|学案下载
搜索
    上传资料 赚现金
    (教案)向量数量积的概念学案01
    (教案)向量数量积的概念学案02
    (教案)向量数量积的概念学案03
    还剩3页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    高中8.1.1 向量数量积的概念学案

    展开
    这是一份高中8.1.1 向量数量积的概念学案,共6页。学案主要包含了教学过程等内容,欢迎下载使用。

    【教学过程】
    一、问题导入
    我们在物理课中学过,力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功。如图所示,如果作用在小车上的力F的大小为|F| N,小车在水平面上位移s的大小为|s|·m,力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ,那么这个力所做的功为W=|F||s|cs θ。
    (1)显然,功W与力向量F及位移向量s有关,这三者之间有什么关系?
    (2)给定任意两个向量a,b,能确定出一个类似的标量吗?如果能,请指出确定的方法;如果不能,说明理由。
    二、新知探究
    1.与向量数量积有关的概念
    【例1】(1)以下四种说法中正确的是________。(填序号)
    ①如果a·b=0,则a=0或b=0;
    ②如果向量a与b满足a·b<0,则a与b所成的角为钝角;
    ③△ABC中,如果eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))=0,那么△ABC为直角三角形;
    ④如果向量a与b是两个单位向量,则a2=b2
    (2)已知|a|=3,|b|=5,且a·b=-12,则a在b方向上的投影的数量为________,b在a方向上的投影的数量为________。
    (3)已知等腰△ABC的底边BC长为4,则eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))=________。
    思路探究:根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答。
    (1)③④;(2)-eq \f(12,5);-4;(3)8;[(1)由数量积的定义知a·b=|a||b|·cs θ(θ为向量a,b的夹角)。
    ①若a·b=0,则θ=90°或a=0或b=0,故①错;
    ②若a·b<0,则θ为钝角或θ=180°,故②错;
    ③由eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))=0知B=90°,故△ABC为直角三角形,故③正确;
    ④由a2=|a|2=1,b2=|b|2=1,故④正确。
    (2)设a与b的夹角为θ,则有
    a·b=|a|·|b|·cs θ=-12,
    所以向量a在向量b方向上的投影的数量为|a|·cs θ=eq \f(a·b,|b|)=eq \f(-12,5)=-eq \f(12,5);向量b在向量a方向上的投影的数量为|b|·cs θ=eq \f(a·b,|a|)=eq \f(-12,3)=-4.
    (3)如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D.
    因为AB=AC,
    所以BD=eq \f(1,2)BC=2,
    于是|eq \(BA,\s\up8(→))|cs ∠ABC=|eq \(BD,\s\up8(→))|
    =eq \f(1,2)|eq \(BC,\s\up8(→))|=eq \f(1,2)×4=2,
    所以eq \(BA,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))=|eq \(BA,\s\up8(→))||eq \(BC,\s\up8(→))|cs ∠ABC=4×2=8.
    [教师小结]
    (一)在书写数量积时,a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,更不能省略不写。
    (二)求平面向量数量积的方法:
    (1)若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式a·b=|a||b|cs θ。
    (2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影,可利用数量积的几何意义求a·b。
    2.数量积的基本运算
    【例2】已知|a|=4,|b|=5,当(1)a ∥ b;(2)a ⊥ b;(3)a与b的夹角为135°时,分别求a与b的数量积。
    思路探究:(1)当a ∥ b时,a与b夹角可能为0°或180°。(2)当a ⊥ b时,a与b夹角为90°。(3)若a与b夹角及模已知时可利用a·b=|a|·|b|·cs θ(θ为a,b夹角)求值。
    解:设向量a与b的夹角为θ,
    (1)a ∥ b时,有两种情况:
    ①若a和b同向,则θ=0°,a·b=|a||b|,cs 0°=20;
    ②若a与b反向,则θ=180°,a·b=|a||b|·cs 180°=-20.
    (2)当a ⊥ b时,θ=90°,
    ∴a·b=0。
    (3)当a与b夹角为135°时,
    a·b=|a||b|·cs 135°=-10eq \r(2)。
    [教师小结]
    (1)求平面向量数量积的步骤是:①求a与b的夹角θ,θ∈[0,π];②分别求|a|和|b|;③求数量积,即a·b=|a||b|·cs θ。
    (2)非零向量a与b共线的条件是a·b=±|a||b|。
    3.与向量模有关的问题
    【例3】已知x=1是方程x2+|a|·x+a·b=0的根,且a2=4,a与b的夹角为120°。求向量b的模。
    解:因为a2=4,所以|a|2=4,即|a|=2,
    将x=1代入原方程可得1+2×1+a·b=0,所以a·b=-3,所以a·b=|a||b|·cs〈a,b〉
    =2|b|cs 120°=-3,所以|b|=3。
    1.(变结论)本例题设条件不变,求b在a方向上的射影的数量。
    解:由例题解析可知|b|=3.
    因为|b|·cs〈a,b〉=3×cs120°=-eq \f(3,2)。
    所以b在a方向上的射影的数量为-eq \f(3,2)。
    2.(变条件)将本例中“a与b的夹角θ为120°”改为“|a·b|=3”。如何求a与b的夹角θ?
    解:易求|a|=2,|b|=3。
    因为a·b=|a||b|·cs θ,
    所以|a·b|=|a||b||cs θ|=3,
    所以|cs θ|=eq \f(1,2),故cs θ=±eq \f(1,2)。
    又因为θ∈[0,π],所以θ=eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)。
    [教师小结]
    (1)此类求模问题一般转化为求模平方,与数量积联系。
    (2)利用a·a=a2=|a|2或|a|=eq \r(a2),可以实现实数运算与向量运算的相互转化。
    4.平面向量数量积的性质
    [探究问题]
    (1)设a与b都是非零向量,若a ⊥ b,则a·b等于多少?反之成立吗?
    提示:a ⊥ b⇔a·b=0.
    (2)当a与b同向时,a·b等于什么?当a与b反向时,a·b等于什么?特别地,a·a等于什么?
    提示:当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|;a·a=a2=|a|2或|a|=eq \r(a·a)。
    (3)|a·b|与|a||b|的大小关系如何?为什么?对于向量a,b,如何求它们的夹角θ?
    提示:|a·b|≤|a||b|,设a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|·cs θ。
    两边取绝对值得:
    |a·b|=|a||b||cs θ|≤|a||b|。
    当且仅当|cs θ|=1,
    即cs θ=±1,θ=0或π时,取“=”,
    所以|a·b|≤|a||b|,cs θ=eq \f(a·b,|a||b|)。
    【例4】 已知|a|=3,|b|=2,向量a,b的夹角为60°,c=3a+5b,d=ma-3b,求当m为何值时,c与d垂直?
    思路探究:由条件计算a·b,当c ⊥ d时,c·d=0列方程求解m。
    解:由已知得a·b=3×2×cs 60°=3.
    由c ⊥ d,知c·d=0,
    即c·d=(3a+5b)·(ma-3b)=3ma2+(5m-9)a·b-15b2=27m+3(5m-9)-60=42m-87=0,
    ∴m=eq \f(29,14),即m=eq \f(29,14)时,c与d垂直。
    [教师小结]
    (1)已知非零向量a,b,若a ⊥ b,则a·b=0,反之也成立。
    (2)设a与b夹角为θ,利用公式cs θ=eq \f(a·b,|a||b|)可求夹角θ,求解时注意向量夹角θ的取值范围θ∈[0,π]。
    三、课堂总结
    1.对投影的三点诠释
    (1)a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积,也等于|b|与a在b方向上的投影的乘积。其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的。
    (2)b在a方向上的投影为|b|·cs θ(θ是a与b的夹角),也可以写成eq \f(a·b,|a|)。
    (3)投影是一个数量,不是向量,其值可为正,可为负,也可为零。
    2.向量的数量积与实数乘积运算性质的比较
    四、课堂检测
    1.已知点A,B,C满足|eq \(AB,\s\up8(→))|=3,|eq \(BC,\s\up8(→))|=4,|eq \(CA,\s\up8(→))|=5,则eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))+eq \(BC,\s\up8(→))·eq \(CA,\s\up8(→))+eq \(CA,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))的值是( )。
    A.-25B.25
    C.-24D.24
    【答案】A
    【解析】因为|eq \(AB,\s\up8(→))|2+|eq \(BC,\s\up8(→))|2=9+16=25=|eq \(CA,\s\up8(→))|2,
    所以∠ABC=90°,所以原式=eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))+eq \(CA,\s\up8(→))·(eq \(BC,\s\up8(→))+eq \(AB,\s\up8(→)))=0+eq \(CA,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))=-eq \(AC,\s\up8(→))2=-25.]
    2.(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )
    A.eq \f(π,6)
    B.eq \f(π,3)
    C.eq \f(2π,3)
    D.eq \f(5π,6)
    【答案】B
    【解析】设a与b的夹角为α,∵(a-b)⊥b,∴(a-b)·b=0,∴a·b=b2,∴|a|·|b|·cs α=|b|2,又|a|=2|b|,∴cs α=eq \f(1,2),∵α∈[0,π],∴α=eq \f(π,3),故选B。
    3.已知|a|=4,e为单位向量,a在e方向上的投影的数量为-2,则a与e的夹角为________。
    【答案】120°
    【解析】因为a在e方向上的射影为-2,
    即|a|·cs〈a,e〉=-2,所以cs〈a,e〉=eq \f(-2,|a|)=-eq \f(1,2),
    又〈a,e〉∈[0,π],所以〈a,e〉=120°。]
    4.已知a·b=20,|a|=5,求b在a方向上的投影的数量。
    【答案】设a,b的夹角为θ,
    则b在a方向上的投影的数量就是|b|·cs θ,
    因为|a||b|·cs θ=a·b=20,
    所以|b|·cs θ=eq \f(20,|a|)=eq \f(20,5)=4,
    即b在a方向上的投影的数量是4。教学目标
    核心素养
    1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义。(难点)
    2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系。(重点)
    3.掌握数量积的运算性质,并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题。(重点)
    1.通过向量的夹角、向量数量积概念的学习,培养学生的数学抽象核心素养。
    2.通过向量数量积的应用,培养学生的数学运算核心素养。
    实数a,b,c
    向量a,b,c
    a≠0,a·b=0⇒b=0
    a≠0,a·b=0⇒/ b=0
    a·b=b·c(b≠0)⇒a=c
    a·b=b·c(b≠0)⇒/ a=c
    |a·b|=|a|·|b|
    |a·b|≤|a|·|b|
    满足乘法结合律
    不满足乘法结合律
    相关学案

    专题27 向量的数量积-数量积的投影定义(解析版)学案: 这是一份专题27 向量的数量积-数量积的投影定义(解析版)学案,共14页。学案主要包含了热点聚焦与扩展,经典例题,精选精练等内容,欢迎下载使用。

    人教B版 (2019)必修 第三册8.1.2 向量数量积的运算律导学案: 这是一份人教B版 (2019)必修 第三册8.1.2 向量数量积的运算律导学案,共5页。学案主要包含了教学目标,教学重难点,教学过程等内容,欢迎下载使用。

    人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积8.1.3 向量数量积的坐标运算导学案: 这是一份人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积8.1.3 向量数量积的坐标运算导学案,共5页。学案主要包含了教学过程等内容,欢迎下载使用。

    • 课件
    • 教案
    • 试卷
    • 学案
    • 其他

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        返回
        顶部
        Baidu
        map