人教B版（2019）高中数学必修第三册 第七章 三角函数 章末重点题型复习（原卷+解析卷）

这是一份人教B版（2019）高中数学必修第三册 第七章 三角函数 章末重点题型复习（原卷+解析卷），文件包含人教B版2019高中数学必修第三册第七章三角函数章末重点题型复习原卷docx、人教B版2019高中数学必修第三册第七章三角函数章末重点题型复习解析卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。

第七章：三角函数章末重点题型复习 题型一 任意角的概念【例1】（2024上·全国·高一专题练习）已知O为坐标原点，且射线OA的始边与x轴的非负半轴重合，若射线OA绕端点O逆时针旋转120∘到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270∘到达OC位置，则∠AOC=（    ）A．150∘ B．−150∘ C．390∘ D．−390∘【答案】B【分析】根据角的定义，即可求解.【详解】各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以120∘+−270∘=−150∘.故选：B【变式1-1】（多选）（2022上·甘肃兰州·高一校考期末）下列命题不正确的是（    ）A．终边相同的角都相等 B．钝角比第三象限角小C．互为相反的两个角关于x轴对称 D．锐角都是第一象限角【答案】AB【分析】根据任意角、终边相同的角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，0°和360°终边相同，但角不同，所以A选项错误.B选项，135°是钝角，−135°是第三象限角，所以B选项错误.C选项，α与−α关于x轴对称，所以C选项正确.D选项，锐角的范围是0°,90°，都是第一象限角，所以D选项正确.故选：AB【变式1-2】（2022上·新疆昌吉·高一校考期末）时针走过1小时30分钟，则分钟转过的角度是 .【答案】−540°【分析】由题意分针顺时针转过1圈半，结合任意角定义写出转过的角度.【详解】时针走过1小时30分钟，则分针顺时针转过1圈半，即转过360∘×−32=−540∘.故答案为：−540∘.【变式1-3】（2023·全国·高一课堂例题）下列所示图形中，γ=α+β的是 ；γ=α−β的是 ．  【答案】 ①④ ②③【分析】根据角的终边与始边的位置依次去判断即可.【详解】在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ=α+β；在②中，α与γ的始边相同，α的终边为−β的始边，−β与γ的终边相同，所以γ= γ=α+−β=α−β；在③中，α与γ的始边相同，α的终边为−β的始边，−β与γ的终边相同，所以γ=α+−β=α−β；在④中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ=α+β.∴γ=α+β的是①④；γ=α−β的是②③.故答案为：①④；②③.【变式1-4】(2023上·高一课时练习）如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC= ．【答案】−75°．【分析】由角的定义即可求解.【详解】由角的定义可得∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+(−120°)=−75°．故答案为：−75°题型二 终边相同的角【例2】（2023上·河北石家庄·高一河北师范大学附属中学校考阶段练习）若角α的终边在直线y=−x上，则角α的取值集合为（    ）A．α∣α=k⋅360°−45°,k∈Z B．α∣α=k⋅360°+135°,k∈ZC．α∣α=k⋅180°−135°,k∈Z D．α∣α=k⋅180°−45°,k∈Z【答案】D【分析】根据角α的终边在直线y=−x上，利用终边相同的角的写法，考虑角的终边的位置的两种情况，即可求出角α的集合.【详解】由题意知角α的终边在直线y=−x上，故α=k⋅360°−45°,k∈Z或α=k⋅360°+135°,k∈Z，即α=2k⋅180°−45°,k∈Z或α=(2k+1)⋅180°−45°,k∈Z，故角α的取值集合为α∣α=k⋅180°−45°,k∈Z，故选：D【变式2-1】 （2024上·内蒙古·高一校联考期末）若角α与角−2π5的终边相同，则α可能是（    ）A．12π5 B．−10π5 C．22π5 D．−22π5【答案】D【分析】根据α=−2π5+2kπ,k∈Z观察选项得答案.【详解】由已知α=−2π5+2kπ,k∈Z观察选项可得只有−22π5=−2π5−4π，所以α可能是−22π5.故选：D.【变式2-2】（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）下列各角中，与370∘角终边重合的是（    ）A．300∘ B．30∘ C．−300∘ D．10∘【答案】D【分析】利用终边相同的角的集合，即可求解.【详解】与370∘角终边重合的角的集合是αα=370∘+k⋅360∘,k∈Z，当k=−1时，α=10∘.故选：D【变式2-3】（2023上·福建泉州·高一福建省德化第一中学校联考阶段练习）若角2α与220∘角的终边相同，则α=（    ）A．110∘+k⋅360∘k∈Z B．110∘+k⋅180∘k∈ZC．220∘+k⋅360∘k∈Z D．220∘+k⋅180∘k∈Z【答案】B【分析】利用终边相同的角的特征即可得解.【详解】因为角2α与220∘角的终边相同，所以2α= 220∘+k⋅360∘k∈Z，则α= 110∘+k⋅180∘k∈Z.故选：B.【变式2-4】（2024上·全国·高一专题练习）（1）若角α的终边落在x轴上，则α的取值集合为 ．（2）若角α的终边落在y轴上，则α的取值集合为 ．（3）若角α的终边落在坐标轴上，则α的取值集合为 ．【答案】 α|α=k⋅180∘,k∈Z α|α=90∘+k⋅180∘,k∈Z α|α=k⋅90∘,k∈Z【分析】根据终边相同的角的集合，即可求解.【详解】（1）若角α的终边落在x轴上，则α的取值集合为α|α=k⋅180∘,k∈Z；（2）若角α的终边落在y轴上，则α的取值集合为α|α=90∘+k⋅180∘,k∈Z；（3）若角α的终边落在坐标轴上，则α的取值集合为α|α=k⋅90∘,k∈Z.故答案为：α|α=k⋅180∘,k∈Z；α|α=90∘+k⋅180∘,k∈Z；α|α=k⋅90∘,k∈Z题型三 确定n分角与n倍角的象限【例3】（多选）（2022下·江西新余·高一新余市第一中学校考开学考试）若α是第二象限角，则（    ）A．−α是第一象限角 B．α2是第一或第三象限角C．3π2+α是第二象限角 D．2α是第三象限角或2α是第四象限角或2α的终边在y轴负半轴上【答案】BD【分析】由已知可得π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z，然后逐个分析判断即可【详解】因为α是第二象限角，所以可得π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z．对于A，−π−2kπ<−α<−π2−2kπ,k∈Z，则−α是第三象限角，所以A错误;对于B，可得π4+kπ<α2<π2+kπ,k∈Z，当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．所以B正确;对于C，2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ,k∈Z，即2k+1π<3π2+α<π2+2k+1π,k∈Z，所以3π2+α是第一象限角，所以C错误;对于D，π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z，所以2α的终边位于第三象限或第四象限或y轴负半轴上，所以D正确．故选：BD．【变式3-1】（多选）（2022下·高一单元测试）已知α是第三象限角，则2α不可能是第几象限角（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】CD【分析】根据给定条件，由α的范围，求出2α的范围作答.【详解】因为α是第三象限角，则2kπ−π<α<2kπ−π2,k∈Z，于是4kπ−2π<2α<4kπ−π,k∈Z，显然2α终边在x轴上方，所以2α不可能是第三象限角，不可能是第四象限角.故选：CD【变式3-2】(多选) （2023下·河北承德·高一承德市双滦区实验中学校考开学考试）已知α是锐角，则（    ）A．180°+α是第三象限角 B．2α是小于180°的正角C．2α是第一或第二象限角 D．α2是锐角【答案】ABD【分析】根据锐角的范围，直接利用不等式的运算法则即可求解.【详解】由题知，因为α是锐角，所以0∘<α<90∘，对于A：所以180∘<180∘+α<270∘，故A选项正确；对于BC：0∘<2α<180∘，故B选项正确，C选项错误；对于D：0∘<α2<45∘，故D选项正确；故选：ABD.【变式3-3】（多选）（2023上·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）若角α是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（    ）A．−α B．π−α C．α−3π2 D．2α【答案】AC【分析】利用不等式表示象限角，根据象限角的定义逐项判断可得答案.【详解】因为角α是第二象限角，所以π2+2kπ<α<2kπ+π，k∈Z，对于A ，−π−2kπ<−α<−2kπ−π2，k∈Z，故−α是第三象限角，故A正确；对于B，−2kπ<π−α<−2kπ+π2，k∈Z，故π−α是第一象限角，故B不正确；对于C ，−π+2kπ<α−3π2<2kπ−π2，k∈Z，故α−3π2是第三象限角，故C正确；对于D，π+4kπ<2α<4kπ+2π,k∈Z,故2α是第三象限角或y轴负半轴上的角或第四象限角，故D不正确.故选：AC【变式3-4】（2023·全国·高一随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：(1)α2；(2)2α；(3)α3；(4)3α．【答案】(1)α2的终边在第二或第四象限(2)2α的终边在第三或第四象限，也可在y轴的负半轴上(3)α3的终边在第二､第三或第四象限(4)3α的终边在第二或三或第四象限，也可在x,y轴的负半轴上【分析】由α为第四象限角可知3π2+2kπ<α<2π+2kπ,k∈Z，根据不等式的性质可得α2，2α，α3，3α角终边所在区域，对k分类讨论可得角终边所在的位置.【详解】（1）由于α为第四象限角，所以3π2+2kπ<α<2π+2kπ,k∈Z，所以3π4+kπ<α2<π+kπ,k∈Z，当k=2n时，3π4+2nπ<α2<π+2nπ,n∈Z，终边在第二象限，当k=2n+1时，7π4+2nπ<α2<2π+2nπ,n∈Z，终边在第四象限，所以α2的终边在第二或第四象限；（2）由（1）得3π+4kπ<2α<4π+4kπ,k∈Z，所以2α的终边在第三或第四象限，也可在y轴的负半轴上.（3）由（1）得π2+k⋅2π3<α3<2π3+k⋅2π3,k∈Z，当k=3n时，π2+2nπ<α3<2π3+2nπ,n∈Z，终边在第二象限，当k=3n+1时，7π6+2nπ<α3<4π3+2nπ,n∈Z，终边在第三象限，当k=3n+2时，11π6+2nπ<α3<2π+2nπ,n∈Z，终边在第四象限，所以α3的终边在第二､第三或第四象限；（4）由（1）得9π2+6kπ<3α<6π+6kπ,k∈Z，即π2+4π+6kπ<3α<2π+4π+6kπ,k∈Z，所以3α的终边在第二或三或第四象限，也可在x,y轴的负半轴上.题型四 根据图形写范围【例4】（2024上·全国·高一专题练习）已知集合α|k⋅360°+45°≤α≤k⋅360°+90°,k∈Z，则图中表示角α的终边所在区域正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出临界位置的终边，结合选项即可得结果.【详解】当α=k⋅360°+45°，k∈Z时，角α的终边落在第一象限的角平分线上，当α=k⋅360°+90°，k∈Z时，角α的终边落在y轴的非负半轴上，按照逆时针旋转的方向确定范围可得角α的终边所在区域如选项B所示．故选：B．【变式4-1】（2023上·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考期中）（1）已知角α0<α<2π的终边与角−174π重合，则α= ．（2）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合是 ．  【答案】 74π 2kπ−π6,2kπ+3π4,k∈Z【分析】（1）利用相差2kπk∈Z角度的角的终边重合即可得出α的值；（2）根据图象即可得出角θ.【详解】（1）由题意，0<α<2π，−174π=74π−2π×3∴α=74π（2）由题意及图可知，2kπ−π6≤x≤2kπ+3π4k∈Z故答案为：7π4；2kπ−π6,2kπ+3π4,k∈Z.【变式4-2】（2023上·全国·高一专题练习）已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈ .【答案】{α|k⋅180°+30°<α0，cosα<0，则α3的终边在（    ）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【答案】D【分析】先通过条件确定α的范围，再求出α3的范围，进而可得角所在象限.【详解】因为sinα>0，cosα<0，所以α为第二象限角，即π2+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z，所以π6+2kπ3<α3<π3+2kπ3,k∈Z，则α3的终边所在象限为π6,π3,5π6,π,3π2,5π3所在象限，即α3的终边在第一、二、四象限.故选：D.【变式8-2】（2021下·上海松江·高一统考期末）若tanα<0，则（    ）A．sinα<0 B．cosα<0C．sin2α<0 D．cos2α<0【答案】C【分析】根据三角函数正负性的性质进行逐一判断即可.【详解】因为tanα<0，所以α在第二象限或第四象限.A：当α在第二象限时，sinα<0不成立；当α在第四象限时，sinα<0成立，故本选项不正确；B：当α在第二象限时，cosα<0成立；当α在第四象限时，cosα<0不成立，故本选项不正确；C：当α在第二象限时，即π2+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z)⇒π+4kπ<2α<2π+4kπ(k∈Z)，所以sin2α<0成立；当α在第四象限时，即3π2+2kπ<α<2π+2kπ(k∈Z)⇒3π+4kπ<2α<4π+4kπ(k∈Z)，所以sin2α<0成立，因此本选项正确；D：当α在第二象限时，即π2+2kπ<α<π+2kπ(k∈Z)⇒π+4kπ<2α<2π+4kπ(k∈Z)，所以cos2α<0不恒成立；当α在第四象限时，即3π2+2kπ<α<2π+2kπ(k∈Z)⇒3π+4kπ<2α<4π+4kπ(k∈Z)，所以cos2α<0不恒成立，因此本选项不正确，故选：C【变式8-3】（多选）（2024上·内蒙古包头·高一统考期末）设α是第三象限角，则下列函数值一定为负数的是（    ）A．sinα2 B．tanα2 C．cos2α D．−sin2α【答案】BD【分析】根据已知得出α的范围，进而得出α2以及2α的范围，即可得出α2以及2α终边所在的象限，进而得出答案.【详解】对于A、B，由已知可得，π+2kπ<α<3π2+2kπ,k∈Z，所以，π2+kπ<α2<3π4+kπ,k∈Z.当k为偶数时，设k=2n,n∈Z，则π2+2nπ<α2<3π4+2nπ,n∈Z，此时α2为第二象限角；当当k为奇数时，设k=2n+1,n∈Z，则3π2+2nπ<α2<7π4+2nπ,n∈Z，此时α2为第四象限角.综上所述，α2为第二或第四象限角.所以，不能确定sinα2的正负，tanα2<0.故A错误，B正确；对于C、D，由已知可得，π+2kπ<α<3π2+2kπ,k∈Z，所以，2k+1π<2α<π+2k+1π,k∈Z，所以，2α为第一或第二象限角或终边落在y轴非负半轴.所以，不能确定cos2α的正负，sin2α>0，−sin2α<0.故C错误，D正确.故选：BD.【变式8-4】（2024下·上海·高一假期作业）当α为第四象限时，|sinα|sinα−|cosα|cosα的值是 ．【答案】−2【分析】根据α为第四象限角得出sinα<0,cosα>0，计算即得.【详解】因为α为第四象限角，sinα<0,cosα>0，所以|sinα|sinα=−1,|cosα|cosα=1，则|sinα|sinα−|cosα|cosα=−1−1=−2；故答案为：−2.题型九 角的象限与点的象限问题【例9】（2024上·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）已知点Psinθ,tanθ是第二象限的点，则θ的终边位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据三角函数在各个象限的符号即可求解.【详解】由Psinθ,tanθ在第二象限的点，所以sinθ<0,tanθ>0，故θ的终边位于第三象限，故选：C【变式9-1】（2023上·河北保定·高一校联考期中）已知角α终边上有一点Psin2,cos2，则π−α是（    ）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】首先得出点P在第几象限，然后即可得出α,−α,π−α所在象限.【详解】∵sin2>0,cos2<0,∴角α是第四象限角，−α是第一象限角，π−α是第三象限角.故选：C.【变式9-2】（2023上·江苏南京·高一校联考阶段练习）已知点Ptanθ,sinθ是第二象限的点，则θ的终边位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】点P在第二象限，根据坐标特征得sinθ,tanθ的符号，即可得θ所在象限.【详解】因为点Ptanθ,sinθ在第二象限，所以sinθ>0，tanθ<0，所以θ为第二象限角.故选：B【变式9-3】（2023上·江苏徐州·高三统考学业考试）已知角α的终边位于第二象限，则点Pcosα,sinα位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】通过判断cosα,sinα的符号来确定P点所在象限.【详解】由于α的终边位于第二象限，所以cosα<0,sinα>0，所以Pcosα,sinα位于第二象限.故选：B【变式9-4】(多选)（2021·高一单元测试）若α是第四象限角，则点Pcosα2,tanα2在第（    ）象限.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】CD【分析】根据给定条件确定α2角的范围，再确定cosα2与tanα2符号，即可判断作答.【详解】因α是第四象限角，即2kπ−π2<α<2kπ,k∈Z，则kπ−π4<α20,tanα2<0，点P在第四象限，所以点P在第三或四象限.故选：CD题型十 sina、cosa、tana知一求二【例10】（2024上·全国·高一专题练习）若α∈0,π6且sin3α=13，则cos3α=（    ）A．−223 B．223C．−13 D．23【答案】B【分析】根据条件得出cos3α>0，再利用平方关系即可求出结果.【详解】因为α∈0，π6，所以3α∈0，π2，故cos3α>0，又sin3α=13，所以cos3α=1−sin23α=1−(13)2=223，故选：B.【变式10-1】（2023上·云南昆明·高一昆明一中校考阶段练习）已知角α的终边在直线y=x上，则sinα=（    ）A．±22 B．±1 C．22 D．1【答案】A【分析】根据角α的终边在直线y=x上，可得tanα=1，即可求解.【详解】由题意得角α的终边在直线y=x上，所以tanα=1，又因为tanα=sinαcosα=1，且sin2α+cos2α=1，所以sina=±22，故A项正确.故选：A.【变式10-2】（2022上·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若α∈0,π，2sinα+cosα=25，则tanα=（    ）A．−35 B．−45 C．−34 D．−14【答案】C【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可构造方程求得sinα，进而得到cosα，由同角三角函数商数关系可求得结果.【详解】由2sinα+cosα=25得：cosα=25−2sinα，∴sin2α+cos2α=sin2α+25−2sinα2=5sin2α−85sinα+425=1，解得：sinα=35或sinα=−725，又α∈0,π，∴sinα>0，即sinα=35，∴cosα=25−65=−45，∴tanα=sinαcosα=35−45=−34.故选：C.【变式10-3】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）已知tanα=3，α为第三象限角，则cosα−sinα的值为 .【答案】3−12【分析】根据题意，由同角三角函数的关系分别求得cosα,sinα，即可得到结果.【详解】由题意可得，sinαcosα=3sin2α+cos2α=1，即4cos2α=1，且α为第三象限角，则cosα=−12，sinα=−32，所以cosα−sinα=3−12.故答案为：3−12.【变式10-4】（2024上·江苏盐城·高一统考期末）若sinα=m+1m+2，cosα=mm+2，则tanα= ．【答案】0或43【分析】根据sin2α+cos2α=1，代入整理求解得出m的值，进而得出sinα,cosα的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，sin2α+cos2α=1，所以，m+1m+22+mm+22=2m2+2m+1m2+4m+4=1，整理可得，m2−2m−3=0，解得m=−1或m=3.当m=−1时，sinα=0，cosα=−1，tanα=sinαcosα=0；当m=3时，sinα=45，cosα=35，tanα=sinαcosα=43.综上所述，tanα=0或tanα=43.故答案为：0或43.题型十一 正余弦齐次式的应用【例11】（山西省晋中市2023-2024学年高一上学期期末调研数学试题）已知tanα=−2，则2sinα+cosα2cosα−sinα=（   ）A．−34 B．34 C．−43 D．43【答案】A【分析】利用齐次化运算求解.【详解】2sinα+cosα2cosα−sinα=2tanα+12−tanα=−34.故选：A【变式11-1】（2023上·江苏南京·高一期末）已知sinα+2cosα=102，则sinαcosαcos2α−sin2α=（   ）A．−3 B．−13 C．−38 D．38【答案】C【分析】首先由同角三角函数的基本关系式求得tanα=3或tanα=−13，再将sinαcosαcos2α−sin2α化为tanα1−tan2α，代入tanα的值即可得答案.【详解】因为sinα+2cosα=102，所以sin2α+4sinαcosα+4cos2α=52，则sin2α+4sinαcosα+4cos2αsin2α+cos2α=52，所以tan2α+4tanα+4tan2α+1=52，即3tan2α−8tanα−3=0，解得tanα=3或tanα=−13.又sinαcosαcos2α−sin2α=tanα1−tan2α，将tanα=3或tanα=−13代入，均得到tanα1−tan2α=−38.故选：C.【变式11-2】（2024上·天津·高一校联考期末）若角α的终边经过点1,−1，则sinα+3cosα6cosα−2sinα的值为（    ）A．54 B．1 C．14 D．−32【答案】C【分析】根据终边经过点的坐标可得正切值，利用齐次式可得答案.【详解】因为角α的终边经过点1,−1，所以tanα=−1；sinα+3cosα6cosα−2sinα=tanα+36−2tanα=28=14.故选：C.【变式11-3】（2024上·陕西西安·高一统考期末）已知α是第二象限角，且sinα=513.(1)求tanα的值；(2)求sinα+π+2cosα−πsinα+π2+cosα+3π2的值.【答案】(1)−512(2)−197.【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解即可；（2）根据诱导公式和同角三角函数的基本关系求解即可.【详解】（1）因为sin2α+cos2α=1，所以cos2α=1−sin2α，因为sinα=513，所以cosα=±1213，因为α是第二象限角，所以cosα=−1213，则tanα=sinαcosα=−512.（2）sinα+π+2cosα−πsinα+π2+cosα+3π2=−sinα−2cosαcosα+sinα=−tanα−2tanα+1=512−2−512+1=−197.【变式11-4】（2023上·河南开封·高一河南省杞县高中校联考期中）已知函数f(x)=1+sinx1−sinx−1−sinx1+sinx，其中α为第三象限角且fα=−23(1)求2sinα−3cosα3sinα+2cosα的值；(2)求cos4α+2cosαsinα−sin4α2cos2α+1的值.【答案】(1)−79(2)12【分析】（1）化简fx=2sinxcosx，根据α为第三象限角得到tanα=13，化简原式为2tanα−33tanα+2，计算得到答案.（2）根据同角三角函数关系化简原式为1−tan2α+2tanα3+tan2α，代入数据计算得到答案.【详解】（1）f(x)=1+sinx1−sinx−1−sinx1+sinx=(1+sinx)2(1+sinx)(1−sinx)−(1−sinx)2(1+sinx)(1−sinx)=1+sinxcosx−1−sinxcosx=2sinxcosx，α为第三象限角，故fx=−2tanx，fα=−23，故tanα=13，2sinα−3cosα3sinα+2cosα=2tanα−33tanα+2=2×13−33×13+2=−79.（2）cos4α+2cosαsinα−sin4α2cos2α+1=cos2α−sin2αcos2α+sin2α+2cosαsinα2cos2α+1=cos2α−sin2α+2cosαsinα3cos2α+sin2α=1−tan2α+2tanα3+tan2α=12.题型十二 sina±cosa、sina·cosa知一求二【例12】（多选）（2023上·江苏·高一期末）已知sinθ+cosθ=15，θ∈0,π，则下列等式正确的是（    ）A．sinθcosθ=−1225 B．sinθ−cosθ=−75C．tanθ=−34 D．sin3θ+cos3θ=37125【答案】AD【分析】把sinθ+cosθ=15两边平方，可得sinθcosθ的值，即可判断A；把sinθ−cosθ平方后，结合题中条件即可求得sinθ−cosθ的值，判断B;结合所得结论可求得sinθ，cosθ的值，即可求得tanθ的值，判断选项C及D.【详解】因为θ∈0,π，则sinθ>0．对于A选项，sinθ+cosθ2=1+2sinθcosθ=125，可得sinθcosθ=−1225，A正确；对于B选项，由A选项可知，cosθ<0，则sinθ−cosθ>0，所以，sinθ−cosθ2=1−2sinθcosθ=4925，则sinθ−cosθ=75，B错误；对于C选项，sinθ+cosθ=15sinθ−cosθ=75，可得sinθ=45cosθ=−35，则tanθ=sinθcosθ=−43，C错误；对于D选项，sin3θ+cos3θ=453+−353=37125，D正确．故选：AD．【变式12-1】（2024上·广东佛山·高一统考期末）已知sinθ,cosθ是方程5x2−x+m=0的两个实数根．(1)求m的值：(2)若θ为第二象限角，求sinθ−cosθ的值．【答案】(1)−125(2)75【分析】（1）根据题意可确定m的范围，再结合根与系数的关系以及同角的三角函数关系，即可求得答案；（2）根据角θ所在象限，确定sinθ−cosθ的正负，平方后结合同角的三角函数关系，化简求值，即可求得答案.【详解】（1）由题意知sinθ,cosθ是方程5x2−x+m=0的两个实数根，故Δ=1−20m≥0,∴m≤120；且sinθ+cosθ=15,sinθcosθ=m5，因为sinθ+cosθ2−2sinθcosθ=1，故125−2m5=1，解得m=−125，满足m≤120，故m=−125；（2）因为θ为第二象限角，所以sinθ>0.cosθ<0，则sinθ−cosθ>0，由（1）知sinθcosθ=m5=−1225，所以sinθ−cosθ2=1−2sinθcosθ=1+2425=4925，则sinθ−cosθ=75.【变式12-2】（2024上·四川凉山·高一统考期末）已知sinα−cosα=15，α∈0,π，求：(1)求sinαcosα的值；(2)求tanα的值．【答案】(1)1225(2)43【分析】（1）根据同角平方和关系即可求解。（2）根据同角关系即可求解.【详解】（1）由sinα−cosα=15可得sinα−cosα2=125⇒1−2sinαcosα=125⇒sinαcosα=1225，（2）由sinαcosα=1225>0和α∈0,π可得sinα>0,cosα>0，故α∈0,π2故sinα+cosα2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=4925⇒sinα+cosα=75因此sinα=45,cosα=35故tanα=43【变式12-3】（2024·江苏·高一假期作业）已知关于x的方程2x2+3−1x+m=0的两个根为sinθ和cosθ，θ∈0,π2(1)求sinθ1−1tanθ+cosθ1−tanθ的值；(2)求m的值.【答案】(1)1−32(2)m=−32【分析】（1）结合韦达定理化弦为切化简求值即可；（2）结合韦达定理，根据sinθ+cosθ2=1+2sinθcosθ列式计算即可，注意检验满足有根的条件.【详解】（1）因为sinθ，cosθ是方程2x2+3−1x+m=0的两个实根，所以sinθ+cosθ=1−32，sinθcosθ=m2，所以sinθ1−1tanθ+cosθ1−tanθ=sinθ1−cosθsinθ+cosθ1−sinθcosθ=sin2θsinθ−cosθ+cos2θcosθ−sinθ=sin2θ−cos2θsinθ−cosθ =sinθ+cosθ=1−32.（2）因为sinθ+cosθ=1−32，sinθcosθ=m2，所以sinθ+cosθ2=1−322=1+2sinθcosθ=1+m=1−32，所以m=−32，因为Δ=3−12−8m≥0，所以m≤3−128，所以m=−32符合Δ≥0，所以m=−32.【变式12-4】（2024上·甘肃兰州·高一西北师大附中校考期末）回答下列两题(1)已知sinθ+cosθ3cosθ−sinθ=3，求tanθ的值；(2)若θ∈0,π，且sinθ+cosθ=15，求tanθ的值．【答案】(1)2(2)−43【分析】（1）将原式变形，根据tanθ=sinθcosθ，即可求解；（2）首先将条件等式两边平方求2sinθcosθ，再根据sinθcosθ和sinθ−cosθ2的关系，即可求解.【详解】（1）sinθ+cosθ3cosθ−sinθ=3，则sinθ+cosθ=9cosθ−3sinθ，即4sinθ=8cosθ，所以tanθ=sinθcosθ=2；（2）sinθ+cosθ=15，两边平方得1+2sinθcosθ=125，所以2sinθcosθ=−2425<0，又θ∈0,π，则sinθ>0,cosθ<0，所以sinθ−cosθ>0，因为sinθ−cosθ2=1−2sinθcosθ=1+2425=4925，所以sinθ−cosθ=75，联立sinθ−cosθ=75sinθ+cosθ=15，得sinθ=45，cosθ=−35，所以tanθ=−43题型十三 诱导公式化简求值【例13】（2024上·广东深圳·高一统考期末）下列所给的等式中正确的为（    ）A．2π3=135∘ B．tanπ6=3C．sin3π4=22 D．cos−π3=−12【答案】C【分析】根据弧度制与角度值的换算公式易得A项错误；根据三角诱导公式可判断D项错误，B项显然错误.【详解】对于选项A，因2π3=120∘，故A项错误；对于选项B，因tanπ6=33，故B项错误；对于选项C，sin3π4=22，故C正确；对于选项D，因cos−π3=cosπ3=12，故D项错误.故选：C.【变式13-1】（2024上·四川内江·高一统考期末）单位圆上一点P0,1绕坐标原点O逆时针方向转动2023π3后，到达Q点，则点Q的坐标为（    ）A．−32,12 B．−32,−12C．−12,−32 D．−12,32【答案】A【分析】先用三角函数表示点P坐标，然后通过旋转可求出点Q坐标，利用诱导公式计算即可.【详解】单位圆上一点P0,1，即Pcosπ2,sinπ2，其绕坐标原点O逆时针方向转动2023π3后，到达Q点，则Qcosπ2+2023π3,sinπ2+2023π3，又cosπ2+2023π3=cosπ2+674π+π3=cosπ2+π3=−sinπ3=−32，sinπ2+2023π3=sinπ2+674π+π3=sinπ2+π3=cosπ3=12，所以Q−32,12.故选：A.【变式13-2】（2024上·四川南充·高一统考期末）已知P1,3为角α终边上一点，则2sinπ−α+cosπ+αsin2π+α+2cos−α=（　　）A．−17 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】应用诱导公式及由弦化切化简目标式为2tanα−1tanα+2，结合三角函数的定义求得tanα=3，即可求值.【详解】由2sinπ−α+cosπ+αsin2π+α+2cos−α=2sinα−cosαsinα+2cosα=2tanα−1tanα+2，又tanα=3，所以2tanα−1tanα+2=2×3−13+2=1.故选：B【变式13-3】（多选）（2023上·新疆·高一校联考期末）已知P(m,2m)(m≠0)是角α终边上一点，则sin(α−π)sinα+π2= .【答案】−2【分析】根据题意，利用三角函数的定义，求得tanα=2，结合三角函数的诱导公式和基本关系式，即可求解.【详解】因为P(m,2m)是角α终边上一点，根据三角函数的定义，可得tanα=2mm=2，则sin(α−π)sinα+π2=−sinαcosα=−tanα=−2.故答案为：−2.【变式13-4】（2024上·内蒙古赤峰·高一统考期末）已知角a的终边经过点P(m,2m)(m≠0)．(1)求tanα的值；(2)求sin(−α)−sinα−π2cos(π−α)+cos3π2−α的值．【答案】(1)2(2)13【分析】（1）根据三角函数定义求出正切值；（2）先利用诱导公式化简，并化弦为切，代入tanα=2，得到答案.【详解】（1）根据三角函数的定义，可得tanα=2mm=2．（2）由（1）知，tanα=2，sin(−α)−sinα−π2cos(π−α)+cos3π2−α =−sinα+cosα−cosα−sinα =−tanα+1−1−tanα =−2+1−1−2=13．题型十四 已知角求角【例14】（2024上·江苏镇江·高一统考期末）已知cosα+π3=−513，α∈0,π2，则cosπ6−α的值为（    ）A．−1213 B．−512 C．513 D．1213【答案】D【分析】判断α+π3∈π3,5π6，根据同角的三角函数关系求得sinα+π3的值，再根据诱导公式，即可求得答案.【详解】因为α∈0,π2，故α+π3∈π3,5π6，则由cosα+π3=−513，可得sinα+π3=1−(−513)2=1213，故cosπ6−α=cosπ2−α+π3=sinα+π3=1213，故选：D【变式14-1】（2023上·陕西西安·高一西安中学校考阶段练习）已知sinπ4−α=35,0<α<π2，则sin5π4−α−sin5π4+α的值为（    ）A．15 B．75 C．0 D．−15【答案】A【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得cosπ4−α=45，再结合三角函数的诱导公式，化简得到sin5π4−α−sin5π4+α==−sinπ4−α+cosπ4−α，即可求解.【详解】由sinπ4−α=35,0<α<π2，可得cosπ4−α=1−sin2π4−α=45，又由sin5π4−α−sin5π4+α=sinπ+π4−α−sin3π2−π4−α=−sinπ4−α+cosπ4−α=−35+45=15.故选：A.【变式14-2】（2024上·湖北荆州·高一校联考期末）已知 cosπ3−θ=45，则 sin2π3+θ= 【答案】±35【分析】利用同角三角函数的关系处理即可.【详解】令t=π3−θ，则θ=π3−t,cost=45，sinπ3−θ=sint=±1−cos2t=±35．∴sin2π3+θ=sin2π3+π3−t=sinπ−t=sint=±35．故答案为：±35【变式14-3】（2024上·广东佛山·高一统考期末）已如cosθ+π3=35．则sinπ6−θ= ．【答案】35/0.6【分析】根据三角函数的诱导公式，即可求得答案.【详解】由题意知cosθ+π3=35，则sinπ6−θ=sinπ2−θ+π3=cos(θ+π3)=35，故答案为：35【变式14-4】（2024·福建厦门·统考一模）若sinα+π4=−35，则cosα−π4= ．【答案】−35/−0.6【分析】应用诱导公式有cosα−π4=cos[(α+π4)−π2]=sin(α+π4)，即可求值.【详解】cosα−π4=cos[(α+π4)−π2]=sin(α+π4)=−35.故答案为：−35题型十五 三角函数的周期性【例15】（2023下·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）下列函数π2以为周期的是（    ）A．fx=sin2x B．fx=tan2x C．fx=cosx D．fx=cos12x【答案】B【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性即可判断.【详解】对A，T=2π2=π，故A错误；对B，T=π2，故B正确；对C，T=2π2=π，故C错误；对D，T=2π12=4π，故D错误.故选：B.【变式15-1】（2023上·高一课时练习）函数y=sinx+π2是（　　）A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数【答案】D【分析】化简后根据余弦函数的性质判断【详解】因为y=sinx+π2=cosx所以该函数是周期为2π的偶函数．故选：D【变式15-2】（2023上·高一课时练习）若函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(−1)=3，则f(2)= .【答案】3【分析】根据函数的周期性结合已知直接求解即可【详解】因为函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(−1)=3，所以f(2)=f(2−3)=f(−1)=3，故答案为：3【变式15-3】（2023上·高一课时练习）余弦函数y=cosxx∈R的周期为 ，最小正周期为 .余弦型函数y=cosωx+φ(ω>0)的最小正周期为 .【答案】 2kπk∈Z,k≠0 2π 2πω【分析】根据余弦函数、余弦型函数的周期性可得结果.【详解】余弦函数y=cosxx∈R的周期为2kπk∈Z,k≠0，最小正周期为2π，函数y=cosωx+φ(ω>0)的最小正周期为2πω.故答案为：2kπk∈Z,k≠0；2π；2πω.【变式15-4】（2022下·辽宁葫芦岛·高一统考期末）函数fx=sinωx+π6（ω>0）的周期为π，则ω的值为 ；fx的单调递减区间为 ．【答案】 2 kπ+π6,kπ+2π3,k∈Z【分析】直接根据T=2πω即可得ω的值，利用正弦型函数的单调性即可得结果.【详解】因为函数fx=sinωx+π6（ω>0）的周期为π，所以T=2πω=π，解得ω=2，所以fx=sin2x+π6，由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z，解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z，即fx的单调递减区间为kπ+π6,kπ+2π3,k∈Z，故答案为：2，kπ+π6,kπ+2π3,k∈Z.题型十六 三角函数的奇偶性对称性【例16】（2024上·江苏镇江·高一统考期末）将函数fx=2sinx−π3的图象向右平移φ0≤φ≤π2个单位得到函数gx的图象，若函数gx为偶函数，则φ=（    ）A．π6 B．π4 C．π3 D．π2【答案】A【分析】由题意得gx=2cos−x+φ+5π6是偶函数，则φ+5π6=kπ,k∈Z结合0≤φ≤π2即可得解.【详解】由题意gx=fx−φ=2sinx−φ−π3=2cosπ2−x−φ−π3=2cos−x+φ+5π6是偶函数，所以φ+5π6=kπ,k∈Z，解得φ=kπ−5π6,k∈Z，又0≤φ≤π2，所以k=1,φ=π6.故选：A.【变式16-1】（2024上·天津·高一统考期末）将函数y=3sin2x+π4+1的图象向左平移π3后得到函数y=gx的图象，则gx的图象的一个对称中心为（    ）A．11π24,0 B．11π24,1 C．13π24,0 D．13π24,1【答案】D【分析】先利用三角函数图象变换规律求出平移后的解析式gx=3sin2x+11π12+1，再令2x+11π12=kπ,k∈Z可求出对称中心的横坐标，从而可求得答案.【详解】将函数y=3sin2x+π4+1的图象向左平移π3后得到函数y=gx=3sin2x+π3+π4+1=3sin2x+11π12+1.令2x+11π12=kπ,k∈Z，则x=−11π24+kπ2,k∈Z，所以所得图象的对称中心为−11π24+kπ2,1k∈Z，当k=2时，一个对称中心为13π24,1.故选：D【变式16-2】（2024上·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期末）已知函数f(x)=2cos2x−π6+θ(0<θ<π)为奇函数，则θ= .【答案】2π3/23π【分析】利用奇函数的性质建立方程，直接求解即可.【详解】因为函数f(x)=2cos2x−π6+θ(0<θ<π)为奇函数，所以f0=2cos−π6+θ=0，所以−π6+θ=π2+kπ,k∈Z，所以θ=2π3+kπ,k∈Z，又0<θ<π，所以k=0时，θ=2π3.故答案为：2π3【变式16-3】（2023上·吉林·高一校联考期末）若函数fx=2sinωx+π3 ω>0的图象恰有2条对称轴和1个对称中心在区间0,π12内，则ω的取值范围是 .【答案】14,20【分析】先根据已知求出π3≤ωx+π3≤π12ω+π3，然后根据已知结合正弦函数的图象与性质，列出不等式，求解即可得出答案.【详解】由已知0≤x≤π12，所以π3≤ωx+π3≤π12ω+π3.根据已知结合正弦函数的图象与性质可得，应满足3π2≤ωπ12+π3<2π，解得14≤ω<20.故答案为：14,20.【变式16-4】（2023·广东佛山·统考一模）已知函数fx=sinωx+φ在区间π6,2π3上单调，其中ω为正整数，φ<π2，且fπ3=−fπ2.(1)求y=fx图象的一个对称中心；(2)若fπ4=32，求φ.【答案】(1)5π12,0(2)π6【分析】（1）根据单调区间，以及fπ3=−fπ2可得fπ3+π22=0，进而可得对称中心；（2）先根据单调区间求出ω的可能取值，然后根据fπ4=32得到ω和φ的关系，根据关系以及ω的可能取值对照验证计算即可.【详解】（1）因为fx在区间π6,2π3上单调，且fπ3=−fπ2，π3∈π6,2π3，π2∈π6,2π3，所以fπ3+π22=f5π12=0，所以y=fx图像的一个对称中心是5π12,0；（2）由题设，fx的最小正周期T≥2×2π3−π6=π，π2−π3=π6<π2，故ω=2πT≤2，由ω∈N∗，得ω=1,2，由5π12,0为f(x)=sinωx+φ的一个对称中心，所以5π12ω+φ=k1π，k1∈Z①.因为fπ4=32，所以π4ω+φ=π3+2k2π或π4ω+φ=2π3+2k3π，k2，k3∈Z.若π4ω+φ=π3+2k2π②，①-②得π6ω=−π3+k1−2k2π，即ω=−2+6k1−2k2.不存在整数k1，k2，使得ω=1,2.若π4ω+φ=2π3+2k3π③，①-③得π6ω=−2π3+k1−2k3π，即ω=−4+6k1−2k3，不存在整数k1，k3，使得ω=1，当k1=2k3+1时，ω=2.此时φ=2π3−π2+2k3π=π6+2k3π，由φ<π2，得φ=π6.题型十七 三角函数的定义域【例17】（2024上·全国·高一专题练习）函数fx=lg3−xx+1cosx定义域为（    ）A．0,3 B．−∞,π2∪π2,3C．0,π2∪π2,3 D．−∞,0∪3,+∞【答案】C【分析】由对数函数定义域及分式函数定义域可得结果.【详解】依题意有3−xx>0cosx≠0，即00，即tanx>−1，故x∈−π4+kπ,π2+kπ，k∈Z.故答案为：−π4+kπ,π2+kπ，k∈Z【变式17-4】（2024上·广东江门·高一统考期末）已知函数fx=12x−1+12⋅sinx.(1)求fx的定义域；(2)解不等式fx>0；(3)求fx在区间 [−2024,2024]上零点的个数.【答案】(1)−∞,0∪0,+∞(2)x2kπ0即2x−1>0sinx>0或2x−1<0sinx<0，解不等式即可得出答案；（3）令fx=0，因为1+2x22x−1≠0，所以sinx=0，则x=nπ,n∈Z，令−2024≤nπ≤2024，求出n，即可得出答案.【详解】（1）由2x−1≠0，解得：x≠0，所以fx的定义域为−∞,0∪0,+∞..（2）令fx>0，则12x−1+12⋅sinx >0，即fx=12x−1+12sinx=1+2x22x−1⋅sinx>0，因为1+2x>0，即2x−1>0sinx>0或2x−1<0sinx<0，则：x>02kπ0.若fx在区间π3,3π4上单调递增，则ω的取值范围是（    ）A．0,13 B．34,53 C．0,53 D．0,1【答案】A【分析】利用余弦函数的单调性求出fx=2cosωx−π4单调递增区间，可得−34π+2kπω≤π3,π4+2kπω≥3π4,，解不等式即可得出答案.【详解】由题意得，函数fx的增区间为−π+2kπ≤ωx−π4≤2kπk∈Z，且ω>0，解得−34π+2kπω≤x≤π4+2kπωk∈Z.由题意可知：π3,3π4⊆−34π+2kπω,π4+2kπωk∈Z.于是−34π+2kπω≤π3π4+2kπω≥3π4，解得−94+6k≤ω≤13+83kk∈Z.又ω>0，于是0<ω≤13.故选：A.【变式18-1】（2024上·陕西西安·高一统考期末）已知函数f(x)=Asinx,0≤x≤π22xπ−A,x>π2,在0，+∞上单调递增，则A的取值范围是 .【答案】(0,12]【分析】根据分段函数分段考虑的原则，要使函数为增函数，必须每一段都为增函数，且自变量分段点左侧函数值应不大于该点右侧函数值，综合考虑即得.【详解】由0≤x≤π2时，f(x)=Asinx单调递增，可得A>0①，由x>π2时，f(x)=2xπ−A显然单调递增，要使函数在0，+∞上单调递增，需使A≤1−A②，由①②可得：00.(1)若fx1=1，fx2=−1，且x1−x2min=π2，求函数fx的单调增区间；(2)若fx的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y轴对称，当ω取最小值时，方程fx=m在区间π6,π2上有解，求实数m的取值范围.【答案】(1)−π3+kπ,π6+kπ，k∈Z（闭区间也正确）(2)32,1【分析】（1）根据fx1=1，fx2=−1，且x1−x2min=π2，结合周期公式求出函数fx的解析式，再求单调增区间即可；（2）根据平移变换法则以及函数的对称性求出函数解析式，再求ω的最小值，结合正弦函数的性质可求实数m的取值范围.【详解】（1）T2=12×2πω=π2，则ω=2，所以fx=sin2x+π6；由−π2+2kπ<2x+π6<π2+2kπ，k∈Z，解得−π3+kπ0，所以ωmin=1；x∈π6,π2，得x+π6∈π3,2π3，fx∈32,1，所以m的取值范围为32,1.【变式18-4】（2024上·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知fx=acos2x−π3+b（a,b为常数，a,b∈R），的定义域为0,π2，值域为12,5.(1)求a,b值；(2)若fx在0,π6上递增，设gx=asinbx−π4,x∈R，画出函数gx在一个周期上图象，并写出单调区间.【答案】(1)a=3b=2或a=−3b=72(2)图象见解析，单调增区间为kπ−π8,kπ+3π8,k∈Z ；减区间为kπ+3π8,kπ+7π8,k∈Z【分析】（1）根据自变量范围得到cos2x−π3∈−12,1，根据a>0和a<0分类讨论即可得到答案；（2）根据题意得到a=3,b=2，得到gx=3sin2x−π4，结合三角函数图象相关知识作图并求解单调区间即可.【详解】（1）由0≤x≤π2，得−π3≤2x−π3≤2π3，所以cos2x−π3∈−12,1，当a≠0时，函数为常函数显然不符合题意； 当a>0时，fmaxx=a+bfminx=−12a+b ，即a+b=5−12a+b=12，得a=3b=2，符合题意；当a<0时，fmaxx=−12a+bfminx=a+b，即−12a+b=5a+b=12，得a=−3b=72，符合题意.综合所述，a=3b=2或a=−3b=72（2）由0≤x≤π6，得−π3≤2x−π3≤0，由fx在0,π6上递增，则a>0，则a=3,b=2，所以gx=3sin2x−π4，列表如下：五点法作出gx一个周期图象如图，令−π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ，解得−π8+kπ≤x≤3π8+kπ,k∈Z，令π2+2kπ≤2x−π4≤3π2+2kπ，解得3π8+kπ≤x≤7π8+kπ,k∈Z，所以gx单调增区间为kπ−π8,kπ+3π8,k∈Z ；减区间为kπ+3π8,kπ+7π8,k∈Z题型十九 三角函数的值域【例19】（2024上·重庆九龙坡·高一统考期末）函数fx=sin2x+22cosx的值域是（    ）A．−22,3 B．−22,22C．0,3 D．0,22【答案】B【分析】由同角三角函数基本关系及二次函数的性质即可得.【详解】因为fx=sin2x+22cosx=1−cos2x+22cosx=−cosx−22+3，由cosx∈−1,1，故−−1−22+3≤fx≤−1−22+3，即fx∈−22,22.故选：B.【变式19-1】（多选）（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知函数fx=cos2x+4cosx，则下列说法正确的是（    ）A．fx的最小正周期为π B．fx为偶函数C．fx的图象关于π,1对称 D．fx的值域为−∞,−3∪5,+∞【答案】BD【分析】通过fx+π与fx的关系即可判断A项;通过f−x与fx的关系即可判断B项;通过化简fx+f2π−x与2的关系即可判断C项，利用均值不等式及函数的单调性,即可得出值域,从而判断D项.【详解】对于A,∵fx+π=cos2x+π+4cosx+π=cos2x−4cosx≠fx,故A错误;对于B,由cosx≠0,得x≠kπ+π2k∈Z,∴fx的定义域为xx≠kπ+π2,k∈Z,且f−x=cos2−x+4cos−x=cos2x+4cosx=fx,∴fx是偶函数,故B正确;对于C, ∵fx+f2π−x=cos2x+4cosx+cos22π−x+4cos2π−x=2fx,不是定值,故C错误；对于D, fx=cos2x+4cosx=2cos2x+4cosx−1,当cosx∈0,1, 2cos2x+4cosx−1=2cos2x+2cosx+2cosx−1≥332cos2x⋅2cosx⋅2cosx−1=5，当且仅当2cos2x=2cosx，即cosx=1时，等号成立；令t=cosx∈−1,0，则gt=2t2+4t−1,t∈−1,0，由y=2t2,y=4t在t∈−1,0时均单调递减，所以gt单调递减，又g−1=2−4−1=−3，所以gt≤−3；即fx的值域为−∞,−3∪5,+∞,故D正确.故选:BD.【变式19-2】（2024上·四川达州·高一统考期末）已知函数fx=sin2x−π3.(1)当x∈0,π时，求fx的单调递减区间；(2)函数gx=fx+π6+4fx+π6+2，求gx的值域.【答案】(1)5π12,11π12(2)2,3【分析】（1）根据正弦函数的单调性求解即可；（2）根据正弦函数的值域结合双勾函数的性质即可得解.【详解】（1）令π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ，得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ,k∈Z，又x∈0,π，所以fx的单调递减区间为5π12,11π12；（2）令t=fx+π6+2=sin2x+2，则t∈1,3，gx=fx+π6+4fx+π6+2=fx+π6+2+4fx+π6+2−2，则y=t+4t−2，由双勾函数得单调性可知，函数y=t+4t−2在1,2上单调递减，在2,3上单调递增，所以ymin=2+42−2=2，又1+41−2=3,3+43−2=73，所以ymax=3，所以函数gx的值域为2,3.【变式19-3】（2024上·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考期末）已知fx=2sin2x+π6−1.(1)求函数fx的单调递增区间；(2)若x∈−π4,π3，求函数fx的值域.【答案】(1)[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z(2)[−3−1,1]【分析】（1）根据正弦函数的单调区间，采用整体代换方法，即可求得答案；（2）根据x∈−π4,π3，确定2x+π6∈−π3,5π6，由正弦函数的性质求得答案.【详解】（1）令u=2x+π6，则fu=2sinu−1，函数u在R上为增函数，函数fu=2sinu−1在u∈−π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z上为增函数；即−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，所以函数fx的单调递增区间[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z.（2）当x∈−π4,π3时，2x+π6∈−π3,5π6，则sin2x+π6∈−32,1，故fx=2sin2x+π6−1在x∈−π4,π3时的值域为[−3−1,1].【变式19-4】（2023上·福建厦门·高一厦门市松柏中学校考阶段练习）已知fx=2sin2x−π6.(1)求fx的最小正周期及单调增区间；(2)当x∈0,π2时，求函数y=fx的最大值和最小值并求相应的x值.【答案】(1)T=π，kπ−π6,kπ+π3,(k∈Z)(2)当x=π3时， fx的最大值为2，当x=0时， fx的最小值为−1【分析】（1）根据周期公式即可求解周期，根据整体法即可求解单调区间，（2）利用整体法求解范围，进而可求解最值.【详解】（1）由题意，可知：最小正周期T=2π2=π，由正弦函数的性质，可知：函数f(x)的单调增区间为2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，(k∈Z)，化简，得kπ−π6≤x≤kπ+π3，(k∈Z)，函数f(x)的单调增区间为kπ−π6,kπ+π3,(k∈Z)．（2）当x∈0,π2时，2x−π6∈[−π6,5π6]，sin(2x−π6)∈[−12,1]，当2x−π6=π2时，即x=π3时，sin(2x−π6)取最大值为1，故fx的最大值为2，当2x−π6=−π6时，即x=0时，sin(2x−π6)取最小值为−12，故fx的最小值为−1.题型二十 三角函数的图象变换【例20】（2024上·江苏淮安·高一统考期末）为了得到函数y=3sin(2x+2π3)的图象，只要把函数y=3sin(2x+π6)图象上所有的点（    ）A．向左平移π2个单位长度 B．向右平移π2个单位长度C．向左平移π4个单位长度 D．向右平移π4个单位长度【答案】C【分析】根据题意，结合三角函数的图象变换的规则，即可求解.【详解】由函数y=3sin(2x+2π3)=3sin[2(x+π3)]，y=3sin(2x+π6)=3sin[2(x+π12)]，将函数y=3sin[2(x+π12)]的图象向左平移π4个单位长度，得到y=3sin[2(x+π4+π12)]=3sin[2(x+π3)]=3sin(2x+2π3)的图象.故选：C.【变式20-1】（2024上·云南昆明·高二统考期末）要得到函数y=cos2x−π3的图象，只需将函数y=sin2x的图象（    ）A．向左平移π6个单位长度 B．向右平移π12个单位长度C．向左平移5π6个单位长度 D．向右平移11π12个单位长度【答案】D【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得出结论.【详解】因为y=cos2x−π3=sin2x−π3+π2=sin2x+π6=sin2x−11π6=sin2x−11π12，所以，为了得到函数y=cos2x−π3的图象，只需将函数y=sin2x的图象向右平移11π12个单位长度，故选：D.【变式20-2】（2024上·河南新乡·高一统考期末）将函数y=cos2x+φφ<π2的图象上所有的点向左平移π3个单位长度后，得到函数gx的图象，若gx为奇函数，则φ=（    ）A．π3 B．−π3 C．π6 D．−π6【答案】D【分析】根据函数图象的平移变换,结合奇函数，即可得到答案.【详解】依题意函数y=cos2x+φφ<π2的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，可得gx=cos2x+π3+φ，即gx=cos2x+2π3+φ，因为gx为奇函数，所以2π3+φ=π2+kπk∈Z，解得φ=−π6+kπk∈Z，因为φ<π2，所以φ=−π6.故选：D.【变式20-3】（2024上·甘肃定西·高一统考期末）将函数fx=sin2x+π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，得到函数gx的图象，若函数gx的图象关于y轴对称，则φ的最小值为（    ）A．π4 B．π12 C．π6 D．π3【答案】C【分析】根据函数图象的平移可得gx表达式，即可根据偶函数的性质求解.【详解】由题意可得gx=fx+φ=sin2x+2φ+π6，由于gx的图象关于y轴对称，故gx为偶函数，所以2φ+π6=π2+kπ,k∈Z,故φ=π6+kπ2,k∈Z，由于φ>0，所以φ的最小值π6，故选：C【变式20-4】（2024上·天津和平·高三统考期末）已知函数fx=sinωx(ω>0)，函数fx图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为π2，将fx图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（    ）A．ℎx=sin2x+π4 B．ℎx=sin12x+π4C．ℎx=sin2x−π4 D．ℎx=cos2x【答案】A【分析】首先求出周期则得到ω=1，再根据平移压轴的原则即可得到答案.【详解】由题意得T4=π2，T=2π=2πω，则ω=1，所以fx=sinx，则将fx图象上所有的点向左平移π4个单位长度变为gx=sinx+π4，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为ℎx=sin2x+π4.故选：A.2x−π40π2π3π22πxπ83π85π87π89π8gx030−30