人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式课时训练

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考点一： 基本不等式
1．如果a>0，b>0，eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．
其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
2．变形：ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2eq \r(ab)，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
考点二： 用基本不等式求最值
用基本不等式eq \f(x＋y,2)≥eq \r(xy)求最值应注意x，y是正数；
(①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)；
②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
【题型归纳】
题型一：基本不等式的内容及其注意
1．下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（ ）
已知，求的最小值；解答过程：；
求函数的最小值；解答过程：可化得；
设，求的最小值；解答过程：，
当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．已知，，则下列式子一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．现有以下结论：
①函数的最小值是；②若、且，则；
③的最小值是；④函数的最小值为.
其中，正确的有（ ）个
A．B．C．D．
题型二：由基本不等式比较不等式的大小
4．若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是（ ）
A．P＞Q＞MB．M＞P＞Q
C．Q＞M＞PD．M＞Q＞P
6．设，其中、是正实数，且，，则与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
题型三：基本不等式求积的最大值
7．若a，b都为正实数且，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．设正实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数的最小值为3
B．若，，，则的最小值为5
C．若，，，则xy的最小值为1
D．若，，，则的最小值为
题型四：基本不等式求和的最小值
10．设，，且，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
11．已知，则的最小值是( )
A．5B．4C．8D．6
12．已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
① ②的最小值为16 ③的最小值为8 ④的最小值为2
A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④
题型五：二次商式的最值问题
13．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
14．已知正实数x，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
15．函数（）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型六：基本不等式“1”的妙用
16．若，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
17．若一组数据2，4，6，8的中位数、方差分别为，，且，则的最小值为（ ）
A．10B．C．D．20
18．已知点E是的中线上的一点（不包括端点）．若，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
题型七：基本不等式的恒成立求参数问题
19．已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
20．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
21．设，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型八：对勾函数最值问题
22．下列关于基本不等式的说法正确的是（ ）
A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为2
C．已知，则的最小值为 D．若正数满足，则的最小值是3
23．下列函数中，最小值是的是（ ）
A．B．
C．D．
24．若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型九：基本不等式的实际问题的应用
25．已知，都是正数，则下列命题为真命题的是（ ）
A．如果积等于定值，那么当时，和有最大值
B．如果和等于定值，那么当时，积有最小值
C．如果积等于定值，那么当时，和有最小值
D．如果和等于定值，那么当时，积有最大值
26．两直立矮墙成二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为的直角梯形菜园墙足够长，则所用篱笆总长度的最小值为（ ）
A．16mB．18m
C．D．
27．数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．4B．C．D．
题型十：基本不等式的综合应用
28．（1）已知，求的最大值．
（2）已知且，求的最小值．
29．为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.
(1)当时，求海报纸的面积；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
30．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件：
(1)若，则；(2)若，则；
(3)若，则；(4)若，则；(5)对任意实数和，．
【双基达标】
一、单选题
31．若，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．16C．49D．81
32．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值0B．有最小值为0
C．有最大值为－4D．有最小值为－4
33．已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（ ）
A．B．C．D．
34．已知，，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
35．已知，，且，则的最小值是（ ）
A．B．2C．9D．4
36．已知正数x、y满足x+=4，则xy的最大值为_______.
37．已知，且，则的最小值为____________.
38．（1）已知，求的最小值，并求取到最小值时的值；
（2）设且，求证：
【高分突破】
一：单选题
39．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
40．若，则函数的最小值为（ ）
A．4B．6C．D．
41．已知关于的不等式的解集为，则下列结论错误的是（ ）
A．B．ab的最大值为
C．的最小值为4D．的最小值为
42．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．24B．25C．26D．27
43．已知，，，下列不等式正确的个数有（ ）
①，②，③，④.
A．1B．2C．3D．4
44．下列说法正确的为（ ）
A．
B．函数的最小值为4
C．若则最大值为1
D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8
45．设，为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
46．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引人对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数满足，则下列结论正确的个数是（ ）
①②③④
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
47．设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
48．下列结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．函数的最小值为2
C．若，则的最大值为2
D．若，，且，则的最小值为4
49．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式（，）叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则的最小值为
C．若，，，则的最小值为
D．若，，，则的最小值为2
50．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
51．设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么不成立的是（ ）
A．a＋b有最小值2(＋1)B．a＋b有最大值(＋1)2
C．ab有最大值＋1D．ab有最小值2(＋1)
52．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为
C．若，则
D．若实数a，b满足，则的最小值为2
三、填空题
53．若函数在区间上的最小值为5，则的最小值为___________.
54．已知，，且，则的最小值为________.
55．若一个三角形的三边长分别为，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式.已知的周长为，则的面积的最大值为___________.
56．已知 ，则的最小值为__________．
四、解答题
57．2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足 x= 4−. 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍.
(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
58．如图所示，园林设计师计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的矩形区域，即如图小矩形，且其面积为．（注：靠墙的部分不用彩带）
(1)要使围成四个矩形的彩带总长不超过m，求的取值范围；
(2)当围成四个矩形的彩带总长最小时，求和的值，并求彩带总长的最小值．
59．已知集合，集合，设集合．
(1)求；
(2)当时，求函数的最小值．
60．已知函数的图象经过点．
(1)求的最小值；
(2)求证：．
61．已知均为正实数，且满足证明：
(1)；
(2)．
62．（1）已知，且，求的最小值；
（2）已知是正数，且满足，求的最小值.
63．（1）已知，，，求的最小值；
（2）已知，求的最大值.
【答案详解】
1．A
【详解】
对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值，
此时，
当且仅当，即时等号成立，故的用法有误，故错误；
对：，
当且仅当，即时取等号，
但，则等号取不到，故的用法有误；
对：，，，
当且仅当，即时取等号，故的用法有误；
故使用正确的个数是0个，
故选：.
2．D
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断各选项的正误.
【详解】
对于A选项，由基本不等式可得，A错；
对于B选项，因为，所以，
所以，，故，B错；
对于C选项，因为，，由基本不等式可得，
所以，，C错；
对于D选项，因为，，
由不等式的性质可得，则，
所以，，D对.
故选：D.
3．B
【解析】
取，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误.
【详解】
对于①，当时，，①错误；
对于②，若，且，说明，，则，当且仅当时取等号，显然成立，②正确；
对于③，，
当且仅时取等号，即，显然这样的不存在，所以结论不正确，③错误；
对于④，因为，所以，
函数的最大值为，所以结论不正确，④错误.
故选：B.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
4．D
【解析】
【分析】
根据不等式串 可判断选项A错误，B错误，D正确.利用基本不等式可得C错误.
【详解】
对于选项A：∵，当且仅当时取等号，∴A错误；
对于选项B： ，，∴B错误；
对于选项C ：，
因为 ∴C错误；
对于选项D：∵，当且仅当时取等号，
∴，D正确；
故选：D
5．B
【解析】
【分析】
结合基本不等式、差比较法确定正确选项.
【详解】
依题意，
根据基本不等式可知，
，
，
所以.
所以，即.
故选：B
6．B
【解析】
【分析】
利用基本不等式结合二次函数的基本性质可得出与的大小关系.
【详解】
因为、是正实数，且，则，
，因此，.
故选：B.
7．D
【解析】
【分析】
由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.
【详解】
因为，都为正实数，，
所以，
当且仅当，即时，取最大值.
故选：D
8．C
【解析】
【分析】
根据基本不等式可求得最值.
【详解】
由基本不等式可得，
即，
解得，
当且仅当，即，时，取等号，
故选：C.
9．D
【解析】
【分析】
选项A：将函数变形再利用基本不等式进行判断最值即可，
选项B：由基本不等式进行判断即可，
选项C：结合换元法与基本不等式求最值进行判断即可，
选项D：对式子进行变形得到，再利用基本不等式进行判断即可．
【详解】
解：选项A：，当且仅当时可以取等号，
但题设条件中，故函数最小值取不到3，故A错误；
选项B：若，，，
则，当且仅当时不等式可取等号，故B错误；
选项C：当且仅当时取等号，
令，，解得，即，故xy的最大值为1，故C错误；
选项D：，，
，
当且仅当时取等号，
又因为，故时等号成立，
即最小值可取到， 故D正确．
故选：D．
10．B
【解析】
【分析】
先化简，由，结合基本不等式，求得，进而求得的最大值.
【详解】
∵，，
，
当且仅当，时取等号，
∴．
故选：B．
11．A
【解析】
【分析】
利用基本不等式即可求解．
【详解】
∵，∴，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值是5．
故选：A．
12．C
【解析】
【分析】
由不等式的性质和基本不等式、导数求最值判断各命题．
【详解】
，，则，所以；
，，当且仅当，即时等号成立，所以最小值是16；
，当且仅当，即时等号成立，的最小值是9；
，则＝，
设，则，
所以时，，递减，时，，递增，
所以，所以的最小值是2，
正确命题的序号是①②④．
故选：C．
13．C
【解析】
【分析】
根据基本不等式即可求出．
【详解】
因为，当且仅当时取等号，所以函数的值域为．
故选：C．
14．D
【解析】
【分析】
利用基本不等式可求，当且仅当时等号成立，化简已知即可求解.
【详解】
解：因为，
又因为，所以，
所以，当且仅当时，即时等号成立，
所以，
即y的最大值是.
故选：D.
15．B
【解析】
【分析】
将函数化简变形为，然后利用基本不等式求解即可
【详解】
解：因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数（）的最小值为，
故选：B
16．B
【解析】
【分析】
根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】
解：因为，，且，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以，的最小值为.
故选：B
17．D
【解析】
【分析】
求出，再利用基本不等式求解.
【详解】
解：由题意得
所以.
所以，
(当且仅当时取等号)
故选：D.
18．C
【解析】
【分析】
先根据向量共线可知，表达出和的关系式后利用基本不等式的代“1”法解基本不等式即可.
【详解】
解：由题意得：
点E是的中线上的一点（不包括端点）,则由共线向量定理可知：
设
当且仅当，即时取等号，故的最小值为.
故选：C
19．B
【解析】
【分析】
由，得出，进一步得到的最小值，再根据不等式恒成立，得出求出c的取值范围．
【详解】
解：，
，当且仅当时“”成立，
又不等式恒成立，
，
的取值范围是．
故选：B．
20．B
【解析】
【分析】
分离参数，求不含参数这一边的最小值即可求解．
【详解】
，，若不等式恒成立，
恒成立
，
当且仅当时取等号．
，即的最大值为．
故选：B．
21．B
【解析】
【分析】
化简得，再利用基本不等式可得的最小值，由题意可得，即可得到所求范围．
【详解】
解： ，，，
则，
当且仅当，，，上式取得等号，
由不等式恒成立，可得，
故选：B
22．A
【解析】
【分析】
根据基本不等式求出最值即可判断.
【详解】
对A，若，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故A正确；
对B，因为，所以，
所以，
当且仅当，即等号成立，故函数最小值为3，故B错误；
对C，因为，
所以，
当且仅当，即等号成立，故的最小值为2，故C错误；
对D，由可得，因为，可得，
则，当且仅当，即等号成立，
所以的最小值是4，故D错误.
故选：A.
23．B
【解析】
【分析】
应用特殊值及基本不等式判断各选项的最小值是否为即可.
【详解】
A：当取负数，显然函数值小于，不符合；
B：由基本不等式得：(当且仅当时取等号)，符合；
C：当时，，不符合；
D：同A，当取负数，显然函数值小于，不符合；
故选：B.
24．C
【解析】
【分析】
运用换元法，构造新函数，利用新函数的最值进行求解即可.
【详解】
令，所以，
设，，
函数在时，函数单调递减，在时，函数单调递增，
因为，，所以函数在时，最大值为，
要想不等式在区间上有解，只需，
故选：C
25．D
【解析】
【分析】
根据基本不等式计算求出和的最小值与积的最大值，进而依次判断选项即可.
【详解】
由题意知，，
A：，则，当且仅当时取到等号，
所以有最小值，故A错误；
B：，则，当且仅当时取到等号，
所以有最大值，故B错误；
C：，则，当且仅当时取到等号，
所以有最小值，故C错误；
D：，则，有，当且仅当时取到等号，
所以有最大值，故D正确；
故选：D
26．B
【解析】
【分析】
设未知数后根据题意表示，由基本不等式求解
【详解】
设，设篱笆长度为y，则，，
梯形的面积为，
整理得，当，即时等号成立，
所以篱笆总长度最小为18m．
故选：B
27．C
【解析】
【分析】
由题意得，，代入化简后利用基本不等式可求得答案
【详解】
由题意得，，
则，
当且仅当时，等号成立，此时三角形的面积有最大值，且最大值为．
故选：C
28．（1）1；（2）2．
【解析】
【分析】
（1）由基本不等式求出的最小值后可得所求最大值．
（2）凑出积为定值后由基本不等式求得最小值．
【详解】
（1），则，
，
当且仅当，即时等号成立．所以的最大值为1．
（2）因为且，
所以
，
当且仅当，即时等号成立．所以所求最小值为2．
29．(1)
(2)当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，先求出梯形长的底边，再分别求出，，即可求解；
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
(1)
宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，
则梯形长的底边，
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
，，
故海报面积为．
(2)
直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，
，
海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
海报宽，海报长，
故，
当且仅当，即，
故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．
30．(1)证明见解析，当且仅当时等号成立；
(2)证明见解析，当且仅当时，等号成立．
(3)证明见解析，当且仅当时，等号成立．
(4)证明见解析，当且仅当时，等号成立．
(5)证明见解析，当且仅当时等号成立．
【解析】
【分析】
（1）直接利用作差法对关系式进行变换，进一步求出结果．
（2）利用基本不等式的应用求出结果．
（3）利用算术平均数和几何平均数的运用及整体思想的应用求出结果．
（4）利用分类讨论思想的应用和均值不等式的应用求出结果．
（5）利用关系式的变换和均值不等式的应用求出结果．
(1)
证明：由于，当时，，所以，即，所以，当且仅当时，等号成立．
(2)
证明：因为，所以，当且仅当时，等号成立．
(3)
证明：因为，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立．
(4)
证明：因为，当时，，当且仅当时，等号成立．
当时，，当且仅当时，等号成立．
综上可得，则，当且仅当时，等号成立．
(5)
证明：对任意实数和，所以．当且仅当时等号成立．
31．D
【解析】
【分析】
由基本不等式结合一元二次不等式的解法得出最小值.
【详解】
由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．
故选：D
32．B
【解析】
【分析】
由均值不等式可得，分析即得解
【详解】
由题意，，由均值不等式
，当且仅当，即时等号成立
故，有最小值0
故选：B
33．C
【解析】
【分析】
由，再展开化简，根据基本不等式求最小值即可
【详解】
由题，，当且仅当，即，即时取等号
故选：C
34．A
【解析】
【分析】
利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】
解：由题意得，
所以
（当且仅当，即，时，等号成立），
所以.
由推得出，由推不出，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
35．A
【解析】
【分析】
利用基本不等式可求解.
【详解】
由题意可得．因为，，所以，则，
当且仅当，时，等号成立．
故选：A
36．8
【解析】
【分析】
根据，利用基本不等式即可得出答案.
【详解】
解：，
当且仅当，即时，取等号，
所以xy的最大值为8.
故答案为：8.
37．##2.5
【解析】
【分析】
将变形为 ，利用基本不等式求得答案.
【详解】
由题意得：，
当且仅当 时取得等号，
故答案为：
38．（1）当时，有最小值7 ；
（2）证明见解析 ．
【解析】
【分析】
（1）通过配凑，使得原式满足积为定值，然后由基本不等式可得；
（2）巧用“1”，将不等式左边乘以，展开后使用基本不等式可证.
【详解】
解：（1）因为，所以，由基本不等式，得
，当且仅当，
即时，等号成立．
所以当时，有最小值7．
（2）因为，由基本不等式，得
，
当且仅当，即时，等号成立．又
由解得，所以当时，等号成立，
所以成立．
39．B
【解析】
【分析】
经转化可得，，条件均满足，即可得解.
【详解】
根据题意可得，
由，所以，
由，可得，即，
，
当且仅当，时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
40．B
【解析】
【分析】
将函数等价为，再利用基本不等式即可求出答案.
【详解】
因为.
所以.
当且仅当“”即时取“=”.
故选：B.
41．C
【解析】
【分析】
根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得，，可判定A正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B正确，C错误，D正确.
【详解】
由题意，不等式的解集为，
可得，且方程的两根为和，
所以，所以，，
所以，所以A正确；
因为，，所以，可得，
当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以B正确；
由，
当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为，所以C错误；
由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，所以D正确．
故选：C．
42．B
【解析】
【分析】
由题意可得，化简后利用基本不等式可求得答案
【详解】
因为，，且，
所以，
当且仅当，即，，等号成立．
所以的最小值为25，
故选：B
43．D
【解析】
【分析】
由于，得，根据基本不等式对选项一一判断即可．
【详解】
因为，，，
所以，得，当且仅当时取等号，②对；
由，当且仅当时取等号，①对；
由得，所以，当且仅当时取等号，③对；
由，当且仅当时取等号，④对
故选：D
44．C
【解析】
【分析】
利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.
【详解】
对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确；
对于选项,，令，
即在上单调递增，则最小值为,
则不正确；
对于选项,，则正确；
对于选项,当时，，当且仅当
时，即，等号成立，则不正确.
故选：.
45．B
【解析】
【分析】
将拼凑为，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.
【详解】
∵，
∴，即，
∴
，当且仅当，且时，即
，时等号成立.
故选：.
46．D
【解析】
【分析】
妙用1可得①；直接使用基本不等式可得②；利用基本不等式先证，然后可得③；不等式两边同加，然后可得④.
【详解】
，因为，所以，①正确；
，得，因为，所以，②正确；
因为，所以，即，所以，③正确；
因为，所以，所以，即，④正确.
故选：D
47．ABD
【解析】
【分析】
利用基本不等式，分别判断ACD，再利用做差比较法，判断B.
【详解】
因为，所以，当且仅当且时取等号，故A一定成立
由做差比较法,，可知成立故B一定成立．
因为 所以，当且仅当时取等号，所以不一定成立，故C不成立．
因为4，当且仅当时取等号，故D一定成立.
故选：ABD
48．AC
【解析】
【分析】
对于A，利用基本不等式判断，对于B，举例判断，对于C，利用换元法求解，对于D，利用基本不等式判断
【详解】
对于A，因为，，所以，所以，当且仅当时取等号，所以A正确，
对于B，若，则，所以B错误，
对于C，由，得，令，则
，
因为，所以，所以的最大值为2，所以C正确，
对于D，因为，，且，所以
，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以由对勾函数的性质可得，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，所以D错误，
故选：AC
49．AD
【解析】
【分析】
A.根据，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断；B. 令，得到，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断； C.由，得到，利用基本不等式求解判断.D. 令，得到，由“1”的代换，利用基本不等式求解判断.
【详解】
A.因为，，，所以，
当且仅当，即时，等号成立，故正确；
B. 因为，，，令，则，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故B错误；
C. 因为，，，所以，
则，当且仅当，即时，等号成立，故错误；
D. 令，则，，则，
而，
当且仅当，即时，等号成立，故正确；
故选：AD
50．ABCD
【解析】
【分析】
直接使用基本不等式可判断ACD；根据，使用基本不等式可判断B.
【详解】
A中，因为，由基本不等式可知成立；
B中，因为，所以，所以，所以成立；
C中，因为，由基本不等式可知成立；
D中，因为，由基本不等式可得成立.
故选：ABCD
51．BCD
【解析】
【分析】
先根据基本不等式得不等式，解不等式得结果.
【详解】
对于A，B，,当且仅当时取等号，
即有最小值，（无最大值）当且仅当时取得，故选项A正确，B不正确；
对于C，D，，，，当时取等号
，
解得，
ab有最小值，故D不正确；
由于ab有最小值为，故最大值不可能是，故C不正确.
故选：BCD
52．CD
【解析】
【分析】
取可判断A；构造借助均值不等式可判断B；构造借助均值不等式可判断C；令，则，借助均值不等式可判断D
【详解】
对于A，若，则，A错误；
对于B，∵，∴，，
∴
（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4，B错误；
对于C，∵，∴，，又，
（当且仅当，即时取等号），C正确；
对于D，令，则，∴（当且仅当时取等号），即的最小值是2．D正确．
故选：CD
53．##0.5
【解析】
【分析】
根据函数单调性和最小值可得，改写为，然后目标式乘以展开后，利用基本不等式可得.
【详解】
因为，所以函数在区间上单调递增，所以在处有最小值，从而有，所以，又，
所以
当且仅当，即时，取等号.即的最小值为.
故答案为：
54．12
【解析】
【分析】
，展开后利用基本不等式可求．
【详解】
∵，，且，
∴
，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为12．
故答案为：12．
55．##
【解析】
【分析】
由条件可得，然后利用基本不等式可得，然后可得答案.
【详解】
由题意，
由，则时取等，
则.
故答案为：
56．
【解析】
【分析】
由已知得，然后利用基本不等式可求得其最小值
【详解】
因为，
所以
，
当且仅当，即或时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
57．(1)
(2)3万元
【解析】
【分析】
（1）依据题意列出该产品的利润y万元关于年促销费用m万元的解析式即可；
（2）依据均值定理即可求得促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.
(1)
由题意知，每万件产品的销售价格为（万元），x= 4−
则2022年的利润．
(2)
∵当时，，
∴，（当且仅当时等号成立）
∴，当且仅当万元时，（万元）．
故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．
58．(1)；
(2)；；最小值为
【解析】
【分析】
（1）设长为m，长为m，列关于的等式，表示出彩带总长，计算对应的时对应的值，从而得的范围，即的范围；（2）利用基本不等式求解彩带总长的最小值，计算出此时的值，即得和的值.
(1)
设长为m，长为m，由题意得，则四个矩形的彩带总长为，当且仅当时，取等号，又，可解得或，所以得的范围为，即的取值范围为
(2)
四个矩形的彩带总长为，当且仅当时，取等号，此时，则的长为，的长为，彩带总长的最小值为.
59．(1)
(2)8
【解析】
【分析】
（1）解一元二次不等式化简集合，再进行集合补集、交集运算，即可得到答案；
（2）利用基本不等式求函数的最小值即可；
(1)
因为，所以，
，
故．
(2)
当时，有，
则，
当且仅当即时取等号．
故当时，函数的最小值为．
60．(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据所给的条件，得到a，b，c之间的关系，利用基本不等式即可；
（2）所求的代数式转化为可以利用基本不等式的形式，再用基本不等式即可证明.
(1)
因为函数 的图象经过点，
所以，
所以
，
当且仅当，即， ，时等号成立，
所以 的最小值为；
(2)
因为
= ，
当且仅当时取等号，
所以，
即.
61．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意得到，，，三式相加即可证明；
（2）由题意得到，，，结合，，即可证明结论．
(1)
均为正实数，则当且仅当时取“”，
同理可得：，当且仅当，时等号成立，
故当且仅当时取“”，
又，
故.
(2)


当且仅当时取“”，
同理当且仅当时取“”，
当且仅当时取“”．
又由，
可知．
当且仅当时取“”．
所以，
故．
当且仅当时取“”．
【点睛】
本题考察利用基本不等式证明不等式，其中第二问中的配凑是解决问题的关键，属困难题.
62．（1）16；（2）9.
【解析】
【分析】
（1）由基本不等式可得，从而即可求解；
（2）由基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】
解：（1）因为，
所以由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为；
（2）因为是正数，且满足，
所以由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
63．（1）2；（2）.
【解析】
【分析】
对式子进行转化后，根据基本不等式求最值
【详解】
（1），，
当且仅当时，等号成立
当时，的最小值为
（2），求
当且仅当即时，等号成立
当时，的最大值为