人教A版 (2019)必修第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式同步训练题

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这是一份人教A版 (2019)必修第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式同步训练题，共13页。试卷主要包含了不等式x+2x−3<0的解集是等内容，欢迎下载使用。

1．不等式3x2−13x−10<0的解集为（）
A．−∞,−5∪23,+∞B．−∞,−23∪5,+∞
C．（－5，23）D．−23,5
2．不等式x+2x−3<0的解集是（）
A．{x|−2C．{x|x<−2或x>3}D．{x|x<−3或x>2}
3．若集合A=x|x+2x−1≤0，B=x|y=lg2(2−x)(1+x)，则A∩B=（）
A．[-2,2)B．(-1,1)C．(-1,1]D．(-1,2)
4．已知集合A={x|x−1>0}，B=x|x2−x−2>0，则A∩B=
A．(−∞,−1)B．(-1,1)C．(1,2)D．(2,+∞)
5．不等式x2−5x+6>0的解集为（）
A．{x|2{x|x<2}
C．{x|x>3}D．{x|x<2或x>3}
6．关于x的不等式ax−b>0的解集是−∞,1，则关于x的不等式(ax+b)(x−3)>0的解集是
A．−∞,−1∪(3,+∞)B．(−1,3)
C．(1,3)D．−∞,1∪(3,+∞)
7．若命题“∀x∈R,x2+2mx+m+2≥0”为真命题，则m的取值范围是（）
A．−1≤m≤2B．−1C．m≤−1或m≥2D．m<−1或m>2
8．与不等式x−54−x≥0同解的不等式是（）
A．x−54−x≥0B．5−xx−4≥0C．4−xx−5≥0D．x−4≤1
9．已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为x|x<−2或x>4，则（）
A．a>0
B．不等式bx+c>0的解集为xx<−4
C．a+b+c>0
D．不等式cx2−bx+a<0的解集为xx<−14或x>12
10．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（）
A．5B．6
C．7D．9
11．下列叙述正确的是（）
A．命题“∃x∈R，x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1≥0”
B．命题“所有的矩形都是平行四边形”的否定是假命题
C．“x≥1且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要条件
D．“关于x的方程x2+m−3x+m=0无实根”的充要条件是112．函数y=x2−2x+1，x∈−1,4的值域是 .
13．不等式a2−1x2−a+1x+1>0对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是．
14．已知不等式ax2+bx+c>0的解集是x−1315．若关于x的不等式ax2−a+1x+1<0a∈R的解集为∅，求a的取值范围.
16．已知集合A=xx2−5x+4≤0与B=xx2−a+2x+2a≤0满足A∩B=B，求实数a的取值范围.
17．已知关于x的不等式(kx−k2−4)(x−4)>0,(k∈R)
（1）写出该不等式的解集A；
（2）由（1）若A∩Z=B，试探求集合B中元素的个数是否有限？若是，求出使集合B元素个数最少k的取值范围，并用列举法写出B，若不是，请说明理由.
18．已知实系数一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1，x2．
（1）若上述方程的一个根x1=4-i（i为虚数单位），求实数p，q的值；
（2）若方程的两根满足|x1|+|x2|=2，求实数p的取值范围．
19．已知不等式x2+mx+3≤0的解集为A=[1,n]，集合B={x|x2−ax+a≤0}.
（1）求m−n的值
（2）若A∪B=A，求a的取值范围.
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、多选题
评卷人
得分
三、填空题
评卷人
得分
四、解答题
参考答案：
1．D
【分析】解一元二次不等式求得不等式3x2−13x−10<0的解集.
【详解】3x2−13x−10<0，
即x−53x+2<0，
解得−23所以不等式3x2−13x−10<0的解集为−23,5.
故选：D
2．A
【分析】利用解一元二次不等式的方法即可求解.
【详解】由x+2x−3<0得：−2所以不等式的解集为：x|−2故选：A
【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，属于基础题.
3．B
【解析】首先解出集合A,集合B中的不等式，取交集即可.
【详解】不等式x+2x−1≤0，等价于x+2x−1≤0且x−1≠0，
解得−2≤x<1，即集合A=x|−2⩽x<1；
函数y=lg2[(2−x)(1+x)]的定义域为(2−x)(1+x)>0，
解得−1所以A∩B=−1,1.
故选：B
【点睛】本题主要考查了解不等式与集合交集的运算.属于基础题.
4．D
【解析】首先求出集合A、B，再根据交集的定义计算可得.
【详解】解：∵A={x|x−1>0}
∴A={x|x>1}
∵B=x|x2−x−2>0
∴B=x|x<−1或x>2
∴A∩B=x|x>2=2,+∞
故选：D
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，交集的运算，属于基础题.
5．D
【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】由不等式x2−5x+6>0，可得(x−2)(x−3)>0，解得x<2或x>3，
所以不等式的解集为{x|x<2或x>3}.
故选：D.
6．B
【分析】由不等式ax−b>0的解集是−∞,1可知：a<0，且a=b，代入求解即可
【详解】由不等式ax−b>0的解集是−∞,1可知：a<0，且a=b，
则不等式(ax+b)(x−3)>0的解集等价于不等式(x+1)(x−3)<0的解集，
即原不等式的解集为(−1,3)．
故选：B
7．A
【分析】由根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】由题意得Δ=4m2−4m+2≤0，解得−1≤m≤2.
故选：A
8．B
【分析】解各选项对应不等式与题干不等式解集比较可得答案.
【详解】x−54−x≥0⇒x−5x−4≤0⇒x≠4x−4x−5≤0⇒4A选项，x−54−x≥0⇒x−5x−4≤0⇒4≤x≤5，故A错误；
B选项，5−xx−4≥0⇒x−5x−4≤0⇒x≠4x−5x−4≤0⇒4C选项，4−xx−5≥0⇒x−4x−5≤0⇒x≠5x−5x−4≤0⇒4≤x<5，故C错误；
D选项，x−4≤1⇒x≥4x−42≤1⇒4≤x≤5，故D错误.
故选：B
9．ABD
【分析】由题意可知不等式对应的二次函数的图像的开口方向，−2和4是方程ax2+bx+c=0的两根，再结合韦达定理可得b＝−2a，c＝−8a，代入选项B和D，解不等式即可；当x＝1时，有a+b+c<0，从而判断选项C．
【详解】由题意可知a>0，A选项正确；
−2，4是方程ax2+bx+c=0的两根，∴−2+4=−ba,−2×4=−ca.∴b=−2a,c=−8a，
则a+b+c=−9a<0，C选项错误；
不等式bx+c>0即为−2ax−8a>0，解得x<−4，B选项正确；
不等式cx2−bx+a<0即为−8ax2+2ax+a<0，即8x2−2x−1>0，解得x<−14或x>12，D选项正确．
故选：ABD．
10．BC
【分析】将题目转化为一元二次方程根的分布问题，列出不等式组，解之即可.
【详解】设fx=x2−6x+a，函数图象开口向上，且对称轴为x=3，
因此关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数时，
需满足f2≤0f1>0，即22−6×2+a≤012−6×1+a>0，解得5故选：BC.
11．BCD
【分析】根据命题的否定及正确与否判断A,B选项，根据充分不必要条件及充要条件的定义判断C，D选项即可.
【详解】对A：命题“∃x∈R，x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1<0”，所以A不正确；
对B：命题“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“存在一个矩形，不是平行四边形”，是假命题，所以B正确；
对C：“x≥1且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分条件,
“x=2且y=1”可得“x2+y2≥4”成立，但“x=2且y=1”时“x≥1且y≥2”不成立，
“x≥1且y≥2”是“x2+y2≥4”的不必要条件,满足题意，所以C正确；
对D：“关于x的方程x2+m−3x+m=0无实根”解为Δ=m-32-4m<0，即1反之1故选：BCD.
12．0,9
【分析】利用二次函数的性质求解.
【详解】∵函数y=x2−2x+1，x∈−1,4，
∴对称轴x=1，
由二次函数的性质得：
最大值为f4=9，最小值为f1=0，
∴函数的值域是0,9.
故答案为：0,9 .
13．−∞,−1∪53,+∞
【分析】根据题意，分2种情况讨论：1°若a2﹣1＝0，则a＝±1，分别验证a＝1或﹣1时，是否能保证该不等式满足对任意实数x都成立；2°若a2﹣1≠0，不等式a2−1x2−a+1x+1>0为二次不等式，结合二次函数的性质，解可得此时a的范围，综合可得答案．
【详解】根据题意，分2种情况讨论：
1°若a2﹣1＝0，则a＝±1，
当a＝1时，不等式a2−1x2−a+1x+1>0，得x<12 不符合题意；
当a＝﹣1时，不等式a2−1x2−a+1x+1>0得1>0符合题意；
2°若a2﹣1≠0，不等式a2−1x2−a+1x+1>0为二次不等式，
要保证a2−1x2−a+1x+1>0对任意实数x都成立，
必须有a2−1>0Δ=a+12−4(a2−1)<0
解可得：a<−1或a>53
综合可得a≤−1或a>53
故答案为：−∞,−1∪53,+∞
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的恒成立问题，涉及二次函数的性质，注意要讨论二次项的系数是解题关键．
14．−3,12/x-3【分析】根据不等式ax2+bx+c>0的解集求出a、b、c之间的关系，进而化简不等式
cx2+bx+a<0，从而求出它的解集.
【详解】由题意知，−13、2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，且a<0，
所以−13+2=−ba−13×2=ca⇒b=−53a，c=−23a，
所以cx2+bx+a<0⇒−23ax2−53ax+a<0⇒2x2+5x−3<0，
解得−3所以不等式cx2+bx+a<0的解集为：(−3，12).
故答案为：(−3，12)
15．1
【分析】分a=0和a≠0两种情况讨论，当a≠0时a>0Δ≤0，即可求出a的取值范围.
【详解】因为关于x的不等式ax2−a+1x+1<0a∈R的解集为∅，
当a=0时，原不等式即−x+1<0，解得x>1，不符合题意；
当a≠0时，则a>0Δ=a+12−4a≤0，解得a=1，
综上可得a的取值范围为1.
16．1,4
【解析】首先求出集合A，由A与B的交集为B，得到B为A的子集，分B为3种情况，求出a的范围即可．
【详解】解：由题意，因为A=xx2−5x+4≤0解得A=1,4，B=xx−ax−2≤0.∵A∩B=B，∴B⊆A.
∴a>2a≤4或a=2或a<2a≥1.综上，a∈1,4
【点睛】本题考查根据交集的结果求出参数的取值范围，属于基础题.
17．（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）对参数k进行分类讨论，即可求得不等式的解集；
（2）根据（1）中所求，结合不等式解集，即可容易求得集合B中元素的个数有限时的条件；再利用基本不等式即可求得结果.
【详解】（1）对不等式(kx−k2−4)(x−4)>0,(k∈R)，容易得：
当k=0时，不等式解集A=−∞，4；
当k>0且k≠2时，不等式解集A=−∞，4∪k+4k,+∞；
当k=2时，不等式解集A=−∞，4∪4，+∞；
当k<0时，不等式解集A=k+4k,4.
（2）根据（1）中所求，当k≥0时，根据不等式解集A，
结合A∩Z=B，显然无法满足集合B是有限集.
当k<0时，A=k+4k,4，集合B可以为有限集；
k+4k=--k-4k≤-2-k×-4k=-4，
故当k+4k=-4时，即k=-2时，集合B中的元素个数最少.
此时B=−3，−2，−1，0，1，2，3
【点睛】本题考查含参一元二次不等式的求解，涉及利用基本不等式求最值，属综合基础题.
18．（1）p=−8，q=17；（2）−2,2
【分析】（1）由已知可得另一根x2，再根据韦达定理得到p和q的值；（2）根据判别式Δ的正负进行分类讨论，然后得到两根的正负，然后去掉绝对值，得到p的取值范围.
【详解】（1）根据“实系数方程虚根共轭成对出现”，
知x2=4+i，
根据韦达定理，知p=−x1+x2=−8；q=x1·x2=17.
（2）①当Δ=p2−4q<0时，
方程的两根为虚数，且x1=x2，
又根据Δ=p2−4q<0，∴p∈(−2，2).
②当Δ=p2−4q≥0时，方程的两根为实数，
∴p=x1+x2≤x1+x2=2，当x1与x2同号或有一个为0时等号取到，特别的，取x1=2，x2=0时p=−2；取x1=−2，x2=0时p=2.
∴p∈[−2，2].
综上，p的取值范围是[−2，2].
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，考查复数范围方程的根，属于中档题.
19．（1）-7；（2）0【分析】（1）x=1和x=n是方程x2+mx+3=0，结合韦达定理，可求出m,n，从而可求出答案；
（2）由A∪B=A，可得B⊆A，从而可分B=∅和B≠∅两种情况讨论，可求出a的取值范围.
【详解】（1）不等式x2+mx+3≤0的解集为A=[1,n]，所以x=1和x=n是方程x2+mx+3=0的两根，则{1×n=31+n=−m，解得n=3,m=−4，故m−n=−7.
（2）由（1）知，A=[1,3]，
因为A∪B=A，所以B⊆A，
若B=∅，则Δ=(−a)2−4a<0，解得0若B≠∅，令f(x)=x2−ax+a，则{Δ=(−a)2−4a≥01≤a2≤3f(1)=1≥0f(3)=9−2a≥0，解得4≤a≤92.
综上，a的取值范围是0【点睛】本题考查一元二次不等式的解集，考查集合的包含关系，考查二次函数的性质，考查学生的推理能力与计算能力，属于基础题.