2024-2025学年人教A版必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 单元测试

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第四章　指数函数与对数函数全卷满分150分　考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f(x)=6x-log2x的零点所在区间是(　　)A.(0,1)　　　　B.(1,2)　　C.(2,3)　　　　D.(3,4)2.已知n∈N*,则“nan=a”是“a>0”的(　　)A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件3.设a=0.50.4,b=log0.50.3,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是(　　)A.a0,a≠1)的图象过定点M(m,n),则函数g(x)=m+xn的图象不经过(　　)A.第一象限　　B.第二象限　　C.第三象限　　D.第四象限6.已知函数f(x)=ex+e-x+lg|x|,则不等式f(x+1)>f(2x-1)的解集为(　　)A.(0,2)　　　　B.0,12∪12,2　　C.(0,3)　　　　D.0,12∪12,37.荀子《劝学》中说:“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”学习是日积月累的过程,每天进步一点点,前进不止一小点.若甲、乙两同学当下的知识储备量均为a,甲同学每天的“进步”率和乙同学每天的“退步”率均为2%,则n天后,甲同学的知识储备量为(1+2%)na,乙同学的知识储备量为(1-2%)na,则甲、乙的知识储备量之比为2∶1时需要经过的天数约为(参考数据:lg2≈0.3010,lg102≈2.0086,lg98≈1.9912)(　　)A.15　　　　B.18　　C.30　　　　D.358.若定义在R上的函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,对任意的实数x,都有f(x+4)=-f(x),且f(3)=0,则函数y=f(x)在区间[0,2024]上的零点最少有(　　)A.2020个　　　　B.1768个　　C.1519个　　　　D.1517个二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知函数f(x)=log2(1-x)+log2(1+x),则(　　)A.f(x)的定义域为(-1,1)B.f(x)为偶函数C.f(x)在(0,1)上单调递增D.f(x)的最大值是010.已知函数f(x)=2x2-4x+3,则(　　)A.f(x)在[2,+∞)上单调递增B.f(x)的值域为(0,+∞)C.不等式f(x)<256的解集为(-1,5)D.若g(x)=2-ax·f(x)在(-∞,1]上单调递减,则实数a的取值范围为[-2,+∞)11.已知函数f(x)=|x-1|,x≤2,-x2+4x-3,x>2,则下列说法正确的是(　　)A.若y=f(x)的图象与直线y=t有三个交点,则实数t∈(0,1)B.若f(x)=k有三个不同的实数根x1,x2,x3,则4f(x)对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是-∞,-94三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.若f(x)为定义在R上的偶函数,函数g(x)=f(x)(ex-e-x)+2,则g(-2024)+g(2024)=　　　　　. 13.已知函数f(x)=|log2(x+1)|,若-10);②y=kax+b(k>0,01,k>0,x≥0).(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型,简单叙述理由,并利用前2min的数据求出相应的解析式;(2)根据(1)中所求的函数模型,求刚泡好的红茶达到最佳饮用口感的放置时间.参考数据:lg3≈0.477,lg7≈0.845.18.(17分)已知函数f(x)=lnx.(1)若函数g(x)=f(x),x>1,-x2+kx-2,x≤1,且g(x)是增函数,求实数k的取值范围;(2)若对任意的正数x,不等式f((2-a)ex-1)≤f(a)+2x恒成立,求a的取值范围.19.(17分)已知函数f(x)=lnkx-1x+1为奇函数.(1)求实数k的值;(2)判断并证明函数f(x)的单调性;(3)若存在α,β∈(1,+∞),使得函数f(x)在区间[α,β]上的值域为lnmα-m2,lnmβ-m2,求实数m的取值范围.答案全解全析1.D　函数f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递减,又f(3)=2-log23>0,f(4)=32-2=-12<0,即f(3)·f(4)<0,所以函数f(x)有唯一零点,且在(3,4)上,故选D.2.B　若nan=a,推不出a>0,比如3(-5)3=-5,充分性不成立;若a>0,则nan=a,必要性成立.因此,“nan=a”是“a>0”的必要不充分条件.故选B.3.C　∵0log0.50.5=1,c=log80.4f(1)-f(0),∴当x>0时,f(x)增加的速度越来越快,即函数图象升高越来越快,排除A.故选D.5.D　令x-1=0,得x=1,f(1)=1-2=-1,因此定点M(1,-1),即m=1,n=-1,于是g(x)=1+1x,其图象不经过第四象限.故选D.6.B　∵f(x)的定义域为{x|x≠0},且f(-x)=e-x+ex+lg|-x|=ex+e-x+lg|x|=f(x),∴f(x)为偶函数.当x>0时,f(x)=ex+e-x+lgx,令t=ex(x>0),则t>1,由y=t+1t的图象知,函数y=t+1t在(1,+∞)上单调递增,且t=ex是增函数,∴函数f(x)=ex+e-x+lg|x|在(0,+∞)上单调递增,因此,不等式f(x+1)>f(2x-1)⇔|x+1|>|2x-1|,且x+1≠0,2x-1≠0,解得0f(2x-1)的解集为0,12∪12,2.故选B.7.B　由题意可得(1+2%)na=2(1-2%)na,则nlg1.02=lg2+nlg0.98,即n=lg2lg1.02-lg0.98=lg2lg102-lg98≈0.30102.0086-1.9912≈17.3.故选B.8.C　因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,又f(x)的定义域为R,所以f(x)为奇函数.因为f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=f((x+4)+4)=-f(x+4)=f(x).易得f(0)=0,f(-3)=-f(3)=0,所以f(-3+4)=-f(-3)=0,即f(1)=0,f(4)=-f(0)=0,f(5)=f(1+4)=-f(1)=0,f(7)=f(3+4)=-f(3)=0,f(8)=f(0)=0,故在[0,8)上,0,1,3,4,5,7为函数f(x)的零点,即f(x)在[0,8)上最少有6个零点.因为2024=253×8,所以函数f(x)在区间[0,2024]上的零点最少有253×6+1=1519(个).故选C.9.ABD　函数f(x)=log2(1-x)+log2(1+x),则1-x>0,1+x>0,解得-12,0≤-x2+4x-3≤3,解得-2≤x≤2或2f(x)显然不成立,故a=0舍去,当a>0时,f(x+a)的图象可以通过f(x)的图象向左平移a个单位长度得到,如图3,显然f(x+a)>f(x)不恒成立,舍去,当a<0时,f(x+a)的图象可以通过f(x)的图象向右平移|a|个单位长度得到,如图4,以直线y=-x+1-a与曲线y=-x2+4x-3(x>2)相切为临界,由-x+1-a=-x2+4x-3,得x2-5x+4-a=0,所以Δ=25-4(4-a)=0,解得a=-94,此时x=52,符合题意,所以a<-94.综上所述,实数a的取值范围是-∞,-94,因此D正确.故选ABD.12.答案　4解析　由题意知g(-x)=f(-x)(e-x-ex)+2=-f(x)(ex-e-x)+2=-g(x)+4,故g(x)+g(-x)=4,则g(-2024)+g(2024)=4.13.答案　(2,+∞)解析　因为f(x)=|log2(x+1)|=log2(x+1),x>0,-log2(x+1),-10,所以a+b+2=a+1+b+1=a+1+1a+1>2(a+1)·1a+1=2(a≠0),所以a+b+2的取值范围是(2,+∞).14.答案　3;-9解析　设g(x)=x3-3x+1,则g(-2)=-1<0,g(-1)=3>0,g(0)=1>0,g(1)=-1<0,g(2)=3>0,又因为三次方程至多有3个根,所以x3-3x+1=0有三个实根x1,x2,x3,且-21,x22-2=1-1x2<0,x32-2=1-1x3∈(0,1),因此x12-2=x3,x22-2=x1,x32-2=x2,即f(x1)=x3,f(x2)=x1,f(x3)=x2.因为x3-3x+1=0恰有三个实根x1,x2,x3,且x14x2=2|x|≥2x,所以函数f(x)=lg(4x2+1-2x)的定义域为R,(3分)又f(-x)+f(x)=lg[4(-x)2+1-2(-x)]+lg(4x2+1-2x)=lg{[4(-x)2+1-2(-x)](4x2+1-2x)}=lg1=0,所以函数y=f(x)是奇函数.(5分)(2)函数y=f(g(x))的单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间为(-∞,1).(10分)(3)因为∀x∈[0,log23],g(x)≥a·2x-1成立,g(x)=4x-2x+2+3,所以4x-(4+a)2x+4≥0,令t=2x,则t∈[1,3],因此t2-(4+a)t+4≥0,t∈[1,3]恒成立,所以a≤t+4t-4,(13分)而t+4t-4≥2t·4t-4=0,当且仅当t=2时,等号成立,因此a≤0,故a的取值范围为(-∞,0].(15分)17.解析　(1)选择②y=kax+b(k>0,00,(2-a)ex-1>0,(8分)由(2-a)ex-1>0得a<2-1ex在x∈(0,+∞)上恒成立,因为x>0,所以ex>1,所以0<1ex<1,所以2-1ex>1,所以00,(x1+1)(x2-1)>0,所以0<(x1-1)(x2+1)(x1+1)(x2-1)<1,所以f(x1)-f(x2)=ln(x1-1)(x2+1)(x1+1)(x2-1)<0,(9分)即f(x1)0,且lnα-1α+1=lnmα-m2,lnβ-1β+1=lnmβ-m2,即α-1α+1=mα-m2,β-1β+1=mβ-m2,(13分)即α,β是方程x-1x+1=mx-m2的两实根,即方程mx2-1-m2x+1-m2=0在(1,+∞)上有两个不等实根,(14分)令h(x)=mx2-1-m2x+1-m2,其图象的对称轴方程为x=12m-14,则m>0,12m-14>1,Δ=m2-12-4m1-m2>0,h(1)=m>0,即m>0,02或m<29,(16分)可得0