高中数学必修一 专题10 一元二次函数、方程和不等式单元复习

◎◎◎◎◎◎高考真题◎◎◎◎◎◎

1．（2020•梅州二模）若0，有下列四个不等式：①a3＜b3；②loga+23＞logb+13；③；④a3+b3＞2ab2．则下列组合中全部正确的为（　　）

A．①② B．①③ C．①④ D．②③

【答案】B

【解析】根据 0，不妨取a＝2，b＝3，则②④不成立，故ACD不正确．故选：B．

2．（2020•辽宁三模）若4x+4y＝1，则x+y的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，﹣∞） C．（﹣∞，1] D．[1，﹣∞）

【答案】A

【解析】由基本不等式可得，若4x+4y＝1，有1＝4x+4y≥22，

即4x+y4﹣1，根据指数函数y＝4x是单调递增函数可得，x+y≤﹣1，

故x+y的取值范围是（﹣∞，﹣1]，故选：A．

3．（2020•葫芦岛模拟）若圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5关于直线ax+by﹣1＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为（　　）

A．4 B．4 C．9 D．9

【答案】C

【解析】由题意可知，圆心（2，1）在直线ax+by﹣1＝0，则2a+b＝1，

又因为a＞0，b＞0，所以（）（2a+b）＝55+4＝9，

当且仅当且2a+b＝1即a，b时取等号，此时取得最小值9．故选：C．

4．（2020•碑林区校级一模）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（　　）

A． B．a2+b2≥2ab（a＞b＞0） 

C． D．（a＞b＞0）

【答案】D

【解析】由图形可知：OF，OC，

在Rt△OCF中，由勾股定理可得：CF，∵CF≥OF，

∴，（a，b＞0）．故选：D．

5．（2020•武汉模拟）若0＜a＜b＜1，x＝ab，y＝ba，z＝bb，则x、y、z的大小关系为（　　）

A．x＜z＜y B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x

【答案】A

【解析】因为0＜a＜b＜1，故f（x）＝bx单调递减；故：y＝ba＞z＝bb，g（x）＝xb单调递增；

故x＝ab＜z＝bb，则x、y、z的大小关系为：x＜z＜y；故选：A．

6．（2020•河南模拟）已知区间（a，b）是关于x的一元二次不等式mx2﹣2x+1＜0的解集，则3a+2b的最小值是（　　）

A． B． C． D．3

【答案】C

【解析】∵（a，b）是不等式mx2﹣2x+1＜0的解集，

∴a，b是方程mx2﹣2x+1＝0的两个实数根且m＞0，∴a+b，ab，

∴2；且a＞0，b＞0；

∴3a+2b•（3a+2b）•（）•（5）（5+2）（5+2），

当且仅当ba时“＝”成立；

∴3a+2b的最小值为（5+2）．故选：C．

7．（2020•海南）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（　　）

A．a2+b2 B．2a﹣b 

C．log2a+log2b≥﹣2 D．

【答案】ABD

【解析】①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则，故A正确．

②利用分析法：要证，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，b﹣1＜0，故B正确．

③，故C错误．

④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，

利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当a＝b时，等号成立．故D正确．

故选：ABD．

8．（2020•天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则的最小值为　4　．

【答案】4

【解析】a＞0，b＞0，且ab＝1，则24，

当且仅当，即a＝2，b＝2或a＝2，b＝2 取等号，

故答案为：4

9．（2020•江苏）已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是　　．

【答案】

【解析】方法一、由5x2y2+y4＝1，可得x2，

由x2≥0，可得y2∈（0，1]，

则x2+y2y2（4y2）•2，当且仅当y2，x2，

可得x2+y2的最小值为；

方法二、4＝（5x2+y2）•4y2≤（）2（x2+y2）2，故x2+y2，

当且仅当5x2+y2＝4y2＝2，即y2，x2时取得等号，可得x2+y2的最小值为．

故答案为：．

10．（2019•天津）设x∈R，使不等式3x2+x﹣2＜0成立的x的取值范围为　（﹣1，）　．

【答案】（﹣1，）

【解析】3x2+x﹣2＜0，将3x2+x﹣2分解因式即有：（x+1）（3x﹣2）＜0；（x+1）（x）＜0；

由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：﹣1＜x；

即：{x|﹣1＜x}；或（﹣1，）；故答案为：（﹣1，）；

11．（2019•天津）设x＞0，y＞0，x+2y＝4，则的最小值为　　．

【答案】

【解析】x＞0，y＞0，x+2y＝4，

则2；

x＞0，y＞0，x+2y＝4，

由基本不等式有：4＝x+2y≥2，∴0＜xy≤2，，

故：22；（当且仅当x＝2y＝2时，即：x＝2，y＝1时，等号成立），

故的最小值为；故答案为：．