还剩30页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 苏科版(2024)2024-2025学七年级数学上册突破提升专题2.9科学记数法的四大题型专项训练(40题)学案(学生版+解析) 试卷 1 次下载
- 苏科版(2024)2024-2025学七年级数学上册突破提升专题2.5有理数的加法【八大题型】学案(学生版+解析) 学案 2 次下载
- 苏科版(2024)2024-2025学七年级数学上册突破提升专题2.7有理数的乘除法【十大题型】学案(学生版+解析) 学案 1 次下载
- 苏科版(2024)2024-2025学七年级数学上册突破提升专题2.10有理数的运算八大题型专项训练(100题)学案(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 苏科版(2024)2024-2025学七年级数学上册突破提升专题2.12有理数的实际应用【八大题型】学案(学生版+解析) 学案 0 次下载
数学七年级上册（2024）第2章 有理数学案
展开
这是一份数学七年级上册（2024）第2章 有理数学案，共33页。学案主要包含了苏科版2024，题型1 凑整法，题型2 拆项法，题型3 组合法，题型4 裂项相消法，题型5 相互转化法，题型6 倒数法，题型7 错位相减法等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1289" 【题型1 凑整法】 PAGEREF _Tc1289 \h 1
\l "_Tc17703" 【题型2 拆项法】 PAGEREF _Tc17703 \h 2
\l "_Tc4413" 【题型3 组合法】 PAGEREF _Tc4413 \h 2
\l "_Tc14358" 【题型4 裂项相消法】 PAGEREF _Tc14358 \h 3
\l "_Tc20712" 【题型5 相互转化法】 PAGEREF _Tc20712 \h 3
\l "_Tc4686" 【题型6 倒数法】 PAGEREF _Tc4686 \h 3
\l "_Tc20154" 【题型7 错位相减法】 PAGEREF _Tc20154 \h 4
\l "_Tc27403" 【题型8 利用分配律进行简算】 PAGEREF _Tc27403 \h 4
\l "_Tc26375" 【题型5 利用图形进行简算】 PAGEREF _Tc26375 \h 4
知识点1：凑整法
多个有理数相加时,如果既有分数,也有小数,一般将存在数量少的形式转化成数量多的形式,把能凑成整数的数结合在一起,可以使计算简便,这种方法简称凑整法。
【题型1 凑整法】
【例1】（23-24七年级·上海普陀·期中）计算：−3.15+21521+−6.81−−2221
【变式1-1】（23-24七年级·广东广州·阶段练习）计算：
−7.3−−656+|−3.3|+116．
【变式1-2】（2024七年级·全国·专题练习）计算：−218++5+−312++1.125++412．
【变式1-3】（2024秋·广西崇左·七年级校考阶段练习）计算：
−218++5+−312++1.125++412；
知识点2：拆项法
先把带分数拆成整数和真分数两部分,再把整数部分和真分数部分分别结合在一起利用交换律, 结合律得出答案。
【题型2 拆项法】
【例2】（23-24七年级·河南驻马店·阶段练习）计算：−556+−523+1734+−312
【变式2-1】（2024秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：
(1)+3575+−2345；
(2)−201856+−201723+−112+4036．
【变式2-2】（23-24七年级·辽宁鞍山·阶段练习）计算：−201156+−201223+4023+−112．
【变式2-3】（2024秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：
(1)+1725+−735．
(2)−202325+−202445+4048+55．
知识点3：组合法
观察算式,找出算式分布规律,然后适当分组,利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。
【题型3 组合法】
【例3】（23-24七年级·山西太原·阶段练习）计算1+2−3−4+5+6−7−8+⋯+2017+2018−2015−2020值为（ ）
A．0B．﹣1C．2020D．-2020
【变式3-1】（23-24七年级·吉林长春·期中）计算：
（1）−18+17+−12−−33．
（2）+325+−278−−535−+118．
【变式3-2】（23-24七年级·安徽阜阳·阶段练习）计算：
2023−2020+2017−2014+2011−2008+……+16−13+10−7+4
【变式3-3】（23-24七年级·北京·期末）1−3−5+7+5−11−13+15+⋯+2005−2011−2013+2015= ．
知识点4：裂项相消法
根据算式特点,将各项变为两项,然后把互为相反数的两项相加,只剩下首项和末项相加得出结果。
【题型4 裂项相消法】
【例4】（23-24七年级·山东威海·阶段练习）计算：
(1)11×2+12×3+13×4+…+12004×2005；
(2)11×3+13×5+15×7+…+145×51；
(3)16+112+120+130+142+156．
【变式4-1】（23-24七年级·安徽马鞍山·期中）计算：12×4+14×6+16×8+⋅⋅⋅+12022×2024．
【变式4-2】（23-24七年级·江苏苏州·阶段练习）计算：1−1×3+1−3×5+1−5×7+1−7×5+⋯+1−2021×2023．
【变式4-3】（23-24七年级·广东佛山·阶段练习）计算：1−122×1−132×⋅⋅⋅×1−120212×1−120222．
知识点5：相互转化法
根据算式特点,将式子中的分数转化为小数，或小数转化为分数，统一后再进行运算。
【题型5 相互转化法】
【例5】（23-24七年级·江苏盐城·开学考试）计算：38×14+17×0.25+45×25%
【变式5-1】（23-24七年级·浙江衢州·阶段练习）计算：8×−53×−0.25÷−56；
【变式5-2】（23-24七年级·福建厦门·阶段练习）计算： −0.25×−3×8×−40×−13×12.5
【变式5-3】（23-24七年级·河北石家庄·开学考试）计算：
(1)−3÷−134×0.75÷−37×−6；
(2)−15×−0.1÷125×−10；
【题型6 倒数法】
【例6】（23-24七年级·陕西汉中·期末）计算−112÷13−14+16的值．
【变式6-1】（23-24七年级·湖北襄阳·期中）计算：(−78)÷(134−78+712)．
【变式6-2】（23-24七年级·江苏连云港·阶段练习）计算：50÷13−14+112．
【变式6-3】（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）计算：134−78−712÷−78+−78÷134−78−712．
【题型7 错位相减法】
【例7】（23-24七年级·山东滨州·期中）计算：1−5+52−53+54−55+⋯+52020−52021+52022−520236=
【变式7-1】（23-24七年级·江苏连云港·阶段练习计算：1+2+22+23+24+…+2555
【变式7-2】（23-24七年级·贵州铜仁·阶段练习）计算5+52+53+...+52005的值．
【变式7-3】（23-24七年级·广东深圳·期中）计算
（1）1+7+72+73+⋯⋯+72022的值．
（2）1+2×13+3×132+4×133+⋯+5×138+10×135．
【题型8 利用分配律进行简算】
【例8】（23-24七年级·河北石家庄·开学考试）计算：36.2×1.638+6.382．
【变式8-1】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）用简便方法计算
(1)63536×−6
(2)555×11845+333×−35−555×1835.
【变式8-2】（23-24七年级·江苏南京·阶段练习）简便计算：
(1)12+221×2+22+322×3+32+423×4+⋯+20222+202322022×2023；
(2)15+110+111+112×110+111+112+113−15+110+111+112+113×110+111+112．
【变式8-3】（23-24七年级·河南开封·开学考试）怎样简便怎样算
(1)2021×20222022−2022×20212021；
(2)112+214+318+4116+5132+6164
(3)2015+2016×20142016×2015−1
(4)520−1130+1342−1556+1772×121212131313
【题型5 利用图形进行简算】
【例5】（23-24七年级·全国·期中）看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的长方形，再把面积为14的长方形等分成面积为18的长方形，如此进行下去……
(1)试利用图形揭示的规律计算：12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n＝_______．
并使用代数方法证明你的结论．
(2)请给利用图（2），再设计一个能求：12+122+123+124+⋯+12n的值的几何图形．
【变式5-1】（23-24七年级·山东青岛·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．
(1)图中阴影部分的面积为 ；
(2)受此启发，得到12+14+18+⋯+126＝ ；
(3)联系拓广，得到12+14+18+⋯+12n＝ （用含n的式子表示）；
(4)迁移应用：得到23+13×23+132×23+133×23+⋯+132023×23＝ （直接写出答案即可）．
【变式5-2】（23-24七年级·湖南永州·期中）【阅读】求值1+2+22+23+24+…+210．
【运用】仿照此法计算：
解：设S=1+2+22+23+24+…+210①
将等式①的两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+211②
由②−①得：2S−S=211−1，
即：S=1+2=22+23+24+…+210=211−1，
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为12+122+123+⋯+12n，最后空白部分的面积是12n．
根据第n次分割图可得等式：12+122+123+⋯+12n=1−12n．
探究二：计算13+132+133+⋯+13n．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为23；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为23+232；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为23+232+233+⋯+23n，最后空白部分的面积是13n．
根据第n次分制图可得等式：23+232+233+⋯+23n=1−13n，
两边同除2，得13+132+133+⋯+13n=12−12×3n，
探究三：计算14+142+143+⋯+14n．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算15+152+153+⋯+15n．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，15+152+153+⋯+15n=___________．
(3)拓广应用：计算5−15+52−152+53−153+⋯+5n−15n=___________．
专题2.13 巧算有理数【九大题型】
【苏科版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1289" 【题型1 凑整法】 PAGEREF _Tc1289 \h 1
\l "_Tc17703" 【题型2 拆项法】 PAGEREF _Tc17703 \h 3
\l "_Tc4413" 【题型3 组合法】 PAGEREF _Tc4413 \h 5
\l "_Tc14358" 【题型4 裂项相消法】 PAGEREF _Tc14358 \h 7
\l "_Tc20712" 【题型5 相互转化法】 PAGEREF _Tc20712 \h 5
\l "_Tc4686" 【题型6 倒数法】 PAGEREF _Tc4686 \h 11
\l "_Tc20154" 【题型7 错位相减法】 PAGEREF _Tc20154 \h 13
\l "_Tc27403" 【题型8 利用分配律进行简算】 PAGEREF _Tc27403 \h 15
\l "_Tc26375" 【题型5 利用图形进行简算】 PAGEREF _Tc26375 \h 15
知识点1：凑整法
多个有理数相加时,如果既有分数,也有小数,一般将存在数量少的形式转化成数量多的形式,把能凑成整数的数结合在一起,可以使计算简便,这种方法简称凑整法。
【题型1 凑整法】
【例1】（23-24七年级·上海普陀·期中）计算：−3.15+21521+−6.81−−2221
【答案】−5
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法交换律和结合律，熟练掌握有理数的加减混合运算及有理数的加法的运算律是解题的关键．根据有理数加法的运算律，将能凑整的数先凑整，得到−3.15+−6.81+21521+2221，再进一步计算，即得答案．
【详解】解：原式=−3.15+21521+−6.81−−2221．
=−3.15+−6.81+21521+2221
=−10+5
=−5．
【变式1-1】（23-24七年级·广东广州·阶段练习）计算：
−7.3−−656+|−3.3|+116．
【答案】4
【详解】−7.3−−656+|−3.3|+116
=3.3−7.3+656+116
=−4+8
=4．
【点睛】此题考查了有理数加减混合运算，绝对值的化简，正确掌握有理数加减混合运算法则是解题的关键．
【变式1-2】（2024七年级·全国·专题练习）计算：−218++5+−312++1.125++412．
【答案】5
【分析】先根据去括号法则去括号，再根据加法交换律和结合律简便计算即可．
【详解】解： −218++5+−312++1.125++412
=−218+5−312+1.125+412，
=−218+118+5−312−412，
=−1+5+1，
=5．
【点睛】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键．
【变式1-3】（2024秋·广西崇左·七年级校考阶段练习）计算：
−218++5+−312++1.125++412；
【答案】5
【分析】先根据去括号法则去括号，再根据加法交换律和结合律简便计算即可；
【详解】解：−218++5+−312++1.125++412
=−218+5−312+1.125+412
=−218+118+5−312−412
=−1+5+1
=5；
【点睛】本题考查有理数的加法运算，掌握各运算法则是解题关键．
知识点2：拆项法
先把带分数拆成整数和真分数两部分,再把整数部分和真分数部分分别结合在一起利用交换律, 结合律得出答案。
【题型2 拆项法】
【例2】（23-24七年级·河南驻马店·阶段练习）计算：−556+−523+1734+−312
【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．
【详解】解：原式=(−5)+−56+(−5)+−23+17+34+(−3)+−12
=(−5)+(−5)+(−3)+17+−56+−23+−12+34
=0+−114
=−114．
【变式2-1】（2024秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：
(1)+3575+−2345；
(2)−201856+−201723+−112+4036．
【答案】(1)1213
(2)−2
【分析】（1）依据“拆项法”计算即可；
（2）依据“拆项法”计算即可．
【详解】（1）+3575+−2345
=35+75+−23+−45
=35+−23+75+−45
=12+13
=1213；
（2）−201856+−201723+−112+4036
=−2018+−56+−2017+−23+−1+−12+4036
=−2018+−2017+−1+4036+−56+−23+−12
=0+−2
=−2．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握题目给出的“拆项法”是解答本题的关键．
【变式2-2】（23-24七年级·辽宁鞍山·阶段练习）计算：−201156+−201223+4023+−112．
【答案】−3
【分析】根据题目中材料，将原式整理为−2011−56+−2012−23+4023+−1−12，然后求解即可．
【详解】解：原式=−2011−56+−2012−23+4023+−1−12
=−2011−2012+4023−1+−56−23−12
=−1+−2
=−3．
【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，理解材料中简便运算方法是解题关键．
【变式2-3】（2024秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：
(1)+1725+−735．
(2)−202325+−202445+4048+55．
【答案】(1)545
(2)85
【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．
【详解】（1）解：+1725+−735
=17+25−(7+35)
=(17−7)+(25−35)
=10+(−15)
=545
（2）−202325+−202445+4048+55
=(−2023−25)+(−2024−45)+4048+55
=(−2023−2024+4048)+(−25−45+55)
=1+(−15)
=85
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用题干中的拆项法拆项后再利用运算律解答是解题的关键．
知识点3：组合法
观察算式,找出算式分布规律,然后适当分组,利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。
【题型3 组合法】
【例3】（23-24七年级·山西太原·阶段练习）计算1+2−3−4+5+6−7−8+⋯+2017+2018−2015−2020值为（ ）
A．0B．﹣1C．2020D．-2020
【答案】B
【分析】根据加法的结合律四个四个一组结合起来，每一组的和都等于-4,共505组,计算即可．
【详解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+5+10-11-12+……+2017+2018-2015-2020
=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+（5+10-11-12）+……+（2017+2018-2015-2020）
=（-4）+（-4）+（-4）+（-4）+……+（-4）
=（-4）×505
＝-2020．
故选D.
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，观察出规律是解题的关键．
【变式3-1】（23-24七年级·吉林长春·期中）计算：
（1）−18+17+−12−−33．
（2）+325+−278−−535−+118．
【答案】（1）20 （2）5
【分析】先化简符号，再正数结合负数结合，最后相加．
本题主要考查了有理数的加减混合运算．熟练掌握化简符号，加法结合律，是解决问题的关键．
【详解】（1）−18+17+−12−−33
=−18−12+33+17
=−30+50
=20．
（2）解：+325+−278−−535−+118
=325−278+535−118
=325+535−278+118
=5−4
=5．
【变式3-2】（23-24七年级·安徽阜阳·阶段练习）计算：
2023−2020+2017−2014+2011−2008+……+16−13+10−7+4
【答案】1012
【分析】合理分组：2023−2020+2017−2014+2011−2008+……+13−10+7−4+1每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可．
【详解】2023−2020+2017−2014+2011−2008+……+13−10+7−4+1
=2023−2020+2017−2014+2011−2008+……+13−10+7−4+1
每两个数为一组，结果是3；
则2023−1÷2023−2017=337
即一共有337组；
原式=3×337+1=1012．
【变式3-3】（23-24七年级·北京·期末）1−3−5+7+5−11−13+15+⋯+2005−2011−2013+2015= ．
【答案】0
【分析】通过观察，每四项结合在一起，每一项结果为0，然后将原式利用加法结合律进行计算．
【详解】原式＝1−3−5+7+5−11−13+15+⋯+2005−2011−2013+2015
＝0，
故填：0．
【点睛】本题考查了加法中的巧算问题，熟练应用加法结合律是关键．
知识点4：裂项相消法
根据算式特点,将各项变为两项,然后把互为相反数的两项相加,只剩下首项和末项相加得出结果。
【题型4 裂项相消法】
【例4】（23-24七年级·山东威海·阶段练习）计算：
(1)11×2+12×3+13×4+…+12004×2005；
(2)11×3+13×5+15×7+…+145×51；
(3)16+112+120+130+142+156．
【答案】(1)20042005
(2)2551
(3)38
【分析】（1）根据题中给出的式子找出规律1nn+1=1n−1n+1，再进行计算即可得到答案；
（2）根据11×3=12×1−13，13×5=12×13−15，15×7=12×15−17，…，得出1nn+2=121n−1n+2，再进行计算即可得到答案；
（3）将式子化为12×3+13×4+14×5+15×6+16×7+17×8，再利用题中所给的规律进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：∵11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，…，15×10=15−110，
∴1nn+1=1n−1n+1，
∴11×2+12×3+13×4+…+12004×2005
=1−12+12−13+13−14+…+12004−12005
=1−12005
=20042005；
（2）解：∵11×3=12×1−13，13×5=12×13−15，15×7=12×15−17，…，
∴1nn+2=121n−1n+2，
∴11×3+13×5+15×7+…+145×51
=12×1−13+12×13−15+12×15−17+…+12×145−151
=12×1−13+13−15+15−17+…+145−151
=12×1−151
=12×5051
=2551；
（3）解：16+112+120+130+142+156
=12×3+13×4+14×5+15×6+16×7+17×8
=12−13+13−14+14−15+15−16+16−17+17−18
=12−18
=38．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，得出规律1nn+1=1n−1n+1及1nn+2=121n−1n+2，熟练掌握有理数的混合运算法则及顺序是解题的关键．
【变式4-1】（23-24七年级·安徽马鞍山·期中）计算：12×4+14×6+16×8+⋅⋅⋅+12022×2024．
【答案】10114048
【详解】解：原式=12×12−14+14−16+16−18+⋅⋅⋅+12022−12024
=12×12−12024
=12×10112024
=10114048．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．
【变式4-2】（23-24七年级·江苏苏州·阶段练习）计算：1−1×3+1−3×5+1−5×7+1−7×5+⋯+1−2021×2023．
【答案】−10112023
【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用裂项抵消法解答问题．将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题．
【详解】解：1−1×3+1−3×5+1−5×7+1−7×5+...+1−2021×2023
=−12×21×3+23×5+25×7+27×5+…+22021×2023
=−12×1−13+13−15+15−17+17−15+…+12021−12023
=−12×1−12023
=−12×20222023
=−10112023．
【变式4-3】（23-24七年级·广东佛山·阶段练习）计算：1−122×1−132×⋅⋅⋅×1−120212×1−120222．
【答案】20234044
【详解】因为1−122=12×32，1−132=23×43，1−142=34×54，…，
所以原式=12×32×23×43×34×54⋅⋅⋅×20202021×20222021×20212022×20232022
=12×20232022=20234044．
【点睛】本题考查了有理数的特殊运算，熟练掌握运算方法是解题的关键．
知识点5：相互转化法
根据算式特点,将式子中的分数转化为小数，或小数转化为分数，统一后再进行运算。
【题型5 相互转化法】
【例5】（23-24七年级·江苏盐城·开学考试）计算：38×14+17×0.25+45×25%
【答案】25
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
利用乘法分配律进行计算即可．
【详解】38×14+17×0.25+45×25%
=38×14+17×14+45×14
=14×38+17+45
=14×100
=25．
【变式5-1】（23-24七年级·浙江衢州·阶段练习）计算：8×−53×−0.25÷−56；
【答案】−4
【分析】本题考查了有理数的运算等知识，根据有理数的运算法则进行运算即可求解．
先把除法运算化为乘法运算，再进行多个有理数乘法运算即可求解；
【详解】）解：8×−53×−0.25÷−56
=8×−53×−14×−65
=−4
【变式5-2】（23-24七年级·福建厦门·阶段练习）计算： −0.25×−3×8×−40×−13×12.5
【答案】1000
【分析】按有理数乘法法则计算即可；
【详解】解：−0.25×−3×8×−40×−13×12.5
=−14×−3×8×−40×−13×252
=14×3×8×40×13×252
=1000
【变式5-3】（23-24七年级·河北石家庄·开学考试）计算：
(1)−3÷−134×0.75÷−37×−6；
(2)−15×−0.1÷125×−10；
【答案】(1)18
(2)−5
【分析】根据有理数的加减乘除混合运算法则及运算顺序计算即可得到答案．
【详解】（1）解：−3÷−134×0.75÷−37×−6
=3×47×34×73×6
=18；
（2）解：−15×−0.1÷125×−10
=−15×110×25×10
=−5；
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键．
【题型6 倒数法】
【例6】（23-24七年级·陕西汉中·期末）计算−112÷13−14+16的值．
【答案】−13
【分析】本题考查了有理数的混合运算；
原式的倒数为13−14+16÷−112，将除法变成乘法，利用乘法分配律进行计算，然后可得答案．
【详解】解：原式的倒数为13−14+16÷−112，
13−14+16÷−112
=13−14+16×−12
=13×−12−14×−12+16×−12
=−4+3−2
=−3，
所以−112÷13−14+16=−13．
【变式6-1】（23-24七年级·湖北襄阳·期中）计算：(−78)÷(134−78+712)．
【分析】本题考查的是有理数的混合运算，掌握混合运算的运算顺序是解本题的关键；
先计算(134−78+712)÷(−78)，再求解结果的倒数即可.
【详解】解：(134−78+712)÷(−78)
=(134−78+712)×−87
=−74×87+78×87−712×87．
=−2+1−23．
=−53．
故(−78)÷(134−78+712)＝−35．
【变式6-2】（23-24七年级·江苏连云港·阶段练习）计算：50÷13−14+112．
【答案】300
【分析】本题考查了有理数运算的有关知识，有理数的乘除运算：没有除法分配律.
【详解】解：原式的倒数为13−14+112÷50
=13−14+112×150
=13×150−14×150+112×150
=1300．
故原式=300．
【变式6-3】（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）计算：134−78−712÷−78+−78÷134−78−712．
【答案】−103
【分析】本题考查了有理数的混合运算，倒数的定义
先计算原式前半部分的结果，然后根据倒数的定义求出后半部分的结果，即可求出原式的值．
【详解】（1）解：前部分：134−78−712÷−78
=74×−87−78×−87−712×−87
=−2−(−1)−−23
=−2+1+23
=−13，
后部分：−78÷134−78−712
原式的倒数=134−78−712÷−78
=−13，
故−78÷134−78−712=−3，
∴原式=−13+(−3)=−103．
【题型7 错位相减法】
【例7】（23-24七年级·山东滨州·期中）计算：1−5+52−53+54−55+⋯+52020−52021+52022−520236=
【答案】16
【分析】本题考查了规律性：数字的变化类、有理数的混合运算，根据错位相减法进行计算即可求解．
【详解】解：令S=1−5+52−53+54−55+……+52020−52021+52022，
则5S=5−52+53−54+55+……−52022+52023，
因此5S+S=1+52023，
所以S=1+520236，
所以1−5+52−53+54−55+⋯+52020−52021+52022−520236
=1+520236−520236
=16．
故答案为：16．
【变式7-1】（23-24七年级·江苏连云港·阶段练习计算：1+2+22+23+24+…+2555
【答案】21000−1
【分析】本题是数字类的规律题，根据扩大倍数，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．
【详解】（1）解：可令S=1+2+22+23+24+…+2555，
然后两边同乘2变成2S=2+22+23+24+…+2555+21000，
再让两式相减，因此有2S−S=21000−1，
所以S=21000−1，即
1+2+22+23+24+…+2555=21000−1．
【变式7-2】（23-24七年级·贵州铜仁·阶段练习）计算5+52+53+...+52005的值．
【答案】52010−18
【分析】令S=1+5+52+53+⋯+52005，然后两边同时乘以3，接下来利用错位相减的方法计算即可．
【详解】令S=1+5+52+53+⋯+52005
则5S=5+52+53+⋯+52010
∴5S−S=52010−1
∴S=52010−18
故答案为：52010−18．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算问题，掌握运算技巧以及有理数混合运算法则是解题的关键．
【变式7-3】（23-24七年级·广东深圳·期中）计算
（1）1+7+72+73+⋯⋯+72022的值．
（2）1+2×13+3×132+4×133+⋯+5×138+10×135．
【答案】（1）72023−16；（2）54−234×135
【详解】解：（1）令M=1+7+72+73+…+72021+72022①
则7M=7+72+73+74+…+72022+72023②
②-①得：6M=72023−1，M=72023−16；
（2）令M=1+2×13+3×132+4×133+…+5×138+10×135①
则13M=1×13+2×132+3×133+...+5×135+10×1310②
①-②：23M=1+13+132+⋯+135−10×1310=32−32×1310−10×1310
∴M=54−54×1310−15×1310
=54−654×1310
=54−234×135．
【点睛】本题考查数字类探究问题．根据题意抽象概括出数字规律，熟练掌握运算方法是解题的关键．
【题型8 利用分配律进行简算】
【例8】（23-24七年级·河北石家庄·开学考试）计算：36.2×1.638+6.382．
【答案】100
【分析】本题考查有理数的混合运算，利用乘法分配律简便计算即可．
【详解】解：36.2×1.638+6.382
=3.62×16.38+6.38×6.38
=3.62×10+6.38+6.38×6.38
=3.62×10+3.62×6.38+6.38×6.38
=3.62×10+6.38×3.62+6.38
=3.62×10+6.38×10
=3.62+6.38×10
=10×10
=100．
【变式8-1】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）用简便方法计算
(1)63536×−6
(2)555×11845+333×−35−555×1835.
【答案】(1)−4156；(2)55500.
【分析】（1）将63536写成7−136，再根据乘法分配律进行计算即可；（2）将333×−35写成555×−15，再利用乘法分配律的逆运算进行计算即可求得结果.
【详解】解：(1)63536×−6
=7−136×−6
=−42+16
=−4156；
(2)原式=555×11845+−15−1835
=555×100
=55500.
【点睛】此题考查有理数的乘法分配律及其逆运算，（1）中将带分数拆分成与其相近的整数加减其它分数表示的方法，再根据乘法分配律计算很简便；（2）中要将每组乘法中的一个因式写成同一个数的形式，再利用乘法分配律的逆运算进行运算，以达到简便的目的.
【变式8-2】（23-24七年级·江苏南京·阶段练习）简便计算：
(1)12+221×2+22+322×3+32+423×4+⋯+20222+202322022×2023；
(2)15+110+111+112×110+111+112+113−15+110+111+112+113×110+111+112．
【答案】(1)404420222023；
(2)1117
【分析】（1）利用有理数的混合运算的法则和运算律解答即可；
（2）根据先将15+110+111+112看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可．
【详解】（1）解：12+221×2+22+322×3+32+423×4+⋯+20222+202322022×2023
=121×2+221×2+222×3+322×3+423×4+⋯+202222022×2023+202322022×2023
=12+2+23+32+34+43+⋯+20222023+20232022
=2+12+32+23+43+34+54+⋯+20212022+20232022+20222023
=20222023+2+2+⋯+22022个2
=404420222023；
（2）解：15+110+111+112×110+111+112+113−15+110+111+112+113×110+111+112
=15+110+111+112×110+111+112+113− 15+110+111+112×110+111+112+113×110+111+112
=15+110+111+112×110+111+112+113− 15+110+111+112×110+111+112−113×110+111+112
=15+110+111+112×110+111+112+113−110−111−112−113×110+111+112
=15+110+111+112×113−113×110+111+112
=15×113
=1117．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算．
【变式8-3】（23-24七年级·河南开封·开学考试）怎样简便怎样算
(1)2021×20222022−2022×20212021；
(2)112+214+318+4116+5132+6164
(3)2015+2016×20142016×2015−1
(4)520−1130+1342−1556+1772×121212131313
【答案】(1)0
(2)216364
(3)1
(4)13
【分析】（1）根据20222022=2022×10001，20212021=2021×10001将原式变形为2021×2022×10001−2022×2021×10001即可得到答案；
（2）将原式先加上164，再减去164，根据有理数加减计算法则求解即可；
（3）根据2016×2014=2016×2015−1，利用乘法的分配律将分子变形为2016×2015−1，由此即可得到答案；
（3）根据n+n+1nn+1=1n+1n+1先将括号内的式子变形为14−15，再由121212=12×10101，131313=13×10101进行求解即可．
【详解】（1）解：2021×20222022−2022×20212021
=2021×2022×10001−2022×2021×10001
=0；
（2）解：112+214+318+4116+5132+6164
=112+214+318+4116+5132+6164+164−164
=112+214+318+4116+5132+6132−164
=112+214+318+4116+11116−164
=112+214+318+1518−164
=112+214+1814−164
=112+2012−164
=22−164
=216364；
（3）解：2015+2016×20142016×2015−1
=2015+2016×2015−12016×2015−1
=2015+2016×2015−20162016×2015−1
=2016×2015−12016×2015−1
=1；
（4）解：520−1130+1342−1556+1772×121212131313
=4+54×5−5+65×6+6+76×7−7+87×8+8+58×5×121212131313
=14+15−15−16+16+17−17−18+18+15×121212131313
=14+15×121212131313
=14+15×12×1010113×10101
=1336×1213
=13．
【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数的相关计算法则和运算律是解题的关键．
【题型5 利用图形进行简算】
【例5】（23-24七年级·全国·期中）看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的长方形，再把面积为14的长方形等分成面积为18的长方形，如此进行下去……
(1)试利用图形揭示的规律计算：12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n＝_______．
并使用代数方法证明你的结论．
(2)请给利用图（2），再设计一个能求：12+122+123+124+⋯+12n的值的几何图形．
【答案】(1)1−12n ，证明见解析
(2)见解析
【分析】（1）①根据图形可知用正方形面积减去最后一个小长方形面积即可求解；②设s=12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n，再算出2s，两式相减即可证明；
（2）用正方形的对角线将面积为1正方形分成两个面积为12的三角形，然后再作三角形的高，将其面积平分，如此进行下去即可．
【详解】（1）解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为12n时 ，
12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即：1−12n ，
∴12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n=1−12n；
②设s=12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n ，
2s=1+12+14+18+116+132+164+1128+⋯12n−1 ，
∴2s−s=1−12n，
即s=1−12n，
∴12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n=1−12n；
（2）如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为12的三角形，接着把面积为12的三角形等分成两个面积为14的三角形，再把面积为14的三角形等分成面积为18的三角形，如此进行下去，
则12+122+123+124+⋯+12n的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：1−12n
【点睛】本题考查了图形的规律，数字的规律，图形的面积，有理数的乘方；分析、总结、归纳的能力是解题的关键．
【变式5-1】（23-24七年级·山东青岛·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．
(1)图中阴影部分的面积为 ；
(2)受此启发，得到12+14+18+⋯+126＝ ；
(3)联系拓广，得到12+14+18+⋯+12n＝ （用含n的式子表示）；
(4)迁移应用：得到23+13×23+132×23+133×23+⋯+132023×23＝ （直接写出答案即可）．
【答案】(1)164
(2)6364
(3)1−12n
(4)1−132024
【分析】本题考查图形变化的规律，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键；
（1）根据图中三角形面积之间的关系即可解决问题；
（2）利用数形结合的思想即可解决问题；
（3）利用数形结合的思想即可解决问题；
（4）根据（3）中的结论即可解决问题；
【详解】（1）由题知，
正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半，
所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等．
又因为部分①的面积为：12=121，
部分②的面积为：12×12=14=122，
部分③的面积为：12×12×12=18=123，
…，
依次类图，部分n的面积为12n．
当n=6时，
12n=126=164．
所以阴影部分的面积为164．
故答案为：164．
（2）由（1）知，
12+122+123+⋯+126+126=1，
所以12+14+18+⋯+126=1−126=6364．
故答案为：6364．
（3）根据（2）中的发现可知，
12+14+18+⋯+12n=1−12n．
故答案为：1−12n．
（4）由题知，
原式=23×1+13+132+133+⋯+132023．
令S=1+13+132+⋯+132023①，
则13S=13+132+133+⋯+132024②，
①-②得，
23s=1−132024，
即S=32−12×32023，
所以原式=23×32−12×32023
=1−132024．
故答案为：1−132024．
【变式5-2】（23-24七年级·湖南永州·期中）【阅读】求值1+2+22+23+24+…+210．
【运用】仿照此法计算：
解：设S=1+2+22+23+24+…+210①
将等式①的两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+211②
由②−①得：2S−S=211−1，
即：S=1+2=22+23+24+…+210=211−1，
(1)1+5+52+53+54+…+550；
(2)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2022．
完成下列问题：
①小正方形S2022的面积等于 ；
②求正方形S1、S2、S3、…、S2022的面积和．
【答案】(1)S=551−14；
(2)①142022；②131−142022．
【分析】（1）根据例题，原式乘以5，然后两式相减即可求解．
（2）①根据有理数乘方的意义，表示出S1、S2、S3、…，找到规律即可求解．
②根据（1）的方法，进行计算即可求解．
【详解】（1）设S=1+5+52+53+54+…+550①
①×5，得：5S=5+52+53+54+55+…+551②
②−①，得：4S=551−1
则S=551−14
（2）①∵S1=14,S2=14×14=142,S3=14×14×14=143，……，
∴S2022=142022，
故答案为：142022；
②S1+S2+S3+…+S2022= 14+142+143+…+142022①，
①×14得：14S=142+143+144+…+142023②，
①−②得：34S=14−142023，
∴S=43(14−142023)=13(1−142022)，
即S1+S2+S3+…+S2022=131−142022．
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，理解例题的解法是解题的关键．
【变式5-3】（23-24七年级·山东青岛·期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算15+152+153+⋯+15n(其中n是正整数，且n≥2，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算12+122+123+⋯+12n．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为12；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为12+12；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为12+122+123+⋯+12n，最后空白部分的面积是12n．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，15+152+153+⋯+15n=___________．
(3)拓广应用：计算5−15+52−152+53−153+⋯+5n−15n=___________．
【答案】探究三：14+142+143+⋯+14n = 13−13×4n图见见解析；
解决问题：图见解析；（1）18−18×5n；（2）18−18×5n；（3）n−18+18×5n
【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；
解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式85+852+853+⋯+85n=1−15n
(2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以(m−1)即可得解；
(3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．
【详解】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，
其中阴影部分的面积为34；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
阴影部分的面积之和为34+342；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
…，
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为：34+342+343+⋯+34n，
最后的空白部分的面积是14n，
根据第n次分割图可得等式：34+342+343+⋯+34n =1﹣ 14n，
两边同除以3，得14+142+143+⋯+14n = 13−13×4n；
解决问题：
（1）85+852+853+⋯+85n=1−15n =18−18×5n
故答案为：85+852+853+⋯+85n=18−18×5n
（2）15+152+153+⋯+15n= 18−18×5n，
故答案为：18−18×5n；
（3）拓广应用：5−15+52−152+53−153+⋯+5n−15n
=1−15+1−152+1−153+⋅⋅⋅+1−15n
=n−15+152+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+15n
=n−18−18×5n
=n−18+18×5n．
故答案为：n−18+18×5n．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1289" 【题型1 凑整法】 PAGEREF _Tc1289 \h 1
\l "_Tc17703" 【题型2 拆项法】 PAGEREF _Tc17703 \h 2
\l "_Tc4413" 【题型3 组合法】 PAGEREF _Tc4413 \h 2
\l "_Tc14358" 【题型4 裂项相消法】 PAGEREF _Tc14358 \h 3
\l "_Tc20712" 【题型5 相互转化法】 PAGEREF _Tc20712 \h 3
\l "_Tc4686" 【题型6 倒数法】 PAGEREF _Tc4686 \h 3
\l "_Tc20154" 【题型7 错位相减法】 PAGEREF _Tc20154 \h 4
\l "_Tc27403" 【题型8 利用分配律进行简算】 PAGEREF _Tc27403 \h 4
\l "_Tc26375" 【题型5 利用图形进行简算】 PAGEREF _Tc26375 \h 4
知识点1：凑整法
多个有理数相加时,如果既有分数,也有小数,一般将存在数量少的形式转化成数量多的形式,把能凑成整数的数结合在一起,可以使计算简便,这种方法简称凑整法。
【题型1 凑整法】
【例1】（23-24七年级·上海普陀·期中）计算：−3.15+21521+−6.81−−2221
【变式1-1】（23-24七年级·广东广州·阶段练习）计算：
−7.3−−656+|−3.3|+116．
【变式1-2】（2024七年级·全国·专题练习）计算：−218++5+−312++1.125++412．
【变式1-3】（2024秋·广西崇左·七年级校考阶段练习）计算：
−218++5+−312++1.125++412；
知识点2：拆项法
先把带分数拆成整数和真分数两部分,再把整数部分和真分数部分分别结合在一起利用交换律, 结合律得出答案。
【题型2 拆项法】
【例2】（23-24七年级·河南驻马店·阶段练习）计算：−556+−523+1734+−312
【变式2-1】（2024秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：
(1)+3575+−2345；
(2)−201856+−201723+−112+4036．
【变式2-2】（23-24七年级·辽宁鞍山·阶段练习）计算：−201156+−201223+4023+−112．
【变式2-3】（2024秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：
(1)+1725+−735．
(2)−202325+−202445+4048+55．
知识点3：组合法
观察算式,找出算式分布规律,然后适当分组,利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。
【题型3 组合法】
【例3】（23-24七年级·山西太原·阶段练习）计算1+2−3−4+5+6−7−8+⋯+2017+2018−2015−2020值为（ ）
A．0B．﹣1C．2020D．-2020
【变式3-1】（23-24七年级·吉林长春·期中）计算：
（1）−18+17+−12−−33．
（2）+325+−278−−535−+118．
【变式3-2】（23-24七年级·安徽阜阳·阶段练习）计算：
2023−2020+2017−2014+2011−2008+……+16−13+10−7+4
【变式3-3】（23-24七年级·北京·期末）1−3−5+7+5−11−13+15+⋯+2005−2011−2013+2015= ．
知识点4：裂项相消法
根据算式特点,将各项变为两项,然后把互为相反数的两项相加,只剩下首项和末项相加得出结果。
【题型4 裂项相消法】
【例4】（23-24七年级·山东威海·阶段练习）计算：
(1)11×2+12×3+13×4+…+12004×2005；
(2)11×3+13×5+15×7+…+145×51；
(3)16+112+120+130+142+156．
【变式4-1】（23-24七年级·安徽马鞍山·期中）计算：12×4+14×6+16×8+⋅⋅⋅+12022×2024．
【变式4-2】（23-24七年级·江苏苏州·阶段练习）计算：1−1×3+1−3×5+1−5×7+1−7×5+⋯+1−2021×2023．
【变式4-3】（23-24七年级·广东佛山·阶段练习）计算：1−122×1−132×⋅⋅⋅×1−120212×1−120222．
知识点5：相互转化法
根据算式特点,将式子中的分数转化为小数，或小数转化为分数，统一后再进行运算。
【题型5 相互转化法】
【例5】（23-24七年级·江苏盐城·开学考试）计算：38×14+17×0.25+45×25%
【变式5-1】（23-24七年级·浙江衢州·阶段练习）计算：8×−53×−0.25÷−56；
【变式5-2】（23-24七年级·福建厦门·阶段练习）计算： −0.25×−3×8×−40×−13×12.5
【变式5-3】（23-24七年级·河北石家庄·开学考试）计算：
(1)−3÷−134×0.75÷−37×−6；
(2)−15×−0.1÷125×−10；
【题型6 倒数法】
【例6】（23-24七年级·陕西汉中·期末）计算−112÷13−14+16的值．
【变式6-1】（23-24七年级·湖北襄阳·期中）计算：(−78)÷(134−78+712)．
【变式6-2】（23-24七年级·江苏连云港·阶段练习）计算：50÷13−14+112．
【变式6-3】（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）计算：134−78−712÷−78+−78÷134−78−712．
【题型7 错位相减法】
【例7】（23-24七年级·山东滨州·期中）计算：1−5+52−53+54−55+⋯+52020−52021+52022−520236=
【变式7-1】（23-24七年级·江苏连云港·阶段练习计算：1+2+22+23+24+…+2555
【变式7-2】（23-24七年级·贵州铜仁·阶段练习）计算5+52+53+...+52005的值．
【变式7-3】（23-24七年级·广东深圳·期中）计算
（1）1+7+72+73+⋯⋯+72022的值．
（2）1+2×13+3×132+4×133+⋯+5×138+10×135．
【题型8 利用分配律进行简算】
【例8】（23-24七年级·河北石家庄·开学考试）计算：36.2×1.638+6.382．
【变式8-1】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）用简便方法计算
(1)63536×−6
(2)555×11845+333×−35−555×1835.
【变式8-2】（23-24七年级·江苏南京·阶段练习）简便计算：
(1)12+221×2+22+322×3+32+423×4+⋯+20222+202322022×2023；
(2)15+110+111+112×110+111+112+113−15+110+111+112+113×110+111+112．
【变式8-3】（23-24七年级·河南开封·开学考试）怎样简便怎样算
(1)2021×20222022−2022×20212021；
(2)112+214+318+4116+5132+6164
(3)2015+2016×20142016×2015−1
(4)520−1130+1342−1556+1772×121212131313
【题型5 利用图形进行简算】
【例5】（23-24七年级·全国·期中）看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的长方形，再把面积为14的长方形等分成面积为18的长方形，如此进行下去……
(1)试利用图形揭示的规律计算：12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n＝_______．
并使用代数方法证明你的结论．
(2)请给利用图（2），再设计一个能求：12+122+123+124+⋯+12n的值的几何图形．
【变式5-1】（23-24七年级·山东青岛·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．
(1)图中阴影部分的面积为 ；
(2)受此启发，得到12+14+18+⋯+126＝ ；
(3)联系拓广，得到12+14+18+⋯+12n＝ （用含n的式子表示）；
(4)迁移应用：得到23+13×23+132×23+133×23+⋯+132023×23＝ （直接写出答案即可）．
【变式5-2】（23-24七年级·湖南永州·期中）【阅读】求值1+2+22+23+24+…+210．
【运用】仿照此法计算：
解：设S=1+2+22+23+24+…+210①
将等式①的两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+211②
由②−①得：2S−S=211−1，
即：S=1+2=22+23+24+…+210=211−1，
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为12+122+123+⋯+12n，最后空白部分的面积是12n．
根据第n次分割图可得等式：12+122+123+⋯+12n=1−12n．
探究二：计算13+132+133+⋯+13n．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为23；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为23+232；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为23+232+233+⋯+23n，最后空白部分的面积是13n．
根据第n次分制图可得等式：23+232+233+⋯+23n=1−13n，
两边同除2，得13+132+133+⋯+13n=12−12×3n，
探究三：计算14+142+143+⋯+14n．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
解决问题．计算15+152+153+⋯+15n．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，15+152+153+⋯+15n=___________．
(3)拓广应用：计算5−15+52−152+53−153+⋯+5n−15n=___________．
专题2.13 巧算有理数【九大题型】
【苏科版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1289" 【题型1 凑整法】 PAGEREF _Tc1289 \h 1
\l "_Tc17703" 【题型2 拆项法】 PAGEREF _Tc17703 \h 3
\l "_Tc4413" 【题型3 组合法】 PAGEREF _Tc4413 \h 5
\l "_Tc14358" 【题型4 裂项相消法】 PAGEREF _Tc14358 \h 7
\l "_Tc20712" 【题型5 相互转化法】 PAGEREF _Tc20712 \h 5
\l "_Tc4686" 【题型6 倒数法】 PAGEREF _Tc4686 \h 11
\l "_Tc20154" 【题型7 错位相减法】 PAGEREF _Tc20154 \h 13
\l "_Tc27403" 【题型8 利用分配律进行简算】 PAGEREF _Tc27403 \h 15
\l "_Tc26375" 【题型5 利用图形进行简算】 PAGEREF _Tc26375 \h 15
知识点1：凑整法
多个有理数相加时,如果既有分数,也有小数,一般将存在数量少的形式转化成数量多的形式,把能凑成整数的数结合在一起,可以使计算简便,这种方法简称凑整法。
【题型1 凑整法】
【例1】（23-24七年级·上海普陀·期中）计算：−3.15+21521+−6.81−−2221
【答案】−5
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法交换律和结合律，熟练掌握有理数的加减混合运算及有理数的加法的运算律是解题的关键．根据有理数加法的运算律，将能凑整的数先凑整，得到−3.15+−6.81+21521+2221，再进一步计算，即得答案．
【详解】解：原式=−3.15+21521+−6.81−−2221．
=−3.15+−6.81+21521+2221
=−10+5
=−5．
【变式1-1】（23-24七年级·广东广州·阶段练习）计算：
−7.3−−656+|−3.3|+116．
【答案】4
【详解】−7.3−−656+|−3.3|+116
=3.3−7.3+656+116
=−4+8
=4．
【点睛】此题考查了有理数加减混合运算，绝对值的化简，正确掌握有理数加减混合运算法则是解题的关键．
【变式1-2】（2024七年级·全国·专题练习）计算：−218++5+−312++1.125++412．
【答案】5
【分析】先根据去括号法则去括号，再根据加法交换律和结合律简便计算即可．
【详解】解： −218++5+−312++1.125++412
=−218+5−312+1.125+412，
=−218+118+5−312−412，
=−1+5+1，
=5．
【点睛】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的关键．
【变式1-3】（2024秋·广西崇左·七年级校考阶段练习）计算：
−218++5+−312++1.125++412；
【答案】5
【分析】先根据去括号法则去括号，再根据加法交换律和结合律简便计算即可；
【详解】解：−218++5+−312++1.125++412
=−218+5−312+1.125+412
=−218+118+5−312−412
=−1+5+1
=5；
【点睛】本题考查有理数的加法运算，掌握各运算法则是解题关键．
知识点2：拆项法
先把带分数拆成整数和真分数两部分,再把整数部分和真分数部分分别结合在一起利用交换律, 结合律得出答案。
【题型2 拆项法】
【例2】（23-24七年级·河南驻马店·阶段练习）计算：−556+−523+1734+−312
【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．
【详解】解：原式=(−5)+−56+(−5)+−23+17+34+(−3)+−12
=(−5)+(−5)+(−3)+17+−56+−23+−12+34
=0+−114
=−114．
【变式2-1】（2024秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：
(1)+3575+−2345；
(2)−201856+−201723+−112+4036．
【答案】(1)1213
(2)−2
【分析】（1）依据“拆项法”计算即可；
（2）依据“拆项法”计算即可．
【详解】（1）+3575+−2345
=35+75+−23+−45
=35+−23+75+−45
=12+13
=1213；
（2）−201856+−201723+−112+4036
=−2018+−56+−2017+−23+−1+−12+4036
=−2018+−2017+−1+4036+−56+−23+−12
=0+−2
=−2．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握题目给出的“拆项法”是解答本题的关键．
【变式2-2】（23-24七年级·辽宁鞍山·阶段练习）计算：−201156+−201223+4023+−112．
【答案】−3
【分析】根据题目中材料，将原式整理为−2011−56+−2012−23+4023+−1−12，然后求解即可．
【详解】解：原式=−2011−56+−2012−23+4023+−1−12
=−2011−2012+4023−1+−56−23−12
=−1+−2
=−3．
【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，理解材料中简便运算方法是解题关键．
【变式2-3】（2024秋·山东德州·七年级校考阶段练习）计算：
(1)+1725+−735．
(2)−202325+−202445+4048+55．
【答案】(1)545
(2)85
【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．
【详解】（1）解：+1725+−735
=17+25−(7+35)
=(17−7)+(25−35)
=10+(−15)
=545
（2）−202325+−202445+4048+55
=(−2023−25)+(−2024−45)+4048+55
=(−2023−2024+4048)+(−25−45+55)
=1+(−15)
=85
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用题干中的拆项法拆项后再利用运算律解答是解题的关键．
知识点3：组合法
观察算式,找出算式分布规律,然后适当分组,利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。
【题型3 组合法】
【例3】（23-24七年级·山西太原·阶段练习）计算1+2−3−4+5+6−7−8+⋯+2017+2018−2015−2020值为（ ）
A．0B．﹣1C．2020D．-2020
【答案】B
【分析】根据加法的结合律四个四个一组结合起来，每一组的和都等于-4,共505组,计算即可．
【详解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+5+10-11-12+……+2017+2018-2015-2020
=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+（5+10-11-12）+……+（2017+2018-2015-2020）
=（-4）+（-4）+（-4）+（-4）+……+（-4）
=（-4）×505
＝-2020．
故选D.
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，观察出规律是解题的关键．
【变式3-1】（23-24七年级·吉林长春·期中）计算：
（1）−18+17+−12−−33．
（2）+325+−278−−535−+118．
【答案】（1）20 （2）5
【分析】先化简符号，再正数结合负数结合，最后相加．
本题主要考查了有理数的加减混合运算．熟练掌握化简符号，加法结合律，是解决问题的关键．
【详解】（1）−18+17+−12−−33
=−18−12+33+17
=−30+50
=20．
（2）解：+325+−278−−535−+118
=325−278+535−118
=325+535−278+118
=5−4
=5．
【变式3-2】（23-24七年级·安徽阜阳·阶段练习）计算：
2023−2020+2017−2014+2011−2008+……+16−13+10−7+4
【答案】1012
【分析】合理分组：2023−2020+2017−2014+2011−2008+……+13−10+7−4+1每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可．
【详解】2023−2020+2017−2014+2011−2008+……+13−10+7−4+1
=2023−2020+2017−2014+2011−2008+……+13−10+7−4+1
每两个数为一组，结果是3；
则2023−1÷2023−2017=337
即一共有337组；
原式=3×337+1=1012．
【变式3-3】（23-24七年级·北京·期末）1−3−5+7+5−11−13+15+⋯+2005−2011−2013+2015= ．
【答案】0
【分析】通过观察，每四项结合在一起，每一项结果为0，然后将原式利用加法结合律进行计算．
【详解】原式＝1−3−5+7+5−11−13+15+⋯+2005−2011−2013+2015
＝0，
故填：0．
【点睛】本题考查了加法中的巧算问题，熟练应用加法结合律是关键．
知识点4：裂项相消法
根据算式特点,将各项变为两项,然后把互为相反数的两项相加,只剩下首项和末项相加得出结果。
【题型4 裂项相消法】
【例4】（23-24七年级·山东威海·阶段练习）计算：
(1)11×2+12×3+13×4+…+12004×2005；
(2)11×3+13×5+15×7+…+145×51；
(3)16+112+120+130+142+156．
【答案】(1)20042005
(2)2551
(3)38
【分析】（1）根据题中给出的式子找出规律1nn+1=1n−1n+1，再进行计算即可得到答案；
（2）根据11×3=12×1−13，13×5=12×13−15，15×7=12×15−17，…，得出1nn+2=121n−1n+2，再进行计算即可得到答案；
（3）将式子化为12×3+13×4+14×5+15×6+16×7+17×8，再利用题中所给的规律进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：∵11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，…，15×10=15−110，
∴1nn+1=1n−1n+1，
∴11×2+12×3+13×4+…+12004×2005
=1−12+12−13+13−14+…+12004−12005
=1−12005
=20042005；
（2）解：∵11×3=12×1−13，13×5=12×13−15，15×7=12×15−17，…，
∴1nn+2=121n−1n+2，
∴11×3+13×5+15×7+…+145×51
=12×1−13+12×13−15+12×15−17+…+12×145−151
=12×1−13+13−15+15−17+…+145−151
=12×1−151
=12×5051
=2551；
（3）解：16+112+120+130+142+156
=12×3+13×4+14×5+15×6+16×7+17×8
=12−13+13−14+14−15+15−16+16−17+17−18
=12−18
=38．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，得出规律1nn+1=1n−1n+1及1nn+2=121n−1n+2，熟练掌握有理数的混合运算法则及顺序是解题的关键．
【变式4-1】（23-24七年级·安徽马鞍山·期中）计算：12×4+14×6+16×8+⋅⋅⋅+12022×2024．
【答案】10114048
【详解】解：原式=12×12−14+14−16+16−18+⋅⋅⋅+12022−12024
=12×12−12024
=12×10112024
=10114048．
【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．
【变式4-2】（23-24七年级·江苏苏州·阶段练习）计算：1−1×3+1−3×5+1−5×7+1−7×5+⋯+1−2021×2023．
【答案】−10112023
【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用裂项抵消法解答问题．将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题．
【详解】解：1−1×3+1−3×5+1−5×7+1−7×5+...+1−2021×2023
=−12×21×3+23×5+25×7+27×5+…+22021×2023
=−12×1−13+13−15+15−17+17−15+…+12021−12023
=−12×1−12023
=−12×20222023
=−10112023．
【变式4-3】（23-24七年级·广东佛山·阶段练习）计算：1−122×1−132×⋅⋅⋅×1−120212×1−120222．
【答案】20234044
【详解】因为1−122=12×32，1−132=23×43，1−142=34×54，…，
所以原式=12×32×23×43×34×54⋅⋅⋅×20202021×20222021×20212022×20232022
=12×20232022=20234044．
【点睛】本题考查了有理数的特殊运算，熟练掌握运算方法是解题的关键．
知识点5：相互转化法
根据算式特点,将式子中的分数转化为小数，或小数转化为分数，统一后再进行运算。
【题型5 相互转化法】
【例5】（23-24七年级·江苏盐城·开学考试）计算：38×14+17×0.25+45×25%
【答案】25
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
利用乘法分配律进行计算即可．
【详解】38×14+17×0.25+45×25%
=38×14+17×14+45×14
=14×38+17+45
=14×100
=25．
【变式5-1】（23-24七年级·浙江衢州·阶段练习）计算：8×−53×−0.25÷−56；
【答案】−4
【分析】本题考查了有理数的运算等知识，根据有理数的运算法则进行运算即可求解．
先把除法运算化为乘法运算，再进行多个有理数乘法运算即可求解；
【详解】）解：8×−53×−0.25÷−56
=8×−53×−14×−65
=−4
【变式5-2】（23-24七年级·福建厦门·阶段练习）计算： −0.25×−3×8×−40×−13×12.5
【答案】1000
【分析】按有理数乘法法则计算即可；
【详解】解：−0.25×−3×8×−40×−13×12.5
=−14×−3×8×−40×−13×252
=14×3×8×40×13×252
=1000
【变式5-3】（23-24七年级·河北石家庄·开学考试）计算：
(1)−3÷−134×0.75÷−37×−6；
(2)−15×−0.1÷125×−10；
【答案】(1)18
(2)−5
【分析】根据有理数的加减乘除混合运算法则及运算顺序计算即可得到答案．
【详解】（1）解：−3÷−134×0.75÷−37×−6
=3×47×34×73×6
=18；
（2）解：−15×−0.1÷125×−10
=−15×110×25×10
=−5；
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键．
【题型6 倒数法】
【例6】（23-24七年级·陕西汉中·期末）计算−112÷13−14+16的值．
【答案】−13
【分析】本题考查了有理数的混合运算；
原式的倒数为13−14+16÷−112，将除法变成乘法，利用乘法分配律进行计算，然后可得答案．
【详解】解：原式的倒数为13−14+16÷−112，
13−14+16÷−112
=13−14+16×−12
=13×−12−14×−12+16×−12
=−4+3−2
=−3，
所以−112÷13−14+16=−13．
【变式6-1】（23-24七年级·湖北襄阳·期中）计算：(−78)÷(134−78+712)．
【分析】本题考查的是有理数的混合运算，掌握混合运算的运算顺序是解本题的关键；
先计算(134−78+712)÷(−78)，再求解结果的倒数即可.
【详解】解：(134−78+712)÷(−78)
=(134−78+712)×−87
=−74×87+78×87−712×87．
=−2+1−23．
=−53．
故(−78)÷(134−78+712)＝−35．
【变式6-2】（23-24七年级·江苏连云港·阶段练习）计算：50÷13−14+112．
【答案】300
【分析】本题考查了有理数运算的有关知识，有理数的乘除运算：没有除法分配律.
【详解】解：原式的倒数为13−14+112÷50
=13−14+112×150
=13×150−14×150+112×150
=1300．
故原式=300．
【变式6-3】（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）计算：134−78−712÷−78+−78÷134−78−712．
【答案】−103
【分析】本题考查了有理数的混合运算，倒数的定义
先计算原式前半部分的结果，然后根据倒数的定义求出后半部分的结果，即可求出原式的值．
【详解】（1）解：前部分：134−78−712÷−78
=74×−87−78×−87−712×−87
=−2−(−1)−−23
=−2+1+23
=−13，
后部分：−78÷134−78−712
原式的倒数=134−78−712÷−78
=−13，
故−78÷134−78−712=−3，
∴原式=−13+(−3)=−103．
【题型7 错位相减法】
【例7】（23-24七年级·山东滨州·期中）计算：1−5+52−53+54−55+⋯+52020−52021+52022−520236=
【答案】16
【分析】本题考查了规律性：数字的变化类、有理数的混合运算，根据错位相减法进行计算即可求解．
【详解】解：令S=1−5+52−53+54−55+……+52020−52021+52022，
则5S=5−52+53−54+55+……−52022+52023，
因此5S+S=1+52023，
所以S=1+520236，
所以1−5+52−53+54−55+⋯+52020−52021+52022−520236
=1+520236−520236
=16．
故答案为：16．
【变式7-1】（23-24七年级·江苏连云港·阶段练习计算：1+2+22+23+24+…+2555
【答案】21000−1
【分析】本题是数字类的规律题，根据扩大倍数，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．
【详解】（1）解：可令S=1+2+22+23+24+…+2555，
然后两边同乘2变成2S=2+22+23+24+…+2555+21000，
再让两式相减，因此有2S−S=21000−1，
所以S=21000−1，即
1+2+22+23+24+…+2555=21000−1．
【变式7-2】（23-24七年级·贵州铜仁·阶段练习）计算5+52+53+...+52005的值．
【答案】52010−18
【分析】令S=1+5+52+53+⋯+52005，然后两边同时乘以3，接下来利用错位相减的方法计算即可．
【详解】令S=1+5+52+53+⋯+52005
则5S=5+52+53+⋯+52010
∴5S−S=52010−1
∴S=52010−18
故答案为：52010−18．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算问题，掌握运算技巧以及有理数混合运算法则是解题的关键．
【变式7-3】（23-24七年级·广东深圳·期中）计算
（1）1+7+72+73+⋯⋯+72022的值．
（2）1+2×13+3×132+4×133+⋯+5×138+10×135．
【答案】（1）72023−16；（2）54−234×135
【详解】解：（1）令M=1+7+72+73+…+72021+72022①
则7M=7+72+73+74+…+72022+72023②
②-①得：6M=72023−1，M=72023−16；
（2）令M=1+2×13+3×132+4×133+…+5×138+10×135①
则13M=1×13+2×132+3×133+...+5×135+10×1310②
①-②：23M=1+13+132+⋯+135−10×1310=32−32×1310−10×1310
∴M=54−54×1310−15×1310
=54−654×1310
=54−234×135．
【点睛】本题考查数字类探究问题．根据题意抽象概括出数字规律，熟练掌握运算方法是解题的关键．
【题型8 利用分配律进行简算】
【例8】（23-24七年级·河北石家庄·开学考试）计算：36.2×1.638+6.382．
【答案】100
【分析】本题考查有理数的混合运算，利用乘法分配律简便计算即可．
【详解】解：36.2×1.638+6.382
=3.62×16.38+6.38×6.38
=3.62×10+6.38+6.38×6.38
=3.62×10+3.62×6.38+6.38×6.38
=3.62×10+6.38×3.62+6.38
=3.62×10+6.38×10
=3.62+6.38×10
=10×10
=100．
【变式8-1】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）用简便方法计算
(1)63536×−6
(2)555×11845+333×−35−555×1835.
【答案】(1)−4156；(2)55500.
【分析】（1）将63536写成7−136，再根据乘法分配律进行计算即可；（2）将333×−35写成555×−15，再利用乘法分配律的逆运算进行计算即可求得结果.
【详解】解：(1)63536×−6
=7−136×−6
=−42+16
=−4156；
(2)原式=555×11845+−15−1835
=555×100
=55500.
【点睛】此题考查有理数的乘法分配律及其逆运算，（1）中将带分数拆分成与其相近的整数加减其它分数表示的方法，再根据乘法分配律计算很简便；（2）中要将每组乘法中的一个因式写成同一个数的形式，再利用乘法分配律的逆运算进行运算，以达到简便的目的.
【变式8-2】（23-24七年级·江苏南京·阶段练习）简便计算：
(1)12+221×2+22+322×3+32+423×4+⋯+20222+202322022×2023；
(2)15+110+111+112×110+111+112+113−15+110+111+112+113×110+111+112．
【答案】(1)404420222023；
(2)1117
【分析】（1）利用有理数的混合运算的法则和运算律解答即可；
（2）根据先将15+110+111+112看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可．
【详解】（1）解：12+221×2+22+322×3+32+423×4+⋯+20222+202322022×2023
=121×2+221×2+222×3+322×3+423×4+⋯+202222022×2023+202322022×2023
=12+2+23+32+34+43+⋯+20222023+20232022
=2+12+32+23+43+34+54+⋯+20212022+20232022+20222023
=20222023+2+2+⋯+22022个2
=404420222023；
（2）解：15+110+111+112×110+111+112+113−15+110+111+112+113×110+111+112
=15+110+111+112×110+111+112+113− 15+110+111+112×110+111+112+113×110+111+112
=15+110+111+112×110+111+112+113− 15+110+111+112×110+111+112−113×110+111+112
=15+110+111+112×110+111+112+113−110−111−112−113×110+111+112
=15+110+111+112×113−113×110+111+112
=15×113
=1117．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算．
【变式8-3】（23-24七年级·河南开封·开学考试）怎样简便怎样算
(1)2021×20222022−2022×20212021；
(2)112+214+318+4116+5132+6164
(3)2015+2016×20142016×2015−1
(4)520−1130+1342−1556+1772×121212131313
【答案】(1)0
(2)216364
(3)1
(4)13
【分析】（1）根据20222022=2022×10001，20212021=2021×10001将原式变形为2021×2022×10001−2022×2021×10001即可得到答案；
（2）将原式先加上164，再减去164，根据有理数加减计算法则求解即可；
（3）根据2016×2014=2016×2015−1，利用乘法的分配律将分子变形为2016×2015−1，由此即可得到答案；
（3）根据n+n+1nn+1=1n+1n+1先将括号内的式子变形为14−15，再由121212=12×10101，131313=13×10101进行求解即可．
【详解】（1）解：2021×20222022−2022×20212021
=2021×2022×10001−2022×2021×10001
=0；
（2）解：112+214+318+4116+5132+6164
=112+214+318+4116+5132+6164+164−164
=112+214+318+4116+5132+6132−164
=112+214+318+4116+11116−164
=112+214+318+1518−164
=112+214+1814−164
=112+2012−164
=22−164
=216364；
（3）解：2015+2016×20142016×2015−1
=2015+2016×2015−12016×2015−1
=2015+2016×2015−20162016×2015−1
=2016×2015−12016×2015−1
=1；
（4）解：520−1130+1342−1556+1772×121212131313
=4+54×5−5+65×6+6+76×7−7+87×8+8+58×5×121212131313
=14+15−15−16+16+17−17−18+18+15×121212131313
=14+15×121212131313
=14+15×12×1010113×10101
=1336×1213
=13．
【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数的相关计算法则和运算律是解题的关键．
【题型5 利用图形进行简算】
【例5】（23-24七年级·全国·期中）看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的长方形，再把面积为14的长方形等分成面积为18的长方形，如此进行下去……
(1)试利用图形揭示的规律计算：12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n＝_______．
并使用代数方法证明你的结论．
(2)请给利用图（2），再设计一个能求：12+122+123+124+⋯+12n的值的几何图形．
【答案】(1)1−12n ，证明见解析
(2)见解析
【分析】（1）①根据图形可知用正方形面积减去最后一个小长方形面积即可求解；②设s=12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n，再算出2s，两式相减即可证明；
（2）用正方形的对角线将面积为1正方形分成两个面积为12的三角形，然后再作三角形的高，将其面积平分，如此进行下去即可．
【详解】（1）解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为12n时 ，
12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即：1−12n ，
∴12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n=1−12n；
②设s=12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n ，
2s=1+12+14+18+116+132+164+1128+⋯12n−1 ，
∴2s−s=1−12n，
即s=1−12n，
∴12+14+18+116+132+164+1128+1256+⋯12n=1−12n；
（2）如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为12的三角形，接着把面积为12的三角形等分成两个面积为14的三角形，再把面积为14的三角形等分成面积为18的三角形，如此进行下去，
则12+122+123+124+⋯+12n的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：1−12n
【点睛】本题考查了图形的规律，数字的规律，图形的面积，有理数的乘方；分析、总结、归纳的能力是解题的关键．
【变式5-1】（23-24七年级·山东青岛·期中）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推．
(1)图中阴影部分的面积为 ；
(2)受此启发，得到12+14+18+⋯+126＝ ；
(3)联系拓广，得到12+14+18+⋯+12n＝ （用含n的式子表示）；
(4)迁移应用：得到23+13×23+132×23+133×23+⋯+132023×23＝ （直接写出答案即可）．
【答案】(1)164
(2)6364
(3)1−12n
(4)1−132024
【分析】本题考查图形变化的规律，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键；
（1）根据图中三角形面积之间的关系即可解决问题；
（2）利用数形结合的思想即可解决问题；
（3）利用数形结合的思想即可解决问题；
（4）根据（3）中的结论即可解决问题；
【详解】（1）由题知，
正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半，
所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等．
又因为部分①的面积为：12=121，
部分②的面积为：12×12=14=122，
部分③的面积为：12×12×12=18=123，
…，
依次类图，部分n的面积为12n．
当n=6时，
12n=126=164．
所以阴影部分的面积为164．
故答案为：164．
（2）由（1）知，
12+122+123+⋯+126+126=1，
所以12+14+18+⋯+126=1−126=6364．
故答案为：6364．
（3）根据（2）中的发现可知，
12+14+18+⋯+12n=1−12n．
故答案为：1−12n．
（4）由题知，
原式=23×1+13+132+133+⋯+132023．
令S=1+13+132+⋯+132023①，
则13S=13+132+133+⋯+132024②，
①-②得，
23s=1−132024，
即S=32−12×32023，
所以原式=23×32−12×32023
=1−132024．
故答案为：1−132024．
【变式5-2】（23-24七年级·湖南永州·期中）【阅读】求值1+2+22+23+24+…+210．
【运用】仿照此法计算：
解：设S=1+2+22+23+24+…+210①
将等式①的两边同时乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+211②
由②−①得：2S−S=211−1，
即：S=1+2=22+23+24+…+210=211−1，
(1)1+5+52+53+54+…+550；
(2)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2022．
完成下列问题：
①小正方形S2022的面积等于 ；
②求正方形S1、S2、S3、…、S2022的面积和．
【答案】(1)S=551−14；
(2)①142022；②131−142022．
【分析】（1）根据例题，原式乘以5，然后两式相减即可求解．
（2）①根据有理数乘方的意义，表示出S1、S2、S3、…，找到规律即可求解．
②根据（1）的方法，进行计算即可求解．
【详解】（1）设S=1+5+52+53+54+…+550①
①×5，得：5S=5+52+53+54+55+…+551②
②−①，得：4S=551−1
则S=551−14
（2）①∵S1=14,S2=14×14=142,S3=14×14×14=143，……，
∴S2022=142022，
故答案为：142022；
②S1+S2+S3+…+S2022= 14+142+143+…+142022①，
①×14得：14S=142+143+144+…+142023②，
①−②得：34S=14−142023，
∴S=43(14−142023)=13(1−142022)，
即S1+S2+S3+…+S2022=131−142022．
【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，理解例题的解法是解题的关键．
【变式5-3】（23-24七年级·山东青岛·期中）曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算15+152+153+⋯+15n(其中n是正整数，且n≥2，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算12+122+123+⋯+12n．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为12；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为12+12；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为12+122+123+⋯+12n，最后空白部分的面积是12n．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，15+152+153+⋯+15n=___________．
(3)拓广应用：计算5−15+52−152+53−153+⋯+5n−15n=___________．
【答案】探究三：14+142+143+⋯+14n = 13−13×4n图见见解析；
解决问题：图见解析；（1）18−18×5n；（2）18−18×5n；（3）n−18+18×5n
【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；
解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式85+852+853+⋯+85n=1−15n
(2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以(m−1)即可得解；
(3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．
【详解】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，
其中阴影部分的面积为34；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
阴影部分的面积之和为34+342；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
…，
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为：34+342+343+⋯+34n，
最后的空白部分的面积是14n，
根据第n次分割图可得等式：34+342+343+⋯+34n =1﹣ 14n，
两边同除以3，得14+142+143+⋯+14n = 13−13×4n；
解决问题：
（1）85+852+853+⋯+85n=1−15n =18−18×5n
故答案为：85+852+853+⋯+85n=18−18×5n
（2）15+152+153+⋯+15n= 18−18×5n，
故答案为：18−18×5n；
（3）拓广应用：5−15+52−152+53−153+⋯+5n−15n
=1−15+1−152+1−153+⋅⋅⋅+1−15n
=n−15+152+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+15n
=n−18−18×5n
=n−18+18×5n．
故答案为：n−18+18×5n．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键．
相关学案
苏科版（2024）七年级上册（2024）第2章 有理数导学案： 这是一份苏科版（2024）七年级上册（2024）<a href="/sx/tb_c4050025_t4/?tag_id=42" target="_blank">第2章 有理数导学案</a>，共43页。学案主要包含了苏科版2024，题型1 销售问题，题型2 生产问题，题型3 质量问题，题型4 走向问题，题型5 比赛问题，题型6 游客问题，题型7 票房问题等内容，欢迎下载使用。
苏科版（2024）七年级上册（2024）第2章 有理数学案设计： 这是一份苏科版（2024）七年级上册（2024）<a href="/sx/tb_c4050025_t4/?tag_id=42" target="_blank">第2章 有理数学案设计</a>，共34页。学案主要包含了苏科版2024，题型8 化简分数，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3等内容，欢迎下载使用。
苏科版（2024）七年级上册（2024）第2章 有理数导学案： 这是一份苏科版（2024）七年级上册（2024）<a href="/sx/tb_c4050025_t4/?tag_id=42" target="_blank">第2章 有理数导学案</a>，共24页。学案主要包含了苏科版2024，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1等内容，欢迎下载使用。
