高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数本章综合与测试一课一练

本章达标检测

一、单项选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.下列角的终边位于第四象限的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.420°     B.860°     C.1 060°     D.1 260°

2.135°化为弧度等于(　　)

A.          B.          C.        D.

3.一个半径为R的扇形,其周长是4R,则这个扇形所含的弓形的面积是(　　)

A.(2-sin 1cos 1)R2     B.R2sin 1cos 1

C.R2                 D.R2(1-sin 1cos 1)

4.在平面直角坐标系xOy中,若角α的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边经过点P(3a,-4a)(其中a<0),则sin α+cos α的值为(　　)

A.-        B.-        C.        D.

5.若sin=-,且α为第二象限角,则tan α=(　　)

A.-        B.-       C.          D.

6.已知sin(π-α)=-,且α∈,则tan(2π-α)的值为(　　)

A.      B.-       C.±        D.

7.已知点A(0,2),B是函数f(x)=4sin(ωx+φ)的图像上的两个点,若将函数f(x)的图像向右平移个单位,得到函数g(x)的图像,则函数g(x)的图像的一条对称轴方程为(　　)

A.x=        B.x=       C.x=       D.x=

8.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图像是(　　)

9.将函数f(x)=2sin的图像向下平移1个单位,得到函数g(x)的图像,若g(x1)g(x2)=9,其中x1,x2∈[0,4π],则的最大值为(　　)

A.9         B.        C.3        D.1

10.将函数y=sin的图像向右平移个单位后所得的图像对应的函数(　　)

A.在区间上单调递增     B.在区间上单调递减

C.在区间上单调递增      D.在区间上单调递减

二、多项选择题(本大题共2小题,每小题5分,共10分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)

11.已知函数y=sin的图像为C,则(　　)

A.将函数y=sin 2x的图像向左平移个单位可得到C

B.将函数y=sin 2x的图像向左平移个单位可得到C

C.将函数y=cos 2x的图像向右平移个单位可得到C

D.将函数y=cos 2x的图像向右平移个单位可得到C

12.已知函数f(x)=|cos x|+cos x,则f(x)(　　)

A.是偶函数        B.最小正周期为π

C.最大值为2        D.最小值为0

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.已知角α的终边经过点(4,a),若sin α=,则实数a的值为　　　　. 

14.设ω>0,函数y=sin+2的图像向右平移个单位后得到的图像与原图像重合,则ω的最小值是　　　　. 

15.下图为函数f(x)=Asin(2x+φ)的部分图像,对于任意的x1,x2∈[a,b],若f(x1 )=f(x2 ),都有f(x1+x2 )=,则φ等于　　　　. 

16.对任意两个实数a、b,定义运算“max{a,b}”如下:max{a,b}=则关于函数f(x)=max{sin x,cos x},有下列命题:

①函数f(x)的值域为;

②函数f(x)图像的对称轴为x=kπ+,k∈Z;

③函数f(x)是周期函数;

④当且仅当x=2kπ(k∈Z)时,函数f(x)取得最大值1;

⑤当2kπ<x<2kπ+,k∈Z时,f(x)<0.

其中正确的是　　　　　　　.(填序号) 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)在△ABC中,sin A+cos A=,求tan A的值.

18.(12分)已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.

(1)若α=60°,R=10,求扇形的弧长l;

(2)已知扇形的周长为10,面积是4,求扇形的圆心角;

(3)若扇形的周长为20,则当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?

19.(12分)已知f(α)=.

(1)化简f(α);

(2)若α是第二象限角,且cos=-,求f(α)的值.

20.(12分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0且ω>0,0<φ<的部分图像如图

所示.

(1)试用不同的方法求函数解析式;

(2)若方程f(x)=a在上有两个不同的实根,试求实数a的取值范围.

21.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R的周期为π,且图像上的一个最低点为M.

(1)求f(x)的解析式;

(2)当x∈时,求f(x)的最值.

22.(12分)用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在同一个周期内的图像时,某同学列表并填入的数据如下表:

(1)求x1,x2,x3的值及函数f(x)的解析式;

(2)已知函数g(x)=f(a>0),若函数g(x)在区间上是增函数,求实数a的最大值.

答案全解全析

一、单项选择题

1.C　420°=360°+60°,其终边位于第一象限;860°=2×360°+140°,其终边位于第二象限;1 060°=3×360°-20°,其终边位于第四象限;1 260°=3×360°+180°,其终边位于x轴负半轴.故选C.

2.C　因为1°=,所以135°=135×=,故选C.

3.D　弧长l=4R-2R=2R,圆心角α==2,∴S扇形=lR=R2,

扇形内的三角形面积为×2Rsin 1×Rcos 1=R2sin 1cos 1,

所以弓形的面积S=R2-R2sin 1cos 1=R2(1-sin 1cos 1),故选D.

4.   D　由题意知|OP|=-5a,根据任意角的三角函数的定义得,sin α==,cos α==-,

所以sin α+cos α=-=.

5.A　∵sin=-,∴cos α=-,

∵α为第二象限角,∴sin α==,∴tan α==-.故选A.

6.A　因为sin(π-α)=-,所以sin α=-,

因为α∈-,0,所以cos α==.

所以tan(2π-α)=-tan α=-=-=.故选A.

7.A　因为f(0)=4sin φ=2,<φ<π,所以φ=.

由f=4sinω+=0,得ω+=kπ(k∈Z),所以ω=6k-4(k∈Z),因为0<ω<6,所以ω=2.

则f(x)=4sin2x+,又g(x)的图像是由f(x)的图像向右平移个单位得到的,

所以g(x)=4sin2x-+=4sin2x+,

则函数g(x)的图像的对称轴满足2x+=kπ+(k∈Z),

解得x=+(k∈Z),令k=0,得函数g(x)的图像的一条对称轴方程为x=.故选A.

8.B　当x=0时,y=1-sin 0=1,排除C,D;当x=时,y=1-sin =0,排除A.故选B.

9.A　将函数f(x)=2sin的图像向下平移1个单位,

得到g(x)=2sin-1的图像.

∵g(x)∈[-3,1],且g(x1)g(x2)=9,

∴g(x1)=g(x2)=-3,

∴sin=sin=-1,

∵x1,x2∈[0,4π],

∴3x1+∈,3x2+∈,

∴3x1+的最大值为,3x2+的最小值为,

故x1的最大值为,x2的最小值为,

∴的最大值为=9.

10.A　将函数y=sin2x+的图像向右平移个单位之后得到的图像对应的函数解析式为y=sin2x-+=sin 2x.其单调递增区间满足2kπ-≤2x≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),

令k=0,可得函数的一个单调递增区间为-,,选项A正确,B错误;

函数的单调递减区间满足2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z),即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),令k=0,可得函数的一个单调递减区间为,,选项C,D错误.故选A.

二、多项选择题

11.AD　对于A,将函数y=sin 2x的图像向左平移个单位可得到函数y=sin 2=sin的图像,故A正确;对于B,将函数y=sin 2x的图像向左平移个单位可得到函数y=sin 2=sin的图像,故B不正确;对于C,将函数y=cos 2x的图像向右平移个单位可得到y=cos 2=cos=sin的图像,故C不正确;对于D,将函数y=cos 2x的图像向右平移个单位可得到函数y=cos 2=cos=sin的图像,故D正确.故选AD.

12.ACD　因为f(-x)=|cos(-x)|+cos(-x)=|cos x|+cos x,所以f(x)是偶函数,故A正确;

因为f(x+π)=|cos(x+π)|+cos(x+π)=|cos x|-cos x≠f(x),故B不正确;当cos x≥0时, f(x)=2cos x∈[0,2],当cos x<0时, f(x)=0,所以f(x)的最大值为2,最小值为0,故C,D均正确.故选ACD.

三、填空题

13.答案　3

解析　因为角α的终边经过点(4,a),且sin α=,所以角α的终边在第一象限,a>0,则sin α==,∴a=3.

14.答案　

解析　将原函数图像向右平移个单位得到的图像对应的函数解析式为

y=sin+2

=sin+2.

∵平移后的函数图像与原函数图像重合,

故-ω=2nπ(n∈Z),

∴ω=-n(n∈Z),

∵ω>0,∴ωmin=.

15.答案　

解析　由题图可知A=2.

不妨设=m,则x1+x2=2m,

由三角函数的性质可知:2m+φ=2kπ+(k∈Z),

则f(x1+x2 )=2sin[2(x1+x2 )+φ]

=2sin(2×2m+φ)=2sin[2×(2m+φ)-φ]

=2sin2×2kπ+-φ

=2sin(4kπ+π-φ)=2sin φ=,则sin φ=,结合|φ|≤,可得φ=.

16.答案　①②③

解析　sin x≥cos x⇒x∈+2kπ,+2kπ(k∈Z),

此时f(x)=sin x∈-,1.

sin x<cos x⇒x∈-+2kπ,+2kπ(k∈Z),此时f(x)=cos x∈-,1,

即函数f(x)的值域为-,1.故①正确.

由以上推导可知函数f(x)的图像的对称轴为直线x=kπ+,k∈Z.故②正确.

因为f(x+2π)=f(x),所以函数f(x)是周期函数.故③正确.

当x=+2kπ或x=2kπ(k∈Z)时,函数f(x)取得最大值1.故④错误.

当x∈2kπ+π,2kπ+π(k∈Z)时,f(x)<0.故⑤错误.所以正确的是①②③.

四、解答题

17.解析　sin A+cos A=①,

①式两边同时平方并整理得2sin Acos A=-,又A∈(0,π),从而cos A<0,A∈,∴sin A-cos A

==②,

①②联立,解得sin A=,cos A=,

∴tan A=-2-.

18.解析　(1)α=60°= rad,

∴l=α·R=×10= .

(2) 由题意得

解得(舍去)或

故扇形的圆心角为 rad.

(3)由已知得,l+2R=20.

所以扇形的面积S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,所以当R=5时,S取得最大值25,此时l=10,α=2.

19.解析　(1)f(α)= ==cos α.

(2)∵cos+α=-sin α=-,∴sin α=,

∵α是第二象限角,∴cos α=-=-,

∴f(α)=cos α=-.

20.解析　(1)解法一:由题图易知此函数的图像是由y=sin x的图像沿x轴负方向平移个单位得到的,故其函数解析式为f(x)=sinx+.

解法二:由题图易知A=1,函数f(x)的周期T=4×-=2π,所以ω==1.又f(x)的图像过点-,0,

则sin-+φ=0.

令-+φ=2kπ,k∈Z,

得φ=2kπ+,k∈Z,

又∵φ∈0,,∴φ=,

∴f(x)=sinx+.

(2)方程f(x)=a在0,上有两个不同的实根等价于y=f(x)的图像与直线y=a在0,上有两个交点.作出函数f(x)=sinx+在0,上的图像,如图.

由图可以看出当二者有两个交点时,a∈∪(-1,0).

21.解析　(1)由图像上的一个最低点为M,-2,得A=2.由T=π,得ω===2.由点M,-2在图像上,

得2sin+φ=-2,

即sin+φ=-1,

所以+φ=2kπ-(k∈Z),

故φ=2kπ-(k∈Z).又φ∈0,,所以φ=.所以f(x)=2sin2x+.

(2)因为x∈0,,所以2x+∈,.

所以当2x+=,即x=0时, f(x)取得最小值1;

当2x+=,即x=时, f(x)取得最大值2.

22.解析　(1)由ω+φ=0,ω+φ=π可得ω=2,φ=-,

由2x1-=,2x2-=,2x3-=2π,

可得x1=,x2=,x3=,

又由题表知A=2,

∴f(x)=2sin2x-.

(2)g(x)=f+=2sin ax(a>0),当x∈-,时,ax∈-,,

∵g(x)在-,上是增函数,

∴-,⊆-+2kπ,+2kπ(k∈Z),

∴(k∈Z),

∴(k∈Z).

 ∵a>0,∴-<k<,又k∈Z,∴k=0,

∴0<a≤,∴实数a的最大值为.