人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数本章综合与测试优秀达标测试

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数本章综合与测试优秀达标测试，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：120分钟 满分：150分)


一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)


1.在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是( )


A．① B．①②


C．①②③ D．①②③④


C [160°角显然是第二象限角；480°＝360°＋120°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．]


2.若2弧度的圆心角所对的弧长为2 cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )


A．4 cm2 B．2 cm2 C．4π cm2 D．1 cm2


D [由弧长公式得2＝2R，即R＝1 cm，则S＝eq \f(1,2)Rl＝eq \f(1,2)×1×2＝1(cm2)．]


3.函数y＝cs x·tan x的值域是( )


A．(－1,0)∪(0,1) B．[－1,1]


C．(－1,1) D．[－1,0]∪(0,1)


C [化简得y＝sin x，由cs x≠0，得sin x≠±1.故得函数的值域(－1,1)．]


4．三角函数y＝sin eq \f(x,2) 是( )


A．周期为4π的奇函数 B．周期为eq \f(π,2) 的奇函数


C．周期为π的偶函数 D．周期为2π的偶函数


A [f(－x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)))＝－sin eq \f(x,2)＝－f(x)，是奇函数，T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π.]


5．方程sin x＝lg x的实根个数是( )


A．1 B．2


C．3 D．4


C [y＝sin x与y＝lg x的图像共有3个交点．]


6．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝eq \f(1,3) ，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,12)))的值为( )


A．eq \f(1,3)B．－eq \f(1,3)


C．－eq \f(2\r(2),3) D．eq \f(2\r(2),3)


B [根据题意得：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,12)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＋\f(π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝－eq \f(1,3) ，故选B．]


7．函数f(x)＝eq \r(3) sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－1的最小值和最小正周期分别是( )


A．－eq \r(3)－1，π B．－eq \r(3)＋1，π


C．－eq \r(3) ，π D．－eq \r(3)－1,2π


A [f(x)min＝－eq \r(3)－1，T＝eq \f(2π,2)＝π.]


8．要得到函数y＝f(2x＋π)的图像，只要将函数y＝f(x)的图像( )


A．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变


B．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变


C．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2) ，纵坐标不变


D．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2) ，纵坐标不变


C [把y＝f(x)的图像向左平移π个单位得到y＝f(x＋π)，再把所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2) ，纵坐标不变得到y＝f(2x＋π)．]


9．函数f(x)＝cs(3x＋φ)的图像关于原点成中心对称，则φ等于( )


A．－eq \f(π,2) B．2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)


C．kπ(k∈Z) D．kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)


D [若函数f(x)＝cs(3x＋φ)的图像关于原点成中心对称，则f(0)＝cs φ＝0，∴φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．]


10．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))的图像( )


A．关于原点成中心对称


B．关于y轴成轴对称


C．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))成中心对称


D．关于直线x＝eq \f(π,12) 成轴对称


C [由形如y＝Asin(ωx＋φ)函数图像的对称中心和对称轴的意义，分别将各选项代入检验即可，由于feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝0，故函数的图像关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0))成中心对称．]


11.函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图像如图所示，则该函数的表达式为( )





A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5,6)π))


B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(5,6)π))


C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))


D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))


C [由图像可知，A＝2，ω＝eq \f(2π,π)＝2，当x＝eq \f(π,6)时，y＝2，从而有2×eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2) ，∴φ＝eq \f(π,6) ，故选C．]


12.在△ABC中，C>eq \f(π,2)，若函数y＝f(x)在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是( )


A．f(cs A)>f(cs B) B．f(sin A)>f(sin B)


C．f(sin A)>f(cs B) D．f(sin A)

C [根据0

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)


13.函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的定义域为________．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(3π,8)＋\f(kπ,2)，k∈Z)))) [2x－eq \f(π,4)≠eq \f(π,2)＋kπ，即x≠eq \f(3π,8)＋eq \f(kπ,2) ，k∈Z.]


14．如图，已知函数y＝sineq \f(πx,3)在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．


8 [T＝6，则eq \f(5T,4)≤t，∴t≥eq \f(15,2)，


∴tmin＝8.]


15．函数y＝－tan x的单调递减区间是________．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z) [因为y＝tan x与y＝


－tan x的单调性相反，所以y＝－tan x的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)．]


16．已知tan θ＝2，则eq \f(sin θ,sin3θ－cs3θ)＝________.


eq \f(10,7) [eq \f(sin θ,sin3θ－cs3θ)＝eq \f(sin θsin2θ＋cs2θ,sin3θ－cs3θ)＝eq \f(tan3θ＋tan θ,tan3θ－1)＝eq \f(23＋2,23－1)＝eq \f(10,7).]


三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)


17．(本小题满分10分)已知α是第三象限角，且f(α)＝


eq \f(sin－α－πcs5π－αtan2π－α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))tan－π－α).


(1)化简f(α)；


(2)若tan(π－α)＝－2，求f(α)的值．


[解](1)f(α)＝eq \f(sin α·－cs α·－tan α,sin α·－tan α)


＝－cs α.


(2)由已知得tan α＝2，eq \f(sin α,cs α)＝2，sin α＝2cs α，sin2α＝4cs2α，1－cs2α＝4cs2α，cs2α＝eq \f(1,5).因为α是第三象限角，所以cs α＜0，所以cs α＝－eq \f(\r(5),5)，所以f(α)＝－cs α＝eq \f(\r(5),5).


18．(本小题满分12分)已知sin α＋3cs α＝0，求sin α，cs α的值．


[解] ∵ sin α＝－3cs α.


又sin2α＋cs2α＝1，得(－3cs α)2＋cs2α＝1，


即10cs2α＝1.∴ cs α＝±eq \f(\r(10),10).


又由sin α＝－3cs α，可知sin α与cs α异号，


∴ α在第二、四象限．


① 当α是第二象限角时，sin α＝eq \f(3\r(10),10) ，cs α＝－eq \f(\r(10),10).


② 当α是第四象限角时，sin α＝－eq \f(3\r(10),10) ，cs α＝eq \f(\r(10),10).


19．(本小题满分12分)已知f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(3,2)，x∈R.


(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；


(2)函数f(x)的图像可以由函数y＝sin 2x(x∈R)的图像经过怎样的变换得到？


[解](1)T＝eq \f(2π,2)＝π，由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，知kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)．


所以所求的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)．


(2)变换情况如下：





y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(3,2).


20．(本小题满分12分)在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的图像与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为eq \f(π,2)，且图像上一个最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2)).


(1)求f(x)的解析式；


(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))时，求f(x)的值域．


[解](1)由最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))得A＝2.


由x轴上相邻两个交点之间的距离为eq \f(π,2)，


得eq \f(T,2)＝eq \f(π,2)，即T＝π，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,π)＝2.


由点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))在图像上得2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(2π,3)＋φ))＝－2，


即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，故eq \f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，


∴φ＝2kπ－eq \f(11π,6)(k∈Z)．


又φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴φ＝eq \f(π,6)，故f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).


(2)∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))，∴2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(7π,6)))，


当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,6)时，f(x)取得最大值2；


当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(7π,6)，即x＝eq \f(π,2)时，f(x)取得最小值－1，


故f(x)的值域为[－1,2]．


21.(本小题满分12分)如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一段．





(1)求其解析式；


(2)若将y＝Asin(ωx＋φ)的图像向左平移eq \f(π,6)个单位长度后得y＝f(x)，求f(x)的对称轴方程．


[解](1)由图像知A＝eq \r(3)，


以Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))为第一个零点，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，0))为第二个零点．


列方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ω·\f(π,3)＋φ＝0，,ω·\f(5π,6)＋φ＝π，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ω＝2，,φ＝－\f(2π,3).))


∴所求解析式为y＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3))).


(2)f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))－\f(2π,3)))


＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，


令2x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，则x＝eq \f(5,12)π＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)，


∴f(x)的对称轴方程为x＝eq \f(5,12)π＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)．


22.(本小题满分12分)函数f(x)是定义在[－2π，2π]上的偶函数，当x∈[0，π]时，y＝f(x)＝cs x；当x∈(π，2π]时，f(x)的图像是斜率为eq \f(2,π)，在y轴上截距为－2的直线在相应区间上的部分．


(1)求f(－2π)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))的值；


(2)求f(x)的解析式，并作出图像，写出其单调区间．


[解](1)当x∈(π，2π]时，y＝f(x)＝eq \f(2,π)x－2，当x∈[－2π，－π)时，－x∈(π，2π)，


∴y＝f(－x)＝－eq \f(2,π)x－2，又f(x)是偶函数，∴当x∈[－2π，－π)时，f(x)＝f(－x)＝－eq \f(2,π)x－2.


∴f(－2π)＝f(2π)＝2.


又x∈[0，π]时，y＝f(x)＝cs x，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝eq \f(1,2).


(2)y＝f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2,π)x－2， x∈[－2π，－π，,cs x， x∈[－π，π]，,\f(2,π)x－2， x∈π，2π].))





单调增区间为[－π，0]，(π，2π]，


单调减区间为[－2π，－π)，[0，π]．