人教B版高中数学必修第三册第7章7-3-4正切函数的性质与图像学案

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7.3.4　正切函数的性质与图像孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直线状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题．那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢？问题　类比y＝sin x，y＝cos x的图像与性质．1y＝tan x是周期函数吗？有最大小值吗？2正切函数的图像是连续的吗？[提示]　1y＝tan x是周期函数，且T＝π，无最大值，也无最小值．2正切函数的图像在定义域上不是连续的．知识点1　正切函数及性质1．正切函数的定义对于任意一个角x，只要x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，就有唯一确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数．2．正切函数的性质1．(1)正切函数在定义域上是单调递增函数吗？(2)函数y＝Atan (ωx＋φ)的周期是多少？[提示]　(1)不是．正切函数在每一个区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上都是单调递增函数，但是不能说在定义域上是增函数．(2)T＝eq \f(π,|ω|)．1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)正切函数既没有最大值也没有最小值． (　　)(2)正切函数的零点是(kπ，0)，k∈Z． (　　)(3)函数y＝tan 2x的周期是2π． (　　)[提示]　(1)√．正切函数的值域为R，既没有最大值也没有最小值．(2)×．正切函数的零点是x＝kπ，k∈Z．(3)×．函数y＝tan 2x的周期是eq \f(π,2)．[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的定义域为________．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(3,8)π，k∈Z))))　[因为2x－eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，所以x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(3,8)π，k∈Z．]3．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的单调增区间为________．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3,4)π，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z　[令kπ－eq \f(π,2)0，))即－1≤tan x<1．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上满足上述不等式的x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))．又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋kπ≤x<\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))．(2)因为－1≤sin x≤1，且[－1,1]⊆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以y＝tan x在[－1,1]上是增函数，因此tan(－1)≤tan x≤tan 1，即函数y＝tan(sin x)的值域为[－tan 1，tan 1]．](3)[解]　令t＝tan x，因为x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，所以t＝tan x∈[－eq \r(3)，eq \r(3))，所以y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6，抛物线开口向下，对称轴为t＝1，所以t＝1时，y取最大值6，t＝－eq \r(3)时，y取最小值2－2eq \r(3)，所以函数y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))的值域为[2－2eq \r(3)，6]．1．求正切函数定义域的方法及求值域的注意点(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z；(2)求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．2．解正切不等式的两种方法(1)图像法：先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合；(2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域．eq \o([跟进训练])1．求函数y＝eq \f(\r(tan x－1),tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))))的定义域．[解]　根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(tan x≥1，,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))≠0，,x＋\f(π,6)≠\f(π,2)＋kπk∈Z，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋kπ≤x<\f(π,2)＋kπ，,x≠－\f(π,6)＋kπ，,x≠\f(π,3)＋kπ，))(k∈Z)．所以函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋kπ，\f(π,3)＋kπ))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)． 类型2　正切函数的奇偶性、周期性【例2】　(1)函数y＝4taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))的周期为________．(2)判断下列函数的奇偶性：①f(x) ＝eq \f(tan2x－tan x,tan x－1)；②f(x) ＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))．(1)eq \f(π,3)　[由于ω＝3，故函数的周期为T＝eq \f(π,|ω|)＝eq \f(π,3)．](2)[解]　①由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,tan x≠1，))得f(x) 的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)且x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，不关于原点对称，所以函数f(x) 既不是偶函数，也不是奇函数．②函数定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，关于原点对称，又f (－x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－\f(π,4)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,4)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝－f(x) ，所以函数是奇函数．1．函数f(x) ＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法(1)定义法．(2)公式法：函数f(x) ＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|)．(3)观察法(或图像法)：观察函数的图像，看自变量间隔多少，函数值重复出现．2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x)与f(x) 的关系．eq \o([跟进训练])2．(1)函数f(x) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,1＋2x)))tan x的图像(　　)A．关于x轴对称　 B．关于y轴对称C．关于y＝x对称 D．关于原点对称(2)若函数f(x) ＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期为2π，则ω＝________；f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝________． (1)B　(2)eq \f(1,2)　eq \r(3)　[(1)f(x) 的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，定义域关于原点对称，且f (－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,1＋2－x)))tan (－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2·2x,1＋2x)))tan x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－2x,1＋2x)))tan x＝f(x) ，故y＝f(x) 是偶函数，关于y轴对称．(2)因为函数f(x) ＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期为T＝eq \f(π,|ω|)＝2π，所以ω＝eq \f(1,2)．所以f(x) ＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(π,6)＋\f(π,4)))＝tan eq \f(π,3)＝eq \r(3)．] 类型3　正切函数的单调性角度1　求正切函数的单调区间【例3】　(对接教材P57练习BT5改编)求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调区间．[解]　y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，由kπ－eq \f(π,2)<eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－eq \f(π,2)<ωx＋φ0)在(－π，π)上是递增函数，则ω的取值范围是__________． (1)D　(2)eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))　[(1)因为tan 5＝tan (5－π)，eq \f(π,2)<5－π<2<3<π，又因为函数y＝tan x在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是增函数，所以tan(5－π)0)在(－π，π)上是递增函数，所以kπ－eq \f(π,2)≤ω·(－π)，且ω·π≤eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以求得ω≤eq \f(1,2)－k且ω≤eq \f(1,2)＋k，k∈Z，所以可得ω≤eq \f(1,2)，所以ω的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))．]运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小关系．eq \o([跟进训练])4．比较taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))与taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))的大小．[解]　由于taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(3π,4)))＝tan eq \f(3π,4)＝－tan eq \f(π,4)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(2π,5)))＝－tan eq \f(2π,5)，又0<eq \f(π,4)<eq \f(2π,5)<eq \f(π,2)，而y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以tan eq \f(π,4)－tan eq \f(2π,5)，即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))>taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))． 类型4　正切函数的图像及应用【例5】　画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性．函数y＝|fx|的图像与函数y＝fx的图像有什么关系？[提示]　把函数y＝fx的图像在x轴下方的部分关于x轴翻折到x轴上方即可得到y＝|fx|的图像．[解]　由y＝|tan x|得，y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(tan x，kπ≤x0)的单调区间？[提示]　求y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，由kπ－eq \f(π,2)<ωx＋φ