是             .

【答案】(1)（-18，-10）；  （2）.

例3．已知函数，满足，，那么的取值范围是           .

【解析】

解法一：方程思想(换元)：

由 ，求得

∴

又

∴ ，

即.

解法二：待定系数法

设f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)

解法三：数形结合(线性规划)

所确定区域如图：

设，将边界点(0，1)(3，7)代入即求出.

【变式】已知，，求的取值范围.

【答案】[-3，10]

类型二：一元二次不等式的有关问题

例4．不等式的解集为{ }，则=_______， =________.

【思路点拨】一元二次不等式解集{}中的端点就是对于的方程的两个根，利用根与系数的关系（韦达定理）列方程组，即可求出，的值.

【解析】由不等式的解集为{x|-1<x<2}知a<0，且方程ax2+bx+12=0的两根为-1，2.

由根与系数关系得

解得a=-6， b=6.

【变式1】若不等式的解集为(-∞，-1] ∪[2，+ ∞），求实数的值.

【答案】-2

【解析】由题设知 x=2为方程f(x)=0的根， ∴f(2)=0a=-2，

       ∴所求实数a=-2.

【变式2】已知关于的方程有两个相异实根，求实数的取值范围.

【答案】

例5．若关于的不等式的解集为一切实数R，求的取值范围.

【思路点拨】观察不等式，可知其首项系数含参数，需分类讨论.

【解析】当时，原不等式为：，不符合题意.

当时，原不等式为一元二次不等式，显然不符合题意.

当时，只需，

即，解得.

综上，的取值范围为.

【变式】若对于任意R恒有，求的值.

【答案】对任意xR有恒成立

对任意xR 恒成立

又因mN*，∴m=1

类型三：二元一次方程（组）与平面区域

例6．设集合={是三角形的三边长}，则所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（    ）

【解析】利用三角形的三边关系得：

，即 表示的平面区域为A选项.

【变式1】不等式组所表示的平面区域为（    ）

   A                     B                   C                   D

【答案】B

【变式2】不等式组在平面上的解的集合为（   ）

A．四边形内部               B. 三角形內部          C.一点            D.空集

【答案】B

【解析】不等式组所表示的平面区域图形如下，

∴交集为三角形内部，选B.

类型五：基本不等式的应用

例8．一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h的速度匀速开往400 km处的灾区．为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于 km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？

【思路点拨】设出合适的变量，建立相应的函数关系式，注意自变量的取值范围，利用均值不等式求其最小值.

【解析】设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，

t相当于：最后一辆车行驶了25个km＋400 km所用的时间，

因此.

当且仅当，即x＝80时取“＝”．

故这些汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．

【变式1】求的最大值.

【答案】

【解析】且为常数，

（当且仅当时取等号），

∴当时，.

【变式2】建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低造价为        元.

【答案】1760

【解析】设水池池底的一边长为xm，则另一边长为，则总造价y为：

（元）

当且仅当即时，y取最小值为1760.

所以水池的最低造价为1760元.