人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数导学案

4.1.1　n次方根与分数指数幂

(教师独具内容)

课程标准：1.理解根式的定义和性质、分数指数幂的定义.2.把握分式与负整数指数幂、根式与正分数指数幂的内在联系．

教学重点：1.根式的定义和性质.2.根式与分数指数幂的联系.3.正分数指数幂与负分数指数幂的联系．

教学难点：1.指数幂的含义及其与根式的互化.2.与()n的区别与联系．

【知识导学】

知识点一　根式的定义

(1)a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.

(2)a的n次方根的表示

①当n是奇数时，a的n次方根表示为，a∈R；

②当n是偶数时，a的n次方根表示为±，其中－表示a的负的n次方根，a∈[0，＋∞)．

(3)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

知识点二　根式的性质

(1)()n＝a(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n＞1)．

(2)＝.

知识点三　分数指数幂的意义

(1)a＝ ，a＝＝(其中a>0，m，n∈N*，且n>1)．

(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

知识点四　有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．

(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．

(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

【新知拓展】

1.与()n的区别

(1)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝

(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，后乘方(都是n次)，结果恒等于a.

2.分数指数幂的理解

(1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．

(2)把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分．

3.在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如(－5) ＝有意义，但(－5) ＝就没有意义．

1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)因为32＝9，所以3是9的平方根．(　　)

(2)当n∈N*时，()n都有意义．(　　)

(3) ＝π－3.(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)√

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)用根式的形式表示下列各式(a>0)：

①a＝________；②a＝________；

③a＝________；④a＝________.

(2)将下列根式写成分数指数幂的形式(其中a>b>0)．

① ＝________；② ＝________；

③ ＝________；④ ＝________.

(3)若n为偶数时， ＝x－1，则x的取值范围为________．

答案　(1)①　②　③　④

 (2)①(a－b) 　②(a2－b2) 　③(a2b－ab2) 　④(a2－b2) 　(3)x≥1

题型一   根式的概念　利用根式的性质化简

例1　(1)①16的平方根为________，－27的5次方根为________；

②已知x7＝6，则x＝________；

③若有意义，则实数x的取值范围是________；

(2)化简：① (x<π，n∈N*)；

② .

[解析]　(1)①∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.

②∵x7＝6，∴x＝.

③要使有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．

(2)①∵x<π，∴x－π<0，

当n为偶数时， ＝|x－π|＝π－x；

当n为奇数时， ＝x－π.

综上， ＝

②∵a≤，∴1－2a≥0，

∴ ＝＝|2a－1|＝1－2a.

[答案]　(1)①±4　　②　③[2，＋∞)

(2)见解析

金版点睛

1.判断关于n次方根的结论应关注的两点

(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；

(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．

2.根式化简求值解题思路

解决根式的化简问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行解答.

　(1)下列说法正确的个数是(　　)

①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．

A.1  B．2  C．3  D．4

(2)已知m10＝2，则m等于(　　)

A.  B．－  C.  D．±

(3)化简下列各式：

①；②()3；③ .

答案　(1)B　(2)D　(3)见解析

解析　(1)①16的4次方根应是±2；②＝2，③④正确．

(2)∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2 的10次方根有两个，且互为相反数，

∴m＝±.

(3)①＝＝－3.

②()3＝－9.

③ ＝|a－b|＝

题型二  根式与分数指数幂的互化

例2　下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是(　　)

A.－＝(－x)  (x>0)

B.x＝－(x≠0)

C. ＝(xy>0)

D.＝y

[解析]　对于A，－＝－x，所以A错误；对于B，x＝，所以B错误；对于C，＝ (xy>0)，所以C正确；对于D，＝|y|，所以D错误．

[答案]　C

金版点睛

根式与分数指数幂互化依据

(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a＝和a＝＝ ，其中字母a要使式子有意义．

(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂.

　用分数指数幂表示下列各式：

(1) (a>0，b>0)；

(2)(x>0)．

题型三  多重根式的化简

例3　化简： ＋ .

[解]　解法一：

原式＝ ＋

＝ ＋

＝ ＋1＋－1＝2.

解法二：令x＝＋，两边平方得x2＝6＋2＝8.因为x>0，所以x＝2.

金版点睛

形如 (m>0，n>0)的双重根式，一般是将其转化为的形式后再化简．由于(±)2＝a＋b±2，因此转化的方法就是寻找a，b，使得即a，b是方程x2－mx＋n＝0的两个根．如化简，首先化为的形式，即，解方程x2－4x＋3＝0，得x＝3或x＝1，则4－2＝(－1)2，所以＝＝＝＝.

　化简： － ＋ .

解　原式＝ － ＋

＝＋－(2－)＋2－＝2.

1.已知x5＝6，则x等于(　　)

A.  B.  C．－  D．±

答案　B

解析　由根式的定义知，x5＝6，x＝，选B.

2.下列各式正确的是(　　)

A.＝－3   B.＝a

C.＝2   D.＝2

答案　C

解析　由于＝3，＝|a|，＝－2，故A，B，D错误.

3.若 ＝，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，2)   B.

C.   D.

答案　D

解析　∵＝ ＝ ＝，∴1－2a≥0，即a≤.

4.计算下列各式的值：

(1) ＝__________；

(2)设b<0，则()2＝__________.

答案　(1)－5　(2)－b

解析　(1) ＝－＝－5.

(2)∵b<0，∴－b>0，∴()2＝－b.

5.计算： ＋(e≈2.7)．

解　原式＝＋＝

＋＝e－e－1＋e＋e－1＝2e≈5.4.