初中数学苏科版（2024）七年级上册（2024）第2章 有理数学案及答案

这是一份初中数学苏科版（2024）七年级上册（2024）第2章 有理数学案及答案，共6页。学案主要包含了典型例题，举一反三，巩固练习，定义新知，解决问题等内容，欢迎下载使用。

（利用绝对值求最值）
（暑期小升初衔接）
【典型例题】
【例1】计算的最小值（ ）．
A．0B．1C．2D．3
【例2】式子的最小值为 ___________．
【例3】阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：

数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是 ，数轴上表示x和-2的两点之间的距离是 ；
数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为 ；
若x表示一个有理数，则|x+2|+|x-4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
【例4】同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）求|5﹣（﹣2）|＝ ．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是 ．
（3）对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．
（4）对于任何有理数x，|x+4|+|x+2|+|x﹣3|是否有最小值？如果有写出最小值及此时x的值，如果没有说明理由．
【举一反三】
【变式1】已知|x﹣1|＝3，|y|＝2．则x﹣y的最大值是 ．
【变式2】整数a、b、c满足1000|a|+10|b|+|c|＝2023，其中|a|＞1且abc＞1，则a+b+c的最小值是 ．
【变式3】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____；表示和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么_____；
(2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值；
(3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．
【变式4】 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．
(2)如果，那么______；
(3)若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____．
(4)若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____．
(5)当_____时，的值最小，最小值是_____．
【巩固练习】
1.已知 是正实数，则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2.已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④当时，式子有最小值，其中正确结论的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
式子5－｜a＋b｜的最大值是_______，当它取最大值时，a与b的关系是______.
4.当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ．
5.实数a，b满足，则的最小值为 .
6.已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是_____．
7.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是“数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离”．请你根据上述材料，尝试解决下列问题：|x+1|+|x+a|+|x﹣2|的最小值是5，则a＝ ．
8.数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．

利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和6两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ．
(2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x和6的两点之间的距离表示为 ．
(3)若x表示一个有理数，则的最小值＝ ．
9.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是 ；表示﹣2和1两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝2，那么x＝ ；
（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．
（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝ ．
（5）当a＝ 时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是 ．
10.【定义新知】
我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题：
(1)式子在数轴上的意义是 ；
(2)当取最小值时，x可以取整数 ；
(3)最大值为 ；
(4)的最小值为 ；
【解决问题】
(5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．